高俊科趣談無理數(shù)e(九-1)這些大學(xué)教材中關(guān)于連續(xù)(復(fù)利)計算公式的解釋是不是都錯了?

九–1 這些教材關(guān)于連續(xù)(復(fù)利)計算的解釋錯在哪里?

(題解：這文章提的問題醒目、尖刻，這是為了引起人們重視，以便能推動盡快改正這一長期廣泛存在的錯誤。這錯誤不是哪家出版社的錯誤，是國內(nèi)外相關(guān)書籍中都存在的錯誤。我從1988年在《數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識》上發(fā)表文章《關(guān)于所謂增長率的連續(xù)計算問題》

第一次指出這方法錯誤以來30多年過去了，這錯誤方法還在多門大學(xué)課程教材中廣泛存在。

關(guān)鍵問題是，這種計算方法到底對不對？歡迎一起探討。)

1982年中國人民大學(xué)出版社出版的《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）微積分》的敘述（該書63頁）

是：“我們先從實際問題來看看這種數(shù)學(xué)模型的意義。例如計算復(fù)利息問題。設(shè)本金為A。，利率為r，期數(shù)為t，如果每期結(jié)算一次，則本利和A為

A= A。(1＋r）^t

如果每期結(jié)算m次，t期本利和Am為

Am= A。（1＋r/m）^(mt)

在現(xiàn)實世界中有許多事物是屬于這種模型的，而且是立即產(chǎn)生立即結(jié)算，即m→∞。如物體的冷卻、鐳的衰變、細(xì)胞的繁殖、樹木的生長等等，都需要應(yīng)用下面的極限：

lim A。（1＋r/m）^(mt)

這個式子反映了現(xiàn)實世界中一些事物生長或消失的數(shù)量規(guī)律，因此，它是一個很有用的極限”。

這段敘述得出連續(xù)計算公式是這個極限式

lim A。（1＋r/m）^(mt)=A。e^(rt) .

關(guān)于這教材敘述錯在哪里?我們思考這幾個問題自己就可以得出結(jié)論。

1 我們有恒等式A。(1＋r)^t=A。e^(txln(1＋r))

=A。e^(Rt), R=ln(1＋r)

和這恒等式和這恒等式的另一種表達(dá)方式

A。e^(Rt) =A。(1＋e^R–1)^t

=A。(1＋(e^R–1))^t ，e^R–1=r.

這樣根據(jù)A。(1＋r)^t推得A。e^(Rt),R=ln(1＋r)是不是正確的?

(答案應(yīng)當(dāng)是這沒有任何問題)

2 A。(1＋r)^t=A。e^(Rt),R=ln(1＋r).是恒等式，如果等式后邊A。e^(Rt)能做時間變量取連續(xù)實數(shù)的連續(xù)計算，等式前面的A。(1＋r)^t能不能用作連續(xù)計算? 物體的冷卻、鐳的衰變、細(xì)胞的繁殖、樹木的生長本身會不會區(qū)分t是否為整數(shù)?認(rèn)不認(rèn)是否連續(xù)計算?A。(1＋r)^t能不能用來表達(dá)這些事物隨時間連續(xù)變化的規(guī)律?

(能不能進(jìn)行連續(xù)計算由事物本身決定，不是由函數(shù)的表達(dá)形式?jīng)Q定，A。(1＋r)^t同樣能用作連續(xù)計算)

3 對于如物體冷卻、鐳的衰變、細(xì)胞的繁殖、資金增值這些呈指數(shù)函數(shù)規(guī)律增長的事物，知道初值A(chǔ)。和另一時刻t1的值A(chǔ)(t1)后，求得A(t1)=A。(1＋r)^t1中的參數(shù)r與 A(t1)=A。e^(Rt1)中的參數(shù) R是不是必有R=ln(1＋r)?

(兩個參數(shù)含義不一樣，對同一事物必定有這關(guān)系)

4 對同一事物，知道初值A(chǔ)。和另一時刻t1的值A(chǔ)(t1)后，求得A(t1)=A。(1＋r)^t1中的參數(shù)值r，能不能用作 A(t1)=A。e^(rt1)中的數(shù)值r?

注意，連續(xù)復(fù)利計算公式的推導(dǎo)就是把A。(1＋r)^t中的數(shù)值r拿到A。e^(rt)中用?

(不能這樣用，根據(jù)所謂連續(xù)復(fù)利計算方法就犯了這錯誤)

5 用文字表述，指數(shù)函數(shù)式A=A。(1＋r)^t中的r是一時間單位中任一單位事物的增長量；用數(shù)學(xué)式子表達(dá)就是r=(A(t 1)-A(t))/A(t).這本身是不是已經(jīng)包含了事物“立即產(chǎn)生立即結(jié)算”的增長結(jié)果?

從沒有人像解釋A=A。(1＋r)^t中的r一樣，用簡短清晰的語言給出指數(shù)函數(shù)式A。e^(rt)中r的數(shù)學(xué)式解釋和文字解釋。

(本篇集中思考這種連續(xù)計算方法錯在哪里，以后有專篇談A。e^(rt)中r的數(shù)學(xué)式解釋和文字解釋)

6 應(yīng)當(dāng)明白，指數(shù)函數(shù)式A。e^(rt)與指數(shù)函數(shù)式A。(1＋r)^t一樣，都“反映了現(xiàn)實世界中一些事物生長或消失的數(shù)量規(guī)律”，這兩個式子中的參數(shù)從不同方面刻畫了同一事物隨時間變化的同一規(guī)律 ，A。e^(rt)在描述鐳的衰變、細(xì)菌繁殖、化學(xué)反應(yīng)、資金增值等事物的變化規(guī)律上是有特別重要應(yīng)用的式子。

數(shù)學(xué)中的極限式（1＋1/m）^m= e有特別重要的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)A。e^(rt)中就必須用到e.

A。e^(rt)與（1＋1/m）^m= e的重要意義與這教材中講的推導(dǎo)是兩回事，這書中根據(jù)A。(1＋r)^t引發(fā)的推導(dǎo)，然后說“l(fā)im A。（1＋r/m）^(mt)這個式子反映了現(xiàn)實世界中一些事物生長或消失的數(shù)量規(guī)律”是不是錯了？是不是把讀者講糊涂了？

這種連續(xù)復(fù)利的講法在1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主羅伯特.C.莫頓與人合著的《金融學(xué)》中也存在，

1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獎項中存在這錯誤必定進(jìn)一步促進(jìn)了這種連續(xù)復(fù)利計算公式的流傳，我們將在后邊的文章中分析。

(為讓網(wǎng)友們把問題看清楚透徹，這篇寫得比較長一點，本文論述是詳細(xì)?還是叫啰嗦?也希望聽到網(wǎng)友們的意見。)