數(shù)學(xué)是人類智慧對自然世界的擬合

諾貝爾物理學(xué)獎獲得者維格納曾經(jīng)感嘆“數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不可思議的有效性”，數(shù)學(xué)家兼物理學(xué)家、2020年諾貝爾物理學(xué)獎獲得者羅杰·彭羅斯寫到：“基本的物理要求與優(yōu)美的數(shù)學(xué)性質(zhì)這兩方面的顯著聯(lián)系，正是高深的數(shù)學(xué)概念與我們這個(gè)宇宙內(nèi)部機(jī)制之間那種深奧的、微妙的乃至神秘的關(guān)系的突出例證?！贝_實(shí)數(shù)學(xué)之于自然科學(xué)，常常給人神啟的感覺。

數(shù)學(xué)，深奧且高冷，對于任何人都絕非易事。古希臘時(shí)期就有人研究圓錐曲線，后來阿波羅尼奧斯完成《圓錐曲線學(xué)》這部著作，進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)。圓錐曲線在長期的歷史過程中，只是作為一種抽象的圖形被研究，并沒有什么實(shí)際用處。直到開普勒在大量分析第谷的行星運(yùn)行觀測數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)行星的運(yùn)行軌道并不是千百年來人們所認(rèn)為的完美圓形，而是圓錐曲線的一種——橢圓。這個(gè)時(shí)間跨度達(dá)到了千年以上，似乎古希臘的數(shù)學(xué)家早就想到了千余年后的開普勒要用到，早早地為他做好準(zhǔn)備，否則他不但要是個(gè)優(yōu)秀的天文學(xué)家還得成為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家……

說到數(shù)學(xué)，我們通常會把1+1=2看作是最簡單、最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)，或者說用這個(gè)等式來代表數(shù)學(xué)。于是也產(chǎn)生了一個(gè)似乎非常無聊的問題：為什么1+1會等于2？這好像是簡單到無需回答又深邃到無法回答。其實(shí)1+1也許完全可以不等于2，而等于比如3，只要3不等于1+1+1就行（這樣，自洽的要求就維系住了）。如此看來，從所謂自然數(shù)的意義上來說，2只是1+1的結(jié)果的一個(gè)符號而已?；蛟S，我們應(yīng)該將注意力放到等式的左半邊，即為什么會有1+1？在1+1中，我們有一個(gè)1和另一個(gè)1（顯然在這里，我刻意地回避“兩個(gè)1”這樣的說法，但這種回避是否實(shí)質(zhì)性地有效？），這不同的1之間是什么關(guān)系？似乎不言而喻，1與1是全等的。于是真正有意思的問題來了：1從何來？

這似乎又是不言而喻，比如一個(gè)蘋果（來自于人的觀察、感知）。有了一個(gè)蘋果，又有了一個(gè)蘋果，那么我們就說有了兩個(gè)蘋果，加法關(guān)系好像順理成章地有效。我們常說，沒有任意兩個(gè)指紋是一樣的，沒有任意兩個(gè)雪花是一樣的，自然也沒有一模一樣的兩個(gè)蘋果（大小、品種、成熟度等等）。赫拉克利特說“人不能兩次走進(jìn)同一條河流”，而我們卻能擁有兩個(gè)蘋果，為什么？因?yàn)榇鸢溉Q于看待事物的方式。數(shù)的概念是人從自然感觀中抽象而來，于是才有全等的一個(gè)1和另一個(gè)1，這種抽象是以舍棄掉很多具體事物的具體特征差別為前提，或者說，數(shù)學(xué)的精確是以很多其他方面的不精確換來的，數(shù)學(xué)是為了滿足認(rèn)知的特定需求而產(chǎn)生，也許，數(shù)學(xué)的真理性正是來自于它的非現(xiàn)實(shí)性。如此看來，我們通常所謂的、最基本的數(shù)的概念——自然數(shù)——其實(shí)也并不那么自然。世上本沒有路，世上也本沒有數(shù)。

而自然數(shù)這個(gè)概念里還有個(gè)更加不自然的內(nèi)容，就是自然數(shù)是否包括“零”，這一點(diǎn)數(shù)學(xué)界并沒有達(dá)成完全的共識。貌似很顯然，“零”表示沒有，但其實(shí)情況遠(yuǎn)不是這么簡單：是“有”建立在“沒有”的基礎(chǔ)上，還是“沒有”建立在“有”的基礎(chǔ)上？比如：兩百年前，不會有人說他沒有汽車；一百年前，不會有人說他沒有手機(jī)。因?yàn)樵谔囟ǖ臅r(shí)代，汽車、手機(jī)這些事物還沒誕生。“0”在現(xiàn)實(shí)意義上甚至有點(diǎn)不像個(gè)數(shù)字，也可以說它是個(gè)常常不在場的數(shù)字，甚至不比負(fù)數(shù)有價(jià)值。所以，零是沒有，而沒有是不是零呢？或者說，有了才會有“沒有”，而沒有則沒有“沒有”?？梢哉f，是有了數(shù)的概念，才有了“零”的概念，所以對于“0”才會糾結(jié)。

再說說那個(gè)完美圖形——圓形。圓是個(gè)封閉圖形，它上面的每個(gè)點(diǎn)與圓圈內(nèi)一個(gè)特殊的點(diǎn)（圓心）距離全等，這個(gè)距離就是圓的半徑；而繼續(xù)將思維從兩維擴(kuò)展至三維，可以得到圓球的概念。生活中有大量事物我們會認(rèn)為是圓形和圓球，圓盤、輪子、西瓜、地球等等。但完滿的圓的概念只存在于人的理念中，而世上并沒有完全一絲不差符合圓的定義的物體。人們無法造出能經(jīng)受任意精度測量的、絕對圓的輪子；而不論地球、月亮、太陽都不是完全的圓形（雖然肉眼不易察覺），這并不是出于星球表面的不平整，而是因?yàn)樽赞D(zhuǎn)而引起的本質(zhì)意義上的不圓，簡單講就是自轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的慣性把與自轉(zhuǎn)軸垂直的赤道部位拋出去一些，使得星球成為兩極略短、赤道略微鼓起的扁球形。而宇宙中的天體又有哪個(gè)不是在運(yùn)動中？運(yùn)動是宇宙的本質(zhì)屬性。至于頂替了圓形的行星橢圓形軌道也是一樣，橢圓只是軌道的大致樣貌，并非在極其精細(xì)尺度上的絕對答案。（《中國大百科全書?天文學(xué)》里有個(gè)條目“水星近日點(diǎn)進(jìn)動問題”，有興趣可以查閱，在此不展開了。）

因此，數(shù)學(xué)是從自然中抽象而來，而當(dāng)數(shù)學(xué)應(yīng)用于認(rèn)知自然時(shí)，又會舍棄一定的精準(zhǔn)性?？梢哉f，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生是人的認(rèn)知對自然的擬合，數(shù)學(xué)的應(yīng)用又是把數(shù)學(xué)演算的結(jié)果擬合于自然，數(shù)學(xué)的絕對嚴(yán)密只存在于人腦的思維邏輯中。

幾何學(xué)誕生于古希臘，就是通常所說的歐幾里得幾何，直到今天都是最實(shí)用、最符合日常環(huán)境的描述方式，但是延續(xù)千年的歐氏幾何，到近代越來越引起質(zhì)疑，焦點(diǎn)就是所謂的第五（平行）公設(shè)（通常表述為：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與之平行），這條很有點(diǎn)道理的規(guī)定卻無法用其它更簡要的道理給予證明。于是讓人不由得會想，是不是可以把其他同樣無法證明對錯(cuò)的道理作為前提規(guī)定？就這樣，很多人（高斯、羅巴切夫斯基、黎曼以及更多的人）通過看上去稀奇古怪的（至少是不符合經(jīng)驗(yàn)直觀的）初始定義，順著邏輯進(jìn)行推演，創(chuàng)造出了一個(gè)個(gè)光怪陸離的幾何理論體系，所有這些理論的總稱叫做非歐幾何，即：不是歐幾里得幾何的幾何。很長時(shí)期，這些理論都是作為數(shù)學(xué)家的思想游戲而存在，沒人知道有什么用，當(dāng)然，也無關(guān)痛癢，只當(dāng)是想著玩。直到愛因斯坦在構(gòu)思廣義相對論時(shí)，發(fā)現(xiàn)沒有合適的數(shù)學(xué)語言，這時(shí)有人介紹了黎曼幾何，于是非歐幾何第一次找到了用武之地。龐加萊說過一句平凡得不像至理名言的至理名言：“沒有最真實(shí)的幾何，只有最好用的幾何?！敝詻]有最真實(shí)的，根本上是由于世界太大、宇宙太大，小小星球上的人類很難參透整個(gè)宇宙，得到的只能是非常小的局部的結(jié)論。

非歐幾何的誕生和成功應(yīng)用，影響深遠(yuǎn)，可以說改變了人類對自身智慧的態(tài)度。過去人們自信地認(rèn)為，憑我們的智慧可以悟出真理，揭示宇宙最深刻的奧秘，衡量一個(gè)理論的標(biāo)準(zhǔn)很簡單——正確或者錯(cuò)誤，非黑即白。慢慢地，人們認(rèn)識到智慧與自然的復(fù)雜關(guān)系，于是對理論的要求改變了，一個(gè)合格的理論首先甚至只需要做到自洽就可以了，也就是理論只要自身內(nèi)部不發(fā)生邏輯矛盾，那么就有其價(jià)值，即便是尚無法驗(yàn)證的假說。高斯經(jīng)過研究形成一套“新幾何”時(shí)，自己也覺得太天馬行空、離經(jīng)叛道，不敢公之于眾，今人的研究環(huán)境寬松得多。

數(shù)學(xué)是人類智慧對自然世界的擬合，因?yàn)閿?shù)學(xué)并不神秘，更不是神仙啟示。數(shù)學(xué)是人類通過思辨而產(chǎn)生的思維成果，是人類認(rèn)知世界的預(yù)案和模板，是通過確立一定的初始設(shè)定，經(jīng)由邏輯推理而產(chǎn)生的認(rèn)知體系。有個(gè)至今困擾人們的問題：數(shù)學(xué)是否是先驗(yàn)的？數(shù)學(xué)的抽象而精準(zhǔn)的特性似乎暗示著先驗(yàn)的性質(zhì)，而非歐幾何的誕生部分解決了這個(gè)問題，即思維的前提幾乎可以是任意的設(shè)定，而并不影響最終結(jié)果的合理、有效和實(shí)用性。直線、平面、平行線這種好像不證自明的概念都可以棄置，而以貌似與日常經(jīng)驗(yàn)不符的條件構(gòu)建起全新的幾何。現(xiàn)在我們認(rèn)識到，是因?yàn)樯钤诘厍蜻@個(gè)相對人的個(gè)體足夠巨大的環(huán)境，是看上去似乎平直的地平線、似乎平坦的大地所帶來的某種暗示，才讓人類有了這些所謂“不證自明”的概念（世上并沒有真正的直線和平面，它們都只是人的假設(shè)、構(gòu)想），原先認(rèn)為是先驗(yàn)的卻恰恰是經(jīng)驗(yàn)的，而又恰恰是對“不證”進(jìn)行求證的過程中誕生了全新的幾何。但認(rèn)識到思維的前提問題，整個(gè)先驗(yàn)性問題并沒有徹底解決，因?yàn)檫壿嫞磾?shù)學(xué)推理的過程步驟）又是什么呢？一方面關(guān)于思維的本質(zhì)特性我們還認(rèn)知太少，在天文學(xué)上人類的視野已經(jīng)拓展到遙遠(yuǎn)的距離以外，而腦科學(xué)對我們自己的思維卻了解得非常之少，對于思想、思維、邏輯等等的本質(zhì)無法完全的解釋。比如邏輯，如果它只是固化在大腦中的思維通路，那么它也許可以被看作一種生理現(xiàn)象；但最終的答案恐怕會復(fù)雜得多。另一方面，人類是在用自己的思維洞察、破解自己的思維，是不是有點(diǎn)“只緣身在此山中”？

在我們看來，智慧是人類的專屬，人類自封了人類自己“智慧生物”的稱號。但我們對“智慧”這一概念真的理解得足夠透徹么？人會建造房屋，當(dāng)然是因?yàn)槲覀冇兄腔郏荒敲疵鄯淠?？蜜蜂會建造蜂巢，并且還用到了數(shù)學(xué)上非常合理的六邊形結(jié)構(gòu)（在鋪滿同等面積的情況下，使用正六邊形所需要的周長之和最小，用達(dá)爾文的話說，六邊形的蜂巢是“最省勞動力、也最省材料的選擇”），蜜蜂是不是也有智慧？我們不把那視為智慧，只認(rèn)為是生物的本能。常常聽到人們夸講動物比如小貓、小狗：真聰明。這一句“真聰明”充分顯示了我們認(rèn)為其他動物沒有智慧這一認(rèn)識前提。毋庸置疑，人是最聰明的、智能最高的生物，但因此我們就可以把其他都打入另冊？是否可以用更加寬泛的視野看待智慧，比如把智慧看作連續(xù)存在的場，就像引力場。引力場是物體對周邊時(shí)空的扭曲，作用效果隨著距離的增加以平方反比遞減，直至很遠(yuǎn)甚至無窮遠(yuǎn)；而智慧、智能也是從簡單到復(fù)雜的連續(xù)分布，從低端到高端生物逐漸增長，到了人類有一個(gè)極大的飛躍。可能有人會覺得這種看法不可思議、難以接受，可是不管怎樣，這種感受肯定不比進(jìn)化論產(chǎn)生時(shí)更加強(qiáng)烈。既然人都是低端生物進(jìn)化來的，智慧為何不能同樣視為一個(gè)進(jìn)化的過程？如果智慧只體現(xiàn)為自夸的能力，不會自夸、埋頭建蜂巢的蜜蜂肯定表示不服，呵呵。

不能徹底理解思維，自然也就無法述說數(shù)學(xué)的本質(zhì)?；蛟S人類作為宇宙的一部分，宇宙的某些本質(zhì)特性已經(jīng)內(nèi)化在我們?nèi)梭w里、頭腦里、邏輯規(guī)則里，數(shù)學(xué)就是體現(xiàn)的方式之一。這樣講看起來有點(diǎn)像柏拉圖所說的投射，其實(shí)不然。柏拉圖認(rèn)為現(xiàn)實(shí)世界是虛妄的，在現(xiàn)實(shí)世界之上存在著理想的理性世界，那個(gè)世界才是真正真實(shí)的。而現(xiàn)在，人們普遍認(rèn)為客觀世界就是真實(shí)的，沒有更高的世界了，而人的主觀世界則相對具有虛擬性質(zhì)。而且即便真的有這種我們現(xiàn)在仍然無法認(rèn)識和解釋的投射和內(nèi)化，也并不導(dǎo)致神秘主義，因?yàn)榭茖W(xué)的認(rèn)知原則是，即便對于尚無法解決的問題，也保持客觀的態(tài)度，而不是歸因于神秘。

數(shù)學(xué)里有很多奧秘，而且數(shù)學(xué)本身就是奧秘（奧秘而不神秘），總之有更多奧秘等待去探尋。