神仙打架？光學(xué)未來(lái)？這根鏈子什么來(lái)頭？

作者：張飛（中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所）

文章來(lái)源于科學(xué)大院公眾號(hào)（ID：kexuedayuan）

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有一條線，你肯定見(jiàn)過(guò)，但不一定知道它叫什么。

比如，項(xiàng)鏈自然下垂，形成的曲線是什么？

（圖片來(lái)源：veer圖庫(kù)）

又比如，這座橋的形狀又是什么曲線？

（圖片來(lái)源：veer圖庫(kù)）

那么，這類(lèi)像在“微笑”的曲線究竟是什么線？拋物線？雙曲線？

達(dá)芬奇都稱(chēng)“奇”的線

這類(lèi)曲線就是今天的主角：懸鏈線！

懸鏈線（Catenary）是一種自然形成的曲線，指兩端固定的一條均勻柔軟的繩索、鏈條等，在重力的作用下所具有的曲線形狀，例如懸索橋、電線等。對(duì)懸鏈線數(shù)學(xué)形式的探討最早可追溯到文藝復(fù)興時(shí)期。在創(chuàng)作《蒙娜麗莎》時(shí)，同作為數(shù)學(xué)家和畫(huà)家的達(dá)芬奇，做了各種精確的數(shù)學(xué)計(jì)算，來(lái)確定人物的比例結(jié)構(gòu)，以及半身人像與背景間關(guān)系的構(gòu)圖問(wèn)題。這樣的思維習(xí)慣使得他在創(chuàng)作《抱銀貂的女人》時(shí)思考了一個(gè)問(wèn)題：“固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？”這便是著名的懸鏈線問(wèn)題，但可惜的是達(dá)芬奇還沒(méi)有找到答案便去世了。

《抱銀貂的女人》（圖片來(lái)源：wiki）

懸鏈線問(wèn)題的提出，在數(shù)學(xué)上引起了較大的爭(zhēng)議。很多人從直觀上認(rèn)為它是一條拋物線，因?yàn)樗鼈兛雌饋?lái)的確很相似，就連意大利物理學(xué)家伽利略也這么認(rèn)為。在他1638年撰寫(xiě)的《兩個(gè)新科學(xué)》（Two New Sciences）一書(shū)中，伽利略提到懸鏈線可能就是一條拋物線。與伽利略同時(shí)期的笛卡爾也有類(lèi)似的猜測(cè)。他在自己的筆記中注釋過(guò)它可能是某種圓錐曲線，并把拋物線和雙曲線都放進(jìn)了懷疑名單中。此后幾十年，幾位數(shù)學(xué)家通過(guò)不同的方式證明了懸鏈線不等同于拋物線。譬如，1646年，荷蘭物理學(xué)家惠更斯通過(guò)物理的方法證明這條曲線不是拋物線，但也未能給出其具體數(shù)學(xué)函數(shù)形式。1669年，德國(guó)數(shù)學(xué)家約阿海姆·永第也證明了懸鏈線不是拋物線的結(jié)論。

懸鏈線的數(shù)學(xué)形式

隨著自然常數(shù)e和微積分方法的出現(xiàn)，1690年，歷經(jīng)170年的懸鏈線問(wèn)題終于被惠更斯、萊布尼茨和約翰·伯努力解決，確定了懸鏈線的數(shù)學(xué)形式。憑借推出了懸鏈線表達(dá)式，約翰開(kāi)始公開(kāi)嘲笑哥哥雅各布·伯努利，他說(shuō)自己僅僅犧牲了“整整一晚”的休息時(shí)間就找到答案，而雅各布卻已經(jīng)與這道題持續(xù)搏斗了整整一年。史上第一數(shù)學(xué)天（家）團(tuán)（族）的愛(ài)恨情仇大戲就此拉開(kāi)（對(duì)上述八卦還不太熟悉的小伙伴，可以移步為搶C位，這個(gè)史上第一數(shù)學(xué)天團(tuán)都經(jīng)歷了哪些內(nèi)部紛爭(zhēng)？，再次重溫一下伯努利家族的“宮斗”大戲）

古人巧用懸鏈線

1917年 安瀾索橋。費(fèi)佩德（美國(guó)）攝 沈弘王國(guó)平供圖（圖片來(lái)源：四川新聞網(wǎng)）

四川省成都市都江堰早在公元前3世紀(jì)就出現(xiàn)了竹制的懸索橋——安瀾索橋，最早被稱(chēng)為繩橋或竹藤橋，與趙州橋、盧溝橋、湘子橋和洛陽(yáng)橋并稱(chēng)為我國(guó)著名的五大古橋。唐永隆元年（約公元680年），金沙江上出現(xiàn)了世界上第一座鐵索橋——神川鐵橋，然而西方國(guó)家直到1741年才出現(xiàn)第一座鐵索橋。

令人驚嘆的是，在我國(guó)江南水鄉(xiāng)浙江紹興，發(fā)現(xiàn)了迄今為止我國(guó)最古老的近似于懸鏈線拱的石拱橋——迎仙橋，該橋在明萬(wàn)歷《新昌縣志》有載。由此看來(lái)，中國(guó)造橋歷史悠久，技術(shù)高超，古人們?cè)诤茉缫郧氨阍跇蛄航ㄔO(shè)中運(yùn)用了懸鏈線。然而，他們卻不知道懸鏈線這種數(shù)學(xué)曲線，他們的結(jié)果完全是從實(shí)踐中反復(fù)摸索、總結(jié)出來(lái)的。

浙江迎仙橋（圖片來(lái)源：中國(guó)民族建筑網(wǎng)）

懸鏈線除了存在于橋梁、拱門(mén)等建筑中，還存在于娛樂(lè)游戲中，譬如有趣的方輪車(chē)游戲。如果讓方輪車(chē)在馬路上行駛，那豈不是顛簸不堪？到底有沒(méi)有辦法讓方輪車(chē)平穩(wěn)地行駛呢？有，只要讓波浪軌道符合一段一段的懸鏈線方程，方輪車(chē)便可在顛簸的路面上平穩(wěn)行駛。事實(shí)上，該結(jié)論可以拓展到任意多邊形車(chē)輪。

方輪車(chē)懸鏈線軌道（圖片來(lái)源：http://dy.163.com/v2/article/detail/DP1C1E2U0529LNPR.html）

從力學(xué)到光學(xué)，這條線不簡(jiǎn)單

懸鏈線問(wèn)題起源于達(dá)芬奇對(duì)項(xiàng)鏈的曲線形式的思考，而懸鏈線光學(xué)起源于研究人員（來(lái)自中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所——微細(xì)加工光學(xué)技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室）對(duì)以下問(wèn)題的思考和探索：等強(qiáng)度懸鏈線可以保持結(jié)構(gòu)在不同位置受力一致，那么它施加到光上的“力”是否也一致呢？

懸鏈線從力學(xué)牽引至到微納光學(xué)

在解答這個(gè)問(wèn)題前，首先需要對(duì)光波進(jìn)行更為深入的了解。相位、偏振和振幅是光波的三個(gè)最基本的物理屬性。在生活中，最常見(jiàn)的是對(duì)光的相位進(jìn)行調(diào)控，比如我們的相機(jī)鏡頭，它是通過(guò)改變鏡片的厚度引入不同的相位延遲，從而對(duì)光的波前（指等相位面）進(jìn)行調(diào)控，最終實(shí)現(xiàn)聚焦等功能。

傳統(tǒng)光學(xué)元件需要依賴(lài)于曲面面形對(duì)光束進(jìn)行調(diào)控，因此面臨系統(tǒng)笨重、繁雜等諸多原理性問(wèn)題。在微納光學(xué)領(lǐng)域，研究人員可以通過(guò)改變亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的幾何形貌和排列方式，即可在平面上實(shí)現(xiàn)對(duì)波前的靈活調(diào)控。利用亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)來(lái)調(diào)控相位的原理有多種，其中與懸鏈線相關(guān)的是幾何相位原理。幾何相位源于光子自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量間的耦合，通過(guò)改變各向異性亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)（比如長(zhǎng)方形結(jié)構(gòu)）的旋向引入，其值等于正負(fù)2倍旋轉(zhuǎn)角，而符號(hào)取決于入射圓偏振光的旋向。

等強(qiáng)度懸鏈線與x軸的夾角

2015年，研究人員通過(guò)對(duì)等強(qiáng)度懸鏈線進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)該曲線同x軸間的夾角ζ與坐標(biāo)x呈現(xiàn)出絕對(duì)的線性關(guān)系。這意味在圓偏振光入射時(shí)，懸鏈線結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生絕對(duì)線性的幾何相位分布（±2πx/Λ），也就是說(shuō)相位梯度是一個(gè)常數(shù)（±2π/Λ），因此對(duì)光的“力”是一致的。直觀的調(diào)制效果就好比一個(gè)棱鏡讓光發(fā)生偏折，那么通過(guò)改變懸鏈線結(jié)構(gòu)的跨度Λ可以調(diào)節(jié)相位梯度大小，從而實(shí)現(xiàn)任意偏折角度。

與傳統(tǒng)棱鏡不同的是，懸鏈線結(jié)構(gòu)不僅是平面的，而且還具有偏振響應(yīng)特性。如果左旋圓偏振偏往左側(cè)，那么右旋圓偏振光則偏往右側(cè)，這是因?yàn)閼益溇€結(jié)構(gòu)對(duì)左右旋圓偏振光產(chǎn)生的相位梯度（即對(duì)它們的“力”）是相反的。實(shí)現(xiàn)上述左右旋圓偏振光分離的手性響應(yīng)現(xiàn)象被稱(chēng)之為光子自旋霍爾效應(yīng)。由于絕大多數(shù)生物所需的營(yíng)養(yǎng)素，例如氨基酸和葡萄糖，其分子結(jié)構(gòu)都具有固有的手性特征，因此自旋霍爾效應(yīng)對(duì)于手性分析、生命探測(cè)等領(lǐng)域具有應(yīng)用前景。

懸鏈線結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)光子自旋霍爾效應(yīng)[1]

利用單個(gè)或者周期性的懸鏈線結(jié)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)光束偏折，那么通過(guò)將不同跨度的懸鏈線結(jié)構(gòu)按照一定規(guī)律進(jìn)行排布，可以實(shí)現(xiàn)更多的功能。譬如，利用“蜘蛛網(wǎng)”分布的懸鏈線結(jié)構(gòu)可以生產(chǎn)完美渦旋光，讓光像水渦旋一樣“轉(zhuǎn)起來(lái)”，可用于操控和捕獲微粒。渦旋光攜帶軌道角動(dòng)量，而判定軌道角動(dòng)量大小的物理量稱(chēng)之為拓?fù)浜桑碚撋贤負(fù)浜煽梢允秦?fù)無(wú)窮到正無(wú)窮，因此渦旋光在光通信中也具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

不僅如此，一系列平面光學(xué)器件均由懸鏈線結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，比如平面聚集鏡、貝塞爾光束產(chǎn)生器、艾里光束生成器等[2,3]。然而，對(duì)于傳統(tǒng)光學(xué)元件，若要實(shí)現(xiàn)上述功能，通常需要毫米甚至厘米量級(jí)的厚度，且需要曲面面形，而懸鏈線結(jié)構(gòu)的厚度小于波長(zhǎng)，尤其是對(duì)于可見(jiàn)光波段僅為納米量級(jí)。因此，懸鏈線結(jié)構(gòu)為實(shí)現(xiàn)輕量化、平面化、集成化的光學(xué)器件和系統(tǒng)提供了一種新的技術(shù)方案。

“蜘蛛網(wǎng)”分布的懸鏈線結(jié)構(gòu)產(chǎn)生完美光渦旋[4]

那么，懸鏈線結(jié)構(gòu)相比于普通離散結(jié)構(gòu)有何優(yōu)勢(shì)呢？在以往的研究中，研究人員通常利用離散型結(jié)構(gòu)去實(shí)現(xiàn)相位調(diào)控，但這樣的方式存在波前采樣率受限的瓶頸問(wèn)題，導(dǎo)致器件的效率和帶寬存在原理性限制。譬如，對(duì)于大角度偏折的微納器件，在一個(gè)采樣周期內(nèi)通常只能容納兩到三個(gè)離散單元結(jié)構(gòu)。根據(jù)衍射理論，二階相位能實(shí)現(xiàn)的最大衍射效率僅為40.5%，但懸鏈線結(jié)構(gòu)幾乎不存在這樣的限制，因?yàn)樗軌驅(qū)崿F(xiàn)連續(xù)的相位分布。通俗地講，由懸鏈線結(jié)構(gòu)構(gòu)成的微納光學(xué)器件對(duì)光的調(diào)制效果就好比一張超高分辨率的圖片，而離散結(jié)構(gòu)則會(huì)極大程度降低圖片分辨率，使得圖片呈現(xiàn)出馬賽克形貌，無(wú)法從中得到細(xì)節(jié)信息。

當(dāng)然，減小離散結(jié)構(gòu)的周期可以提高波前采樣率，但是這也會(huì)加大工藝難度，同時(shí)也會(huì)增強(qiáng)近場(chǎng)耦合，從而降低其光學(xué)性能。懸鏈線結(jié)構(gòu)可以很好地兼顧器件性能和工藝可行性，因此被認(rèn)為在下一代平面光學(xué)中具有重要作用[5]。

隨著對(duì)懸鏈線光學(xué)研究的不斷深入，研究人員從懸鏈線結(jié)構(gòu)拓展到懸鏈線電磁調(diào)控物理模型[6-8]，用于揭示亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)與電磁波相互作用的物理機(jī)理，并進(jìn)一步將懸鏈線光學(xué)的概念推廣到懸鏈線電磁學(xué)[6,9]。

研究發(fā)現(xiàn)，金屬亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)強(qiáng)度分布可以用懸鏈線函數(shù)表述，結(jié)構(gòu)的色散方程也可用懸鏈線函數(shù)表述。該特性有助于分析亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)與電磁波耦合的物理本質(zhì)，通過(guò)建立結(jié)構(gòu)尺寸與其懸鏈線場(chǎng)和懸鏈線色散的數(shù)學(xué)關(guān)系，可以快速得到部分亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的電磁響應(yīng)特性，包括振幅、相位、電磁場(chǎng)分布等。通常情況，微納器件的設(shè)計(jì)通常采用專(zhuān)業(yè)電磁場(chǎng)仿真軟件，使用參數(shù)掃描和人工擇優(yōu)的正向設(shè)計(jì)方法，存在耗時(shí)長(zhǎng)、難以最優(yōu)化等問(wèn)題。在未來(lái)的研究中，懸鏈線電磁模型若與深度學(xué)習(xí)、人工智能等計(jì)算機(jī)技術(shù)結(jié)合，將有望實(shí)現(xiàn)微納器件的快速逆向設(shè)計(jì)，也就是說(shuō)研究人員只需要輸入目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算機(jī)就會(huì)反饋結(jié)構(gòu)形貌。

基于構(gòu)建的懸鏈線電磁模型[6-8]，研究人員發(fā)展了一系列功能材料和器件，例如跨波段電磁調(diào)控器件、虛擬賦形材料、薄膜天線等[10-13]。目前，對(duì)懸鏈線光學(xué)的研究還在持續(xù)，更多的新現(xiàn)象和新應(yīng)用還有待發(fā)現(xiàn)。我們有理由相信，今后還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多與懸鏈線相關(guān)的新奇現(xiàn)象和應(yīng)用。

利用懸鏈線電磁調(diào)控模型設(shè)計(jì)的平面天線[6]

歷史上，許多重要的科學(xué)突破均源于對(duì)自然界普遍現(xiàn)象的深入思考，懸鏈線就是最好的例子。從最初對(duì)項(xiàng)鏈曲線形式的簡(jiǎn)單思考，發(fā)展到數(shù)學(xué)問(wèn)題的深入研究，再到建筑學(xué)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。又因科研人員的奇思妙想引入微納光學(xué)領(lǐng)域，并形成懸鏈線光學(xué)，為亞波長(zhǎng)電磁學(xué)研究奠定了一定的理論基礎(chǔ)。未來(lái)，當(dāng)你看到脖子上的項(xiàng)鏈、天空的電纜、樹(shù)枝上的蜘蛛網(wǎng)等等，是否會(huì)想起懸鏈線呢？或者，當(dāng)你再次踏足安瀾索橋或者目睹迎仙橋時(shí)，除了被中國(guó)古人的智慧所震驚，是否還會(huì)啟發(fā)你其他的思考呢？

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