射影幾何模型的應(yīng)用：彭羅斯扭量理論丨展卷

在藝術(shù)家試圖用圖像的方式在平面上創(chuàng)造空間和三維形式的錯(cuò)覺(jué)時(shí)，射影幾何學(xué)（Projective geometry）就誕生了。數(shù)學(xué)上，射影幾何是研究關(guān)于射影變換不變下的幾何性質(zhì)的專(zhuān)門(mén)學(xué)問(wèn)。而它在物理上還展現(xiàn)了特別的意義，從狹義相對(duì)論用四維時(shí)空所描述開(kāi)始，到晶體結(jié)構(gòu)以及通向量子引力的路徑上等等，這項(xiàng)在19世紀(jì)蓬勃發(fā)展的學(xué)問(wèn)至今仍煥發(fā)著生機(jī)。

《時(shí)空投影：第四維在科學(xué)和現(xiàn)代藝術(shù)中的表達(dá)》作者托尼·羅賓是當(dāng)代著名藝術(shù)家，四維幾何計(jì)算機(jī)可視化的先驅(qū)。他在探索藝術(shù)上起源于畢加索的立體主義（Cubism）的不同四維模型表達(dá)時(shí)，也探究了它們?cè)诂F(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和物理學(xué)的應(yīng)用，將藝術(shù)與藝術(shù)史、數(shù)學(xué)與科學(xué)融合在一起。本文即討論彭羅斯提出的扭量理論中包含的射影幾何思想，彭羅斯將其與復(fù)數(shù)聯(lián)系在一起構(gòu)建出時(shí)空本身，并由此發(fā)展出一系列的強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具。來(lái)自藝術(shù)家的視角將幫助我們理解這門(mén)深?yuàn)W的理論。

“這是一部修正主義數(shù)學(xué)史，也是一部修正主義藝術(shù)史。”本文選自《時(shí)空投影：第四維在科學(xué)和現(xiàn)代藝術(shù)中的表達(dá)》第7章，有刪減，小標(biāo)題為編者所加。前往“返樸”公眾號(hào)，點(diǎn)擊文末“閱讀原文”可購(gòu)買(mǎi)此書(shū)。點(diǎn)擊“在看”并發(fā)表您的感想至留言區(qū)，截至2021年11月7日中午12點(diǎn)，我們會(huì)選出2條留言，每人贈(zèng)書(shū)1本。

撰文 | 托尼·羅賓

翻譯 | 潘可慧 潘濤

校譯 | 潘濤

空間真的是由無(wú)量綱點(diǎn)（dimensionless points）組成的嗎？高中數(shù)學(xué)和常識(shí)說(shuō)它是，但有另一種數(shù)學(xué)和常識(shí)說(shuō)之前就錯(cuò)了。為了說(shuō)明常識(shí)的謬誤，愛(ài)因斯坦舉了一個(gè)椅子被推到舞臺(tái)上的例子。常識(shí)認(rèn)為，推力移動(dòng)椅子，因?yàn)楫?dāng)推力停止時(shí)，椅子就停止。原因和結(jié)果再清楚不過(guò)了。但是，你可以猛推一把椅子，這樣它就會(huì)在沒(méi)有人推的時(shí)候繼續(xù)移動(dòng)。這個(gè)小小的反例，給常識(shí)帶來(lái)了難題。對(duì)此反例的長(zhǎng)期考慮最終導(dǎo)致了對(duì)摩擦力的研究（牛頓第一定律指出，運(yùn)動(dòng)中的物體繼續(xù)運(yùn)動(dòng)直到停止），這導(dǎo)致了對(duì)行星圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)的理解。物理學(xué)家羅杰· 彭羅斯也以類(lèi)似的方式關(guān)注了直線有時(shí)是點(diǎn)這一表觀佯謬。圍繞這一佯謬的研究，他得出了一個(gè)全新的空間概念，并有希望將物理學(xué)各個(gè)獨(dú)立的、看似不可調(diào)和的分支統(tǒng)一起來(lái)。

光 錐

在開(kāi)始考察彭羅斯佯謬（Penrose’s paradox）前，請(qǐng)先考慮光錐（light cone），它是所有聚集在時(shí)間和空間點(diǎn)上的光的一部分。此外，在當(dāng)前時(shí)刻，光的閃光從一個(gè)特定的位置擴(kuò)展，而作為向外傳播的光線的前緣的球面形成了光錐的上半部。因?yàn)楹茈y想象四維圖形，所以慣例是把光錐畫(huà)成雙尖紙帽，其中的圓圈代表光的球面，兩條邊代表光的時(shí)間流逝的歷史。對(duì)于許多討論點(diǎn)，在較低維度情況下的推理與在較高維度的情況下的推理是相同的，且繪圖更容易。

“夾點(diǎn)”表示空間中某一特定位置的當(dāng)前時(shí)刻。沿著光錐的垂直時(shí)間軸傳播，就是在時(shí)間流逝時(shí)停留在原地；沿水平軸傳播是隨時(shí)隨地，以無(wú)限的速度運(yùn)動(dòng)。這些軸可以校準(zhǔn)，這樣垂直軸上的一個(gè)滴答等于 1 秒，而水平軸上的一個(gè)滴答等于 300,000 米。通過(guò)這種校準(zhǔn)，在 45 度對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)就是以光速傳播（圖1）。

圖1 光錐。對(duì)軸進(jìn)行校準(zhǔn)，使光速以 45 度線表示

因?yàn)槊娉碌墓忮F是由所有在特定時(shí)刻特定位置聚集在一起的光線組成的，所以觀察者在這個(gè)夾點(diǎn)所能知道的就是錐內(nèi)的信息。在內(nèi)部，慢于光速的光線就可以到達(dá)觀察者；在外部，光線或信息的傳播速度必須比光速更快才能到達(dá)觀察者，這是不可能的。因此，面朝下的光錐代表因果過(guò)去。同理，面朝上的光錐從那時(shí)起就描述了在那個(gè)地方因果未來(lái)的所有可能性。光錐表面則代表恰好以光速行進(jìn)的光線或信息（圖 2）。

圖2 面朝下的光錐描繪了因果過(guò)去。因果過(guò)去以外的事件，不會(huì)影響那個(gè)夾點(diǎn)（即在那個(gè)位置的當(dāng)前時(shí)刻）

圖3 彭羅斯畫(huà)的光錐。光錐表面上的直線代表以光速行進(jìn)的路徑。相對(duì)論表明，對(duì)于旅行說(shuō)，這些路徑的長(zhǎng)度為零；它們是零射線，也可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示。

要使這一論證具體化，需考慮一個(gè)在恒星 4.3 光年之外的核爆炸中產(chǎn)生的光子，它被眼睛吸收并轉(zhuǎn)化為化學(xué)能時(shí)，就結(jié)束了它的存在。其路徑長(zhǎng)度約為 4.06×10^13米。但是，如果某人以非常高的速度行駛，那么這條路可能只有原來(lái)的一半長(zhǎng)；在 95% 的光速下，這條路只有原來(lái)距離的 30%。

考慮那個(gè)著名的雙生子例子，如果一個(gè)人乘坐宇宙飛船，以接近光的速度旅行，而另一個(gè)人待在地球上，這對(duì)雙胞胎的年齡就不一樣了?；蛘?，對(duì)于那些不那么喜歡假設(shè)的物理謎語(yǔ)的人來(lái)說(shuō)，要考慮粒子加速器，當(dāng)物質(zhì)加速到接近光速時(shí)，放射性物質(zhì)樣本的半衰期實(shí)際上會(huì)根據(jù)靜止時(shí)鐘（以及與其他物質(zhì)相比）減慢。狹義相對(duì)論方程所描述的扭曲是有物理實(shí)在（physical reality）的，光錐圖必須解釋這一事實(shí)。

彭羅斯的替代光錐也提供了誤導(dǎo)的信息，因?yàn)樗鼪](méi)有顯示所有作為點(diǎn)的光線的球面從現(xiàn)在開(kāi)始縮小或向外生長(zhǎng)，就像產(chǎn)生閃光時(shí)的情形。包括零在內(nèi)的各種長(zhǎng)度的光線佯謬是由描述它們的空間模型產(chǎn)生的，如果它們被認(rèn)為是空間中的直線（line in space），模型中的問(wèn)題就不可避免。彭羅斯的創(chuàng)造性飛躍，乃是意識(shí)到還有另一個(gè)幾何對(duì)象可以模擬光線：射影直線（projective line）可以容納光線的所有長(zhǎng)度。（為了保持術(shù)語(yǔ)清晰，我將射影幾何中的線稱(chēng)為“射影直線”，而在其他幾何學(xué)中稱(chēng)之為“空間中的直線”，這是強(qiáng)調(diào)射影直線與背景無(wú)關(guān)的區(qū)別。）

從表面上看，射影直線看起來(lái)像是空間中的直線，但它卻截然不同，更加豐富。在射影幾何中，存在著直線和點(diǎn)的基本對(duì)偶論；凡是談?wù)撈渲幸粋€(gè)，就可以談?wù)摿硪粋€(gè)。射影點(diǎn)用比率（齊次坐標(biāo)）表示，高維空間中所有滿(mǎn)足這一比例的點(diǎn)都被認(rèn)為是同一點(diǎn)。一旦這種想象飛躍發(fā)生，射影直線就越來(lái)越準(zhǔn)確地描述了光線。射影直線具有一系列有序的點(diǎn)，但是——類(lèi)似于光線——它們沒(méi)有確定的長(zhǎng)度。就這一點(diǎn)而言，射影直線上某一范圍內(nèi)的點(diǎn)可以通過(guò)多個(gè)射影變換合法地重新排列，那些投影將一條直線投影回自身，這對(duì)于空間中的直線上的點(diǎn)來(lái)說(shuō)則不可想象。19 世紀(jì)射影幾何的成就是逐漸將射影幾何從笛卡兒 x， y 網(wǎng)格中移除，并跟蹤因不同投影而變化的測(cè)量值時(shí)，在圖形中保持不變的情況。因此，并不存在網(wǎng)格是射影直線（即光線）的專(zhuān)有定義。

沒(méi)有潛在的空間網(wǎng)格的事件空間的前景，對(duì)物理學(xué)家來(lái)說(shuō)是很有吸引力的。一段時(shí)間以來(lái)他們一直對(duì)物理學(xué)的戲劇應(yīng)該在一個(gè)預(yù)先確定的空間（不管它如何彎曲或扭曲）舞臺(tái)上發(fā)揮出來(lái)的想法感到不爽。根據(jù)廣義相對(duì)論，空間是物質(zhì)的創(chuàng)生。根據(jù)粒子物理學(xué)，物質(zhì)在空間之外產(chǎn)生，是從時(shí)空的虛粒子（幾乎不可能有任何物質(zhì)的單位）中冒出來(lái)的。如今弦理論提出，物質(zhì)最終由一維實(shí)體組成，與任何三維物質(zhì)單位相比，一維實(shí)體對(duì)純幾何的親和力要大得多。圈量子引力（loop quantum gravity）比其他形式的弦理論有價(jià)值，它的發(fā)明者之一李·斯莫林（Lee Smolin）說(shuō)，這主要是因?yàn)椤拔覀冋娴目梢砸砸环N背景獨(dú)立的方式來(lái)看待空間和時(shí)間，把它們看作一個(gè)關(guān)系網(wǎng)”（Smolin 2001，179 頁(yè)）。對(duì)于彭羅斯來(lái)說(shuō)，這些關(guān)系網(wǎng)的單位由射影直線構(gòu)建：“我們把時(shí)空認(rèn)為是從屬的概念，而把扭量空間——原先是光線空間——認(rèn)為是更基本空間?！保℉awking and Penrose 1996，110 頁(yè)）“通常的時(shí)空概念……是由扭量基本成分構(gòu)造出來(lái)的?！?（Penrose 2004，963頁(yè)）

扭量空間

彭羅斯經(jīng)常寫(xiě)道，想象一位觀看夜空的觀者，恒星的宇宙就像一個(gè)球體（被稱(chēng)為“天球”或者“天圖”），觀者在其中心。另一位站在離第一位觀者一段距離的觀者，也看到了一個(gè)天球。通常情況下，這兩個(gè)球體可以簡(jiǎn)單地通過(guò)旋轉(zhuǎn)一個(gè)球體使之與另一個(gè)球體重合在一起。然而，如果第二個(gè)觀者以接近光速行進(jìn)，這種方法將無(wú)法奏效；球體中存在光的畸變，簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)不會(huì)產(chǎn)生重合。例如，如果第二個(gè)觀者直接從靜止的第一個(gè)觀者身邊經(jīng)過(guò)，但正以很大的速度向北極星移動(dòng)，那么天球上的恒星就會(huì)被擠壓到北極區(qū)；如果第二個(gè)觀者經(jīng)過(guò)第一個(gè)觀者的一側(cè)，天球上的恒星將被旋轉(zhuǎn)到一邊，然后擠壓到北方。當(dāng)然，運(yùn)用洛倫茲變換會(huì)從另一組重新計(jì)算一組恒星位置，但是彭羅斯注意到一組更簡(jiǎn)單的變換，即莫比烏斯變換（與莫比烏斯帶沒(méi)有關(guān)系）也會(huì)獲得成功。

要使莫比烏斯變換起作用，天球上的位置必須用復(fù)數(shù)重新編號(hào)：形為a +b i 的數(shù)字，其中 i 是虛數(shù)

。復(fù)數(shù)通常表示在平面上，其中第一個(gè)數(shù)

（實(shí)部）是在水平軸上的位置，第二個(gè)數(shù)（虛部）是在垂直軸上的位置，完全復(fù)數(shù)是用這兩個(gè)軸作為地圖坐標(biāo)定義的平面上的位置。這整個(gè)二維平面，代表了一組相關(guān)的復(fù)點(diǎn)（complexpoints），可以被認(rèn)為是一條復(fù)直線（complex line）。射影直線的行為就好像它們是封閉的，因此經(jīng)常被建模成圓：左無(wú)窮大和右無(wú)窮大是一樣的?！八x擇的（射影幾何的）公理非常普遍，允許坐標(biāo)屬于任何場(chǎng)：不是我們可以使用有理數(shù)的實(shí)數(shù)，而是復(fù)數(shù)?！保–oxeter 1961，231 頁(yè)）因此，射影直線需要不僅是一條實(shí)點(diǎn)直線，還可以是一條由復(fù)數(shù)組成的直線。若它既是復(fù)數(shù)又是射影，則直線就只有一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。這條復(fù)線，被建模成只有一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的平面，卷成一個(gè)球，稱(chēng)為黎曼球面。

對(duì)于莫比烏斯變換，天球被映射到這個(gè)數(shù)學(xué)球面上。若使用極坐標(biāo)（從球面中心的角度導(dǎo)出）代替經(jīng)度和緯度坐標(biāo)，則計(jì)算進(jìn)一步簡(jiǎn)化。這種對(duì)復(fù)數(shù)和極坐標(biāo)的改變，結(jié)果是一個(gè)意想不到的好處。不僅洛倫茲變換的計(jì)算更容易進(jìn)行，彭羅斯說(shuō)的廣義相對(duì)論中的計(jì)算也更容易進(jìn)行。此外，射影空間中的復(fù)數(shù)是量子物理工作的首選數(shù)學(xué)系統(tǒng)；至少這兩個(gè)不同的物理學(xué)分支現(xiàn)在可以使用同一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

彭羅斯指出，“在基本的扭量對(duì)應(yīng)中，（閔可夫斯基）時(shí)空中的光線在（射影）扭量空間中用點(diǎn)來(lái)代表，而時(shí)空點(diǎn)則表示為黎曼球面”（Hawking and Penrose 1996，111 頁(yè)）。當(dāng)用齊次坐標(biāo)表示時(shí)，空間中的直線就變成了點(diǎn)。當(dāng)做出射影和復(fù)時(shí)，點(diǎn)變成復(fù)射影直線，即黎曼球面。彭羅斯將光線射影模型的相關(guān)性與復(fù)數(shù)的便利性結(jié)合起來(lái)，構(gòu)造了復(fù)射影三維空間，即扭量空間（twistor space）的定義（圖4）。扭量不是無(wú)質(zhì)量粒子，不像矢量是無(wú)質(zhì)量粒子，但扭量是對(duì)無(wú)質(zhì)量粒子可能性的描述，因此是對(duì)空間的描述（圖 5）。在許多著作和講座中，他對(duì)這些元素之間的有機(jī)聯(lián)系感到驚訝：天球的狹義相對(duì)論洛倫茲變換也是莫比烏斯變換；莫比烏斯變換假定黎曼球面及其內(nèi)含的復(fù)射影幾何；光線最好模擬成射影直線。

圖4 射影直線，畫(huà)成圓圈，把（過(guò)去的）天球和（未來(lái)的）天球連接起來(lái)

圖5 彭羅斯畫(huà)的扭量，一個(gè)嵌套的一系列墨水圓圈，填充了所有的三維空間

我找到了我的空間！

射影幾何學(xué)和復(fù)數(shù)的結(jié)合還有進(jìn)一步的協(xié)同作用，這是一個(gè)凝聚在一起的整體，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其各部分看似無(wú)害的總和。描述無(wú)質(zhì)量粒子自旋的此種自然方式，就是這些令人欣喜的結(jié)果之一。

觀者總是位于天球光線的中心，因?yàn)楣饩€在當(dāng)前時(shí)刻聚集在一個(gè)特定的位置上，組成觀者的天圖（sky map）。這些光線，若延續(xù)到未來(lái)，則構(gòu)成未來(lái)一半的光錐，即觀者的反天圖（anti-sky map）。對(duì)于光線本身，這兩幅天圖被“視為等同”，意思是它們被合（即“膠合”）在一起因?yàn)楣饩€的長(zhǎng)度為零。彭羅斯謹(jǐn)慎地說(shuō)，過(guò)去光錐和未來(lái)光錐的這個(gè)緊化（一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，指“系統(tǒng)的完成”）只是一個(gè)數(shù)學(xué)上的“方便”，但是一個(gè)有信息的“方便”。光線穿過(guò)夾點(diǎn)時(shí)，它們的位置在光錐的上半部分被反轉(zhuǎn)。緊化，就相當(dāng)于在光線中加一個(gè)扭曲（圖 6）。

圖6 當(dāng)過(guò)去天圖與未來(lái)天圖膠合時(shí)，緊化就會(huì)發(fā)生。當(dāng)連接對(duì)應(yīng)諸點(diǎn)的諸線長(zhǎng)度為零時(shí)，此種膠合是不可避免的。

另一種將光錐緊化的方法，是在閔可夫斯基空間（Minkowski space）中添加一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)光錐（圖 7）。添加一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)元素，是射影幾何封閉一個(gè)空間的既定技巧。這種緊化的結(jié)果，構(gòu)造了復(fù)射影三維空間。彭羅斯意識(shí)到，由閉環(huán)組成的緊化光錐是三維球面（球面的四維類(lèi)似物）的霍普夫纖顫（一組鏈接的圓）。這是一個(gè)久已為人所知的數(shù)學(xué)事實(shí)，即在三維球上的某些平行路徑隨著它們的推進(jìn)而扭曲。彭羅斯認(rèn)為，這一幾何事實(shí)必須解釋無(wú)質(zhì)量粒子自旋的起源，盡管所有的細(xì)節(jié)還沒(méi)有搞清楚。為了界定光線扭轉(zhuǎn)的方向，光線的描繪必須有一個(gè)附加的結(jié)構(gòu)，而這是通過(guò)添加旗子來(lái)實(shí)現(xiàn)的：把光線看作旗桿，把旗子看作附在旗桿上的剛性信號(hào)旗（圖8 ）。（旋量，即隨它們推進(jìn)而旋轉(zhuǎn)的矢量，就是這樣被描述的，而扭量則以旋量數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)。）現(xiàn)在可以跟蹤零射線（零長(zhǎng)度的光線）的扭曲，并將其看作緊化的必然結(jié)果，緊化本身就是在其自身參考系中具有零長(zhǎng)度，從而成為一個(gè)射影實(shí)體的光線的必然結(jié)果。

圖7 放置一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)光錐，會(huì)使零射線變成圓。放置一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)光錐，也會(huì)使空間緊化。

圖8 零射線的切線和垂線從過(guò)去傳遞到未來(lái)時(shí)，皆圍繞射線旋轉(zhuǎn)。就像被稱(chēng)為旋量的數(shù)學(xué)對(duì)象，這種扭曲是通過(guò)在射線上附加旗子，從而使其方向清晰而被注意到。

射影幾何學(xué)與復(fù)數(shù)融合的另一個(gè)令人欣喜的結(jié)果，是時(shí)間之矢的更加清晰的畫(huà)面。雖然沒(méi)有什么比過(guò)去發(fā)生的事情和尚未發(fā)生的事情之間的區(qū)別更明顯，但這種區(qū)別無(wú)論是從幾何角度還是從物理學(xué)角度看并不明顯。舉一個(gè)物理學(xué)的例子，想象一下早晨的太陽(yáng)使一片霧氣變暖。當(dāng)陽(yáng)光擊中霧中的水分子時(shí)，水分子會(huì)被加熱，開(kāi)始以漸增的能量四處運(yùn)動(dòng)。隨著分子四處運(yùn)動(dòng)并撞擊其他分子時(shí)，云團(tuán)擴(kuò)展，密度降低，直到云最終蒸發(fā)。但是，把注意力集中在水的分子反彈上，晨霧的大畫(huà)面就消失了。如果只拍攝了幾個(gè)分子的特寫(xiě)電影，人們就無(wú)法分辨電影放映是向前還是向后，因?yàn)槲锢韺W(xué)定律不會(huì)區(qū)分跑向未來(lái)的事件還是跑向過(guò)去的事件。在局部上，即使霧總體上正在消散，分子的碰撞也能將霧凝聚成孤立的斑點(diǎn)。在這個(gè)例子中，有一個(gè)清晰的全局時(shí)間之矢和一個(gè)混亂的局部時(shí)間之矢。

也存在相反的情形。人們可以通過(guò)考察光線的自旋，在局部檢測(cè)光線，看看它們是向前移動(dòng)，還是向后移動(dòng)。右旋螺釘被標(biāo)記為正且隨時(shí)間向前移動(dòng)，左旋螺釘被標(biāo)記為負(fù)且隨時(shí)間向后移動(dòng)?，F(xiàn)在，問(wèn)題在于構(gòu)建全局箭頭（global arrow）。彭羅斯解釋道，“量子場(chǎng)論需要把諸場(chǎng)量分解成正頻和負(fù)頻部分。前者順時(shí)間傳播，而后者逆時(shí)間傳播。為了得到理論的傳播子，人們需要一種把正頻率（也就是正能量）部分挑出來(lái)的辦法。扭量理論是完成這種分解的一個(gè)（不同的）框架——事實(shí)上，這種分解正是扭量的一個(gè)重要的原始動(dòng)機(jī)” （Hawking and Penrose 1996，107 頁(yè)）。

彭羅斯詳細(xì)敘述了 1963 年 12 月 1 日一次駕車(chē)旅行的確切時(shí)刻，當(dāng)時(shí)他意識(shí)到，有一種方法可以將這些局部觀測(cè)結(jié)果構(gòu)造成一個(gè)完整的全局圖景，用來(lái)描述時(shí)間箭頭（arrow of time）。他認(rèn)識(shí)到，實(shí)線將復(fù)平面分為正虛部和負(fù)虛部，這種基本的分解也是用黎曼球面來(lái)模擬的。從北極向南半球上的點(diǎn)的投影等同于負(fù)頻率，隨時(shí)間向后退行，而從北極向北半球上的點(diǎn)的投影則等同于正頻率，沿光錐上部的方向（反天映射）隨時(shí)間前行。這一分析給出了時(shí)間方向的全局圖景。彭羅斯宣告：“我找到了我的空間！”（1987 年，第 8 節(jié)；2004 年，993 頁(yè)以后）

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天球只定義了時(shí)空中的一個(gè)點(diǎn)，即觀者在當(dāng)前時(shí)刻的位置。光錐的所有光線在時(shí)空中的單個(gè)點(diǎn)匯聚。因此，每個(gè)扭量只定義單個(gè)點(diǎn)。問(wèn)題變成如何將這些點(diǎn)組裝成由離散元素組成的協(xié)合空間，以及如何在沒(méi)有已有的坐標(biāo)系的情況下做到這一點(diǎn)。換句話(huà)說(shuō)，我們的目標(biāo)是定義一個(gè)空間，首先它具有量子粒度（quantum graininess），因此不是無(wú)限可分的；其次它完全由自身組成，而不涉及任何其他系統(tǒng)。按照物理學(xué)家的說(shuō)法，此種空間應(yīng)該是組合空間，與背景無(wú)關(guān)。早在 1958年，彭羅斯就提出了自旋網(wǎng)絡(luò)（一個(gè)帶有內(nèi)部計(jì)數(shù)系統(tǒng)的拓?fù)淦雌觯┑母拍顏?lái)表達(dá)這樣的空間。到 1968 年，他開(kāi)始發(fā)表這一觀點(diǎn)，十年后，自旋網(wǎng)絡(luò)在數(shù)理物理學(xué)界中廣為人知。彭羅斯將這一想法描述如下：

這里描述的理論中出現(xiàn)的“方向”皆由系統(tǒng)之間的相互關(guān)系所定義，它們一般不會(huì)與先前給定的（且是不必要的?。┍尘翱臻g中的方向一致。在這里獲得的空間，將被認(rèn)為（確實(shí)必須被認(rèn)為）是由系統(tǒng)本身決定的空間。希望對(duì)上述方案的一些修改能夠考慮到諸系統(tǒng)相對(duì)速度的影響，從而也許可能建立四維時(shí)空。（上述理論中不含時(shí)間，甚至到事件的時(shí)間順序與此無(wú)關(guān)的程度?。≒enrose 1979，306 頁(yè)）

自旋網(wǎng)絡(luò)后來(lái)的發(fā)展證明，在大型聚集體中，它們的外觀和功能類(lèi)似于空間，因此與經(jīng)驗(yàn)是相容的。該方案的各種修改已經(jīng)發(fā)展，包括高維自旋泡沫。但是，目標(biāo)仍然是“得到那種完全離散的、明顯是‘組合的’理論框架……要深入到大自然的最微細(xì)致尺度上來(lái)理解其運(yùn)作機(jī)制，這一框架是必不可少的”（Penrose 2004，958 頁(yè)）。

彭羅斯對(duì)扭量的希望是，它們可以用來(lái)彌合當(dāng)代物理學(xué)中相對(duì)論和量子物理學(xué)之間最嚴(yán)重的鴻溝，首先把它們放在同一個(gè)編號(hào)系統(tǒng)中；還有一個(gè)很大的鴻溝要跨越；量子物理學(xué)是關(guān)于過(guò)去的故事；后向光錐描述因果過(guò)去。如前所述，所有可能影響當(dāng)前時(shí)刻的事件都必須在光錐內(nèi)，因?yàn)橹挥羞@樣，任何信息或影響才有時(shí)間到達(dá)當(dāng)前時(shí)刻。過(guò)去在光錐外發(fā)生的任何事件，都必須以比光速更快的速度在當(dāng)前時(shí)刻到達(dá)指定的地點(diǎn)。從相對(duì)論者的觀點(diǎn)來(lái)看，物理學(xué)是關(guān)于未來(lái)的故事。事件受到引力相互作用的影響，此時(shí)此刻質(zhì)量扭曲了局部空間，從而改變了未來(lái)。未來(lái)光錐向引力質(zhì)量?jī)A斜；甚至類(lèi)時(shí)間路徑（在空間中沒(méi)有任何方向，但只是通過(guò)時(shí)間）向質(zhì)量?jī)A斜。

量子力學(xué)的佯謬在于，過(guò)去光錐之外的事件似乎確實(shí)影響（即糾纏）在當(dāng)前時(shí)刻所做的測(cè)量。為了解釋因果關(guān)系錐外部事件的佯謬，一種流行的觀點(diǎn)認(rèn)為光錐必須是模糊的（fuzzy）；它們朦朧的表面，包括可能被誤認(rèn)為在光錐之外的點(diǎn)。彭羅斯設(shè)想，存在許多毗連的、疊加的光錐，事件是模糊的，直到它們卡入其中的一個(gè)或另一個(gè)：“在扭量處理中，則是‘光線’未變但‘事件’變得模糊?！?（Penrose 2004，966 頁(yè)）這種量子多重態(tài)（quantum multiplicity）通過(guò)“水平大約為一個(gè)引力子（gravitron）或更大的尺度”的引力相互作用，被分解成明確的經(jīng)典結(jié)果（Penrose 1989，367 頁(yè)）。

另一項(xiàng)建議是認(rèn)為光錐是剛性的，這樣，傾斜未來(lái)光錐也會(huì)傾斜過(guò)去光錐，從而掃進(jìn)光錐并導(dǎo)致外部的因果過(guò)去事件。如果人停下來(lái)想一想，光錐的剛性旋轉(zhuǎn)是完全反直覺(jué)的：過(guò)去就是過(guò)去，一去不復(fù)返，而未來(lái)則受當(dāng)前事件的影響。從現(xiàn)在開(kāi)始的事件，沒(méi)有理由影響過(guò)去的情況；毫無(wú)疑問(wèn)，光錐應(yīng)該會(huì)在其夾點(diǎn)處合上。當(dāng)然，如果光錐由空間中的線組成，它們就會(huì)分裂。我建議將光線解釋為射影直線，解釋光錐在旋轉(zhuǎn)時(shí)如何保持剛性。從零射線的角度來(lái)看，從過(guò)去到現(xiàn)在到未來(lái)的路徑不可能有分離，因?yàn)檫@些點(diǎn)之間沒(méi)有距離。光線的射影性質(zhì)意味著光錐不能在其夾點(diǎn)處合上，因此必須是剛性的。使未來(lái)光錐傾斜以改變可能的未來(lái)不可避免地使過(guò)去光錐傾斜，將光錐以外的事件帶入因果過(guò)去（圖 10）。

圖10 旋轉(zhuǎn)一個(gè)剛性光錐，會(huì)將光錐之外的事件帶入因果過(guò)去。

彭羅斯的扭量綱領(lǐng)，可以概括為主要基于三個(gè)洞見(jiàn)。他意識(shí)到，光線的路徑更像是射影直線，而不是空間中的直線，洛倫茲變換也可以作為莫比烏斯變換來(lái)完成，而光錐的完整圖景（緊化圖景）將它們描繪成三維球面上連在一起的平行圓圈（霍普夫纖顫）。接下來(lái)至少有四個(gè)有希望的結(jié)果。所有的物理學(xué)，包括相對(duì)論，都可以使用相同的復(fù)數(shù)作為測(cè)量系統(tǒng)。粒子中自旋的起源，被看作幾何學(xué)的函數(shù)。全局時(shí)間之矢，及其對(duì)熵（entropy）的影響，與空間的描述結(jié)合。最后，這一扭量綱領(lǐng)保證了一個(gè)與背景無(wú)關(guān)的空間組合結(jié)構(gòu)。彭羅斯承認(rèn)，盡管這個(gè)龐大而未完成的扭量綱領(lǐng)目前在純粹數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得了比物理學(xué)更全面的成功，但研究人員各自仍在繼續(xù)研究這個(gè)綱領(lǐng)的不同部分。自旋網(wǎng)絡(luò)連同其對(duì)非連續(xù)空間的描述，尤其鼓舞人心。此外，在過(guò)去兩年里，愛(ài)德華· 威滕（Edward Witten）找到了一種把扭量和弦理論結(jié)合起來(lái)的方法，通過(guò)這些思想的融合，他可以在更可信的四維，而不是弦理論通常的十一維上搞弦理論。

雖然彭羅斯經(jīng)常被貼上柏拉圖主義者的標(biāo)簽，因?yàn)樗麑?zhuān)注于幾何學(xué)的首要地位來(lái)定義什么是可能的，但彭羅斯實(shí)際上更像一個(gè)亞里士多德主義者，他堅(jiān)持認(rèn)為我們所觀察到的就是實(shí)在，我們的問(wèn)題來(lái)自應(yīng)用了一些錯(cuò)誤的模型?！皩?duì)于那些時(shí)空維數(shù)超出我們直接可觀察（即1+3）的理論，”彭羅斯說(shuō)，“我看不出有何理由值得相信，它們使我們背離了物理學(xué)認(rèn)識(shí)的方向?！保≒enrose 2004，1011 頁(yè)）彭羅斯有時(shí)又說(shuō)，扭量只是一種替代表述：“它可能被簡(jiǎn)單地看作為解決標(biāo)準(zhǔn)物理理論中的問(wèn)題提供了新的數(shù)學(xué)方法?！毕喾?，扭量可能被視作為所有物理學(xué)基礎(chǔ)提供了一個(gè)替代框架，其特點(diǎn)是“事件概念（時(shí)空點(diǎn)）從主要角色降到次要角色”（Penrose and Rindler，第 2 卷， viii 頁(yè)）。在這個(gè)表述中，扭量的價(jià)值是深遠(yuǎn)的；彭羅斯想要用反直覺(jué)的復(fù)數(shù)和射影來(lái)?yè)Q取反直覺(jué)的高維。既然它們?cè)跀?shù)學(xué)上等價(jià)，就采取更接近我們體驗(yàn)的空間模型。射影模型（projective model）把我們從錯(cuò)誤的空間概念中解放出來(lái)，使我們走上了通向?qū)嵲谥罚═he road of reality）。