阿西莫夫：宇宙的奧秘

【譯者之言：從悖論開始，講述收斂數(shù)列和發(fā)散數(shù)列，從而引出分形理論，繼而將其用來解釋宇宙的復(fù)雜性——“我相信宇宙本質(zhì)上具有非常復(fù)雜的分形特性，對科學(xué)的追求也有著共同的特性。這樣，宇宙中任何未被了解的部分，和科學(xué)研究中任何尚未被解決的部分，與已被了解和已被解決的部分相比，無論多小，它們都包含著原始的復(fù)雜性。因此，我們永遠都無法將其窮盡。無論我們走多遠，前方的路還是會和開始的一樣長，這就是宇宙的奧秘。”】

悖論，從自相矛盾的陳述的意義上來說，總是會刺激到我。 我堅定的信念是，宇宙萬物的運行方式，都絕不會允許自相矛盾的事情發(fā)生。那么，如果我們可能遇到的一些悖論，也只可能是因為我們固執(zhí)地堅持說一些我們不該說的話。

例如，這里有一個悖論的例子。假設(shè)某個小鎮(zhèn)上只有一位理發(fā)師，他為小鎮(zhèn)上的每個人理發(fā)，除了那些自己為自己理發(fā)的人。問題來了：誰為理發(fā)師理發(fā)呢？

理發(fā)師不能為自己理發(fā)，因為他只為那些不為自己理發(fā)的人理發(fā)。另一方面，如果他不為自己理發(fā)，他又會受到“他只為那些不為自己理發(fā)的人理發(fā)”的說法的束縛。

只有在我們堅持制造那些已經(jīng)有了自相矛盾種子的說法時，悖論才會出現(xiàn)。

有關(guān)這樣的情形，正確的方法是換一種明智的說法，應(yīng)該說“理發(fā)師為自己，還有鎮(zhèn)上的每個人理發(fā)，除了那些自己為自己理發(fā)的人。”這樣，悖論就不存在了。

還有另外一個悖論：某個實行專制統(tǒng)治的君主命令，穿過某座橋的任何人，都必須宣布他的目的地，以及他到那里去的目的。如果撒了謊，就必須被吊死。而如果說了真話，則可以保他平安無事。

一天有個人穿過這座橋，在被問及目的地時，他說道：“我要去往絞刑架，目的是被吊死”。

那么，如果他現(xiàn)在被吊死，他說的就是實話，就應(yīng)該保他平安無事。然而，如果保他平安無事，他就說了謊話，就應(yīng)該被吊死。如此反反復(fù)復(fù)，死循環(huán)下去。

這同樣是，答案一定是可以預(yù)料到的，并且一定是排除在界限范圍之外的，否者這項法令將毫無意義。（在真實生活中，我想象這個專制的君主會說“吊死他，因為他是個聰明的家伙”，或者說“要把他吊死他才會告訴我真話，這樣你就可以確保他的尸體平安無事了。”）

在數(shù)學(xué)中，存在禁止悖論源頭的傾向。例如，如果允許除以零，就很容易證明，所有各種數(shù)都相等。于是，為了防止這種事情發(fā)生，數(shù)學(xué)家們就武斷地禁止除以零，如此而已。

數(shù)學(xué)中更精妙的悖論則有著它們的積極作用，因為它們刺激了人們的思想，并鼓勵了數(shù)學(xué)嚴密性的發(fā)展?；氐焦?50年，例如，希臘哲學(xué)家埃利亞的芝諾（Zeno of Elea）提出了四個悖論，它們都傾向于表明，正如所感覺到的那樣，這些情況是不可能發(fā)生的。

其中最有名的一個悖論通常被稱為“阿喀琉斯和烏龜”，這個悖論是這樣的：

假設(shè)阿喀琉斯（參與過特洛伊之戰(zhàn)的跑得最快的希臘英雄）能跑得比烏龜快十倍，并假設(shè)他們兩個參加一次賽跑，讓烏龜提前十碼出發(fā)。

在這種情況下，出現(xiàn)的爭論是，阿喀琉斯有可能超不過烏龜，因為在阿喀琉斯跑過他和烏龜原先位置之間的十碼距離時，烏龜已經(jīng)領(lǐng)先了一碼。當阿喀琉斯再跑過一碼時，烏龜又領(lǐng)先了十分之一碼，而當阿喀琉斯又跑過十分之一碼時，烏龜還是領(lǐng)先了百分之一碼，如此永遠繼續(xù)下去。阿喀琉斯跑得越來越靠近烏龜，但是他永遠追不上它。

推理是無可挑剔的，但我們所有人都知道，事實上阿喀琉斯會很快超過烏龜。實際上，如果有兩個人，A和B，在賽跑，如果A能夠比B跑得快（哪怕只是快一點點），那即使B提前非常多（但應(yīng)該是有限的多）出發(fā)，A最終也會追上B的，只要雙方都以恒定的速度，在無限延長的時間內(nèi)奔跑。

那么就存在一個悖論，即邏輯推理顯示阿喀琉斯不能超過烏龜，但簡單的觀察則顯示他能夠超過（事實上也會超過）。

這個問題兩千年來難住了數(shù)學(xué)家們，部分原因是因為他們認為下列情況是理所當然的，即：如果你有一個無限數(shù)列，比如：10+1+1/10+1/100...，那它的總和一定就是無窮大的，而穿越由這些數(shù)字所表示的距離所花費的時間也就一定是無窮大的。

不過，最終數(shù)學(xué)家們認識到，這一十分明顯的假設(shè)——一個無限的數(shù)集，無論它多小，它都一定有一個無窮大的和——是完全錯誤的。

在后來的研究中，大家又認識到，其實，對這樣的無限數(shù)集的表達令人驚訝地簡單?？紤]數(shù)列10+1+1/10+1/100...，將10和1加起來，可以得到11；將1/10加在其上，可以得到11.1；將1/100加在其上，可以得到11.11；再將1/1000加在其上，可以得到11.111。如果你將此類數(shù)無限地加起來，就會得到11.111111...。但這樣一個無限的循環(huán)小數(shù)正好是分數(shù)11-1/9（十一又九分之一）。

因此，表示烏龜領(lǐng)先阿喀琉斯距離的整個不斷遞減的無限數(shù)集，其總和也就只有11-1/9碼，而阿喀琉斯要追上烏龜，只需要跑11-1/9碼。

帶有有限和的無限數(shù)列是“收斂數(shù)列”，而根據(jù)我的判斷，其最簡單的例子是1+1/2+1/4+1/8...，其中每一項都是前面一項的一半。如果你開始將這樣一個數(shù)列的每一項加起來，你就會毫不費勁地說服自己，整個無限數(shù)集的總和只是2。

帶有無窮和的無限數(shù)列則為“發(fā)散數(shù)列”。這樣，數(shù)列1+2+4+8...明顯會變得越來越大，且沒有限制，以致于它的和可以被稱為是無窮大的。

要想?yún)^(qū)分一個數(shù)列是發(fā)散的還是收斂的，并非總是那么容易。例如，數(shù)列1+1/2+1/3+1/4+1/5...是發(fā)散的。如果你將每一項加起來，它們的和會連續(xù)增大。不可否認，和的增長會變得越來越慢，但如果你取足夠多的項，你就能夠得到大于2、或3、或4，或者是你能說得出來的任何更大數(shù)的和。

我相信，這個數(shù)列也是我們可能得到的，最溫和的發(fā)散數(shù)列。

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如果我沒記錯的話，在我中學(xué)的中級代數(shù)課程中，就學(xué)過了收斂數(shù)列的知識。當時我才十四歲，這真的讓我感到很震驚。

不幸的是，我并不是個天生的數(shù)學(xué)家。有那么一些人，即使是在他們的青少年時代，就能夠掌握精妙的數(shù)學(xué)關(guān)系——就像伽羅瓦（Galois）、克萊拉烏特（Clairaut）、帕斯卡爾（Pascal）、高斯（Gauss）他們一樣——但我并非其中的一員，感覺和他們相差了好幾個光年的距離。

我不停地與收斂數(shù)列做斗爭，并試圖以一種模糊的、不系統(tǒng)的方式來看待一些東西。而現(xiàn)在，半個世紀之后，我有了更多的經(jīng)驗，能夠以更加明智的方式來表現(xiàn)那些少年時期的想法。

讓我們考慮數(shù)列1+1/2+1/4+1/8+1/16...，并試圖去找到一種更加直觀的方式的表示它們。例如，設(shè)想一列正方形，第一個的邊長為1厘米，第二個為1/2厘米，第三個為1/4厘米，第四個為1/8厘米，如此持續(xù)下去。

設(shè)想將它們緊緊地貼在一起，讓最大的一個正方形在左邊，第二大的正方形緊靠在它的右邊，然后是第三大的、第四大的，如此持續(xù)。你就會得到一條由無限數(shù)量的越來越小的正方形緊靠在一起組成的直線。

將它們?nèi)考釉谝黄?，記住是它們?nèi)?，將會延?厘米的長度。第一個正方形占了整個長度的一半，下一個則占了剩下長度的一半，再下一個又占了剩下長度的一半，如此永遠持續(xù)下去。

自然，正方形很快就會變得極端的小。第二十七個正方形的邊長大約只有一億分之一厘米，于是讓我們想象，將這個正方形以及其后的所有正方形放大一億倍。第二十七個正方形的每個邊長就會變成1厘米，緊跟著它的另一個正方形的每個邊長就會變成1/2厘米，再下一個則為1/4厘米，如此持續(xù)。

簡而言之，通過放大會產(chǎn)生一個，在尺寸和正方形數(shù)量上，與我們開始使用的數(shù)列正好相同的數(shù)列。

另外，第五十一個正方形已經(jīng)小到只有大約一個質(zhì)子的尺寸。不過，如果將其放大為1厘米的正方形，它還是會有一個在尺寸和正方形數(shù)量上與我們開始使用的數(shù)列正好相同的數(shù)列。

我們可以永遠持續(xù)下去，絕不會窮盡。不管我們走得多遠，哪怕是第數(shù)百萬個不斷變小的正方形，第數(shù)萬億個、第10的39次方個不斷變小的正方形，我們都會得到一個與原始的那個數(shù)列完全相似的數(shù)列。這樣的情形可以說展示了“自相似性”。

而將它們所有的、所有的加在一起，則會得到一個2厘米的寬度。并不是說2厘米寬度有什么魔力。我們同樣也可以將其設(shè)計為1厘米寬度，或者1/10厘米寬度，或者是一個質(zhì)子的寬度。

試圖以1碼等于36英寸這樣簡單的思路去“理解”這一點是沒有用的。對于無窮量，我們并沒有直接的經(jīng)驗，并且我們也不可能有。我們只能試圖去想象無窮量存在的結(jié)果，而其結(jié)果與我們所能經(jīng)歷的任何東西都太不相同了，以至于它們“毫無意義”。

例如，一條直線上點的數(shù)量比整數(shù)的數(shù)量具有更高的無限性。沒有現(xiàn)成的方法，可以讓你去匹配這些點與數(shù)字。如果你試圖將點按照數(shù)字加以排列，你總是會發(fā)現(xiàn)有些點上沒有對應(yīng)的數(shù)字。實際上，有無限多的點找不到與它們對應(yīng)的數(shù)字。

另一方面，你可以將1厘米長的直線上的點，用另一條2 厘米長的直線上的點來匹配，這樣，你一定會得出結(jié)論，較短直線上的點與較長直線上的點一樣多。實際上，一條1厘米長的直線上的點可以多到擠滿整個三維宇宙。你想要得到解釋嗎？我解釋不了，任何人都解釋不了。但可以證明的是，它不是能用普通的方式就可以“說得通”的。

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讓我們再回到自相似性。我們可以發(fā)現(xiàn)，不僅在數(shù)列中，而且在幾何形狀中，都存在自相似性。例如，1906年，瑞典數(shù)學(xué)家赫爾格·馮·科赫（Helge von Koch）（1870-1924）創(chuàng)造了一種超級雪花。他是這樣得到的。

從一個等邊三角形（每個邊都相等）開始，將每個邊分成三等分，并在每個邊三等分中間的一段上構(gòu)造出一個更小的新的等邊三角形，這樣就可以得到一個六角星形，然后將六角星形的六個等邊三角形的每條邊分成三等分，并在每個邊三等分中間的一段上構(gòu)造一個小的新的等邊三角形?，F(xiàn)在，你就得到了一個由十八個等邊三角形鑲嵌成的圖案。再將這十八個等邊三角形的每條邊分成三等分——如此持續(xù)，再持續(xù)，永遠持續(xù)下去。

自然，不管初始的三角形有多大，你的繪圖技巧有多高超，新的三角形都會很快變得很小而無法繪制。你不得不憑想象去繪制，并試圖得出結(jié)果。

如果你一直將超級雪花構(gòu)建下去，每一級包裹雪花的周長就會形成一個發(fā)散數(shù)列。因此，最終雪花的周長的長度是無窮大的。

在另一方面，每一級雪花的面積則會形成一個收斂數(shù)列，帶有有限的總和。這意味著，即使到了最后，周長無窮大， 雪花的面積都不會超過初始等邊三角形的1.6倍。

現(xiàn)在假設(shè)，你去研究初始三角形一個邊上相對較大的三角形。它會是無限復(fù)雜的，因為越來越小、越來越小的三角形一直從它身上迸發(fā)出來，沒完沒了。但是，如果你取其中一個小得只能在顯微鏡下才能看見的三角形，并想象將其放大到便于觀察的程度，它又會變得和較大的三角形一樣的復(fù)雜。如果你考慮一個更小以及再小的三角形的話，其復(fù)雜程度永遠都不會降低。超級雪花展示了自相似性。

下面是另外一個例子。設(shè)想有一棵樹，將其樹干分成三根樹枝。又將每根樹枝分成三根較小的樹枝，再將三根較小的樹枝分成三根更小的樹枝。你可以很容易想象，一棵真樹的樹枝分布可能也會是這樣的。

但是，要得到一棵數(shù)學(xué)超級樹，你就必須想象，所有的樹枝都在永遠不停地分成三根更小的樹枝。這樣一棵超級樹也顯示出了自相似性，每根樹枝，不管它多小，都與整棵樹一樣復(fù)雜。

這樣的曲線和幾何圖形最初被稱為“病態(tài)的”，因為它們不遵守統(tǒng)治著普通幾何的多邊形、圓圈、球體和圓柱體的簡單規(guī)則。

1977年，法裔美籍數(shù)學(xué)家貝諾特·曼德爾布羅特（Benoit Mandelbrot）開始系統(tǒng)地研究這樣的病態(tài)曲線，并證明它們甚至不符合幾何圖形的最基本性質(zhì)。

在我們開始接觸幾何學(xué)的時候，我們學(xué)到的都是，點是零維度的，直線的一個維度的，平面是兩個維度的，而實體是三個維度的。最后，我們可能會學(xué)到，如果一個實體擁有持續(xù)的時間并在時間上存在，它就是四個維度的。我們甚至可能被灌輸這樣的觀念，就是幾何學(xué)家可以自然而然地解決更高維度的問題。

但是，所有這些維度都為整數(shù)——0、1、2、3等等。我們又怎么能夠得到別的東西呢？

而曼德爾布羅特的研究結(jié)果表明，超級雪花的邊界是如此的模糊，而且在每一點都有這樣的急轉(zhuǎn)彎，將其考慮為一般意義上的一條線是沒有用的。它并不是一條線，也不是一個平面。它的維度介于1到2之間。事實上，曼德爾布羅特證明了，它的維度數(shù)等于4的對數(shù)除以3的對數(shù)。其結(jié)果大約為1.26186。因此，超級雪花的邊界的維度數(shù)剛剛超過1-1/4（一又四分之一）。

其他這樣的圖形也有分數(shù)維度數(shù)，因此，它們后來被稱為“分形”。

事實證明，分形并不是數(shù)學(xué)家通過狂熱想象形成的幾何形狀的病態(tài)示例。它們比理想化的光滑、簡單的曲線和平面等幾何圖形，更接近世界上的真實物體。而正是這些理想化的光滑、簡單的曲線和平面，才是想象的產(chǎn)物。

因此，曼德爾布羅特的工作變得越來越重要了。

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現(xiàn)在讓我們來稍微改變一下話題。幾年前，我有機會偶爾去洛克菲勒大學(xué)，在那里我遇到了海因茨·帕格爾斯。他長著一頭白發(fā)，有著一張和善、沒有皺紋的臉，是個非常令人愉快和聰明的人。

他是個物理學(xué)家，對物理學(xué)的了解比我多得多。這并不奇怪，對于某個具體方面，每個人都比我知道得要多。而且，我還覺得他比我要聰明得多。

你可能會想，你同意我有一個巨大的自我，我會討厭那些看起來比我更聰明的人，實際上并非如此。我發(fā)現(xiàn)比我聰明的人（海因茨是我遇到的第三個這樣的人）都是非常友好和讓人愉快的，而且我還發(fā)現(xiàn)如果我仔細去傾聽，我會足以被激發(fā)出有用的想法；畢竟，想法就是我寫作的話題。

我記得在我們的第一次談話中，海因茨談到了“膨脹宇宙”，這是一個新的想法，即宇宙在形成后的第一個瞬間就以巨大的速度膨脹，從而解釋了一些困擾那些認為大爆炸的最初時刻沒有膨脹的天文學(xué)家的一些問題。

特別讓我感興趣的是，根據(jù)這個理論，海因茨說宇宙是從真空的量子漲落開始的，因此它是被無中生有地創(chuàng)造出來的。

這讓我非常興奮，因為在《科幻和科學(xué)小說》雜志1966年9月刊（這還是在膨脹宇宙理論誕生許多年之前）中，我發(fā)表了一篇名為《我在查看四片葉子的三葉草》的短文，文中我認為宇宙是在大爆炸時被無中生有地創(chuàng)造出來的。事實上，短文的一個關(guān)鍵陳述是，我對我所謂的“阿西莫夫宇宙學(xué)原理”的定義——即“在開始的時候，什么都沒有?！?/p>

這并不意味著我預(yù)見了膨脹的宇宙。我只是獲得了這些直覺的推動力，但我缺乏執(zhí)行的能力。因此，14歲時，有關(guān)收斂級數(shù)，我有了模糊的自相似性的直覺概念，但在當時，或者之后的任何時候，我都不可能復(fù)制曼德布羅特所做的工作。雖然我抓住了無中生有創(chuàng)造的概念，但就是再給我一百萬年，我也不可能建立起膨脹宇宙的詳細理論。（然而，我也并不是一個完全失敗的人。我很早就意識到，我的直覺掌握能力，使得我能夠去撰寫科幻小說。）

此后，我會定期見到海因茨，在他成為紐約科學(xué)院院長后更是如此。

一次，我們一群人，包括海因茨和我自己，坐著討論這樣和那樣的問題，海因茨提出了一個有趣的問題。

他說：“你認為，有沒有可能，有一天科學(xué)上的所有問題都將得到解答，而再也沒有什么可做的了？還是不可能解答所有的問題？”

“而現(xiàn)在我們能決定這兩種情況中哪一種是正確的嗎？”

我是第一個說話的人，我說道，“我相信我們現(xiàn)在可以做出決定，海因茨，而且很容易。”

海因茨轉(zhuǎn)向我說，“怎么決定，艾薩克？”

我說：“我相信宇宙本質(zhì)上具有非常復(fù)雜的分形特性，對科學(xué)的追求也有著共同的特性。這樣，宇宙中任何未被了解的部分，和科學(xué)研究中任何尚未被解決的部分，與已被了解和已被解決的部分相比，無論多小，它們都包含著原始的復(fù)雜性。因此，我們永遠都無法將其窮盡。無論我們走多遠，前方的路還是會和開始的一樣長，這就是宇宙的奧秘?！?/p>

我把這一切都告訴了我親愛的妻子珍妮特，她若有所思地看著我說：“你最好把這個想法寫下來?！?/p>

“為什么呢？”我說?！斑@只是個想法?！?/p>

她說，“海因茨可能用得著它?！?/p>

“我希望他能，”我說，“我沒有足夠的物理知識來做任何事情，而他能?！?/p>

“但他可能會忘記，他是從你那里聽到的?！?/p>

“那有什么呢？想法很便宜。只有你用它們來做事，才會變得重要?！?/p>

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這樣就來到了1988年7月22日，這天我和珍妮特前往紐約北部的倫斯爾維爾研究所，參加我們的第16屆年度研討會，這次研討會主題是生物遺傳學(xué)及其可能的副作用——科學(xué)、經(jīng)濟和政治方面的。

不過，其間又增加了一些額外的東西。馬克·查特蘭（Mark Chartrand）（幾年前我在紐約海登天文館擔任館長時遇到了他）是這些研討會的常年教員，他帶來了一盤30分鐘的展示分形的錄像帶。

你看，就在過去的幾年里，計算機已經(jīng)變得足夠強大，它可以生成一個分形圖形，并慢慢地將其擴展數(shù)百萬次。它們可以用非常復(fù)雜的分形來做到這一點，而不僅僅是像超級雪花和超級樹這樣簡單（因此，也是無趣的）的東西。更重要的是，錄像帶用假顏色將其變得更加顯眼。

我們在1988年7月25日星期一下午一點半開始觀看錄像帶。

我們從一個黑色的心形圖案開始，在它周圍還有小的附屬圖案，它在屏幕上一點一點地變大。一個附屬圖案會慢慢成為中心并且變大，直到填滿屏幕，接著又可以看到它又被附屬圖案包圍。

其效果是慢慢陷入一種復(fù)雜，而這種復(fù)雜又一直不停地變得復(fù)雜?？雌饋硐裥↑c的小物體變得越來越大，在新的小物體形成的同時，又變得越來越復(fù)雜。這一直不停地持續(xù)了半小時，我們看到圖案的不同部分不斷擴展為美麗的新圖案。

這絕對有催眠效果。我看了又看，過了一會兒，我根本無法收回我的注意力。整個過程就像我曾經(jīng)經(jīng)歷，或可能會經(jīng)歷的無限，而不是僅僅是對它的想象和談?wù)摗?/p>

播放結(jié)束后，回歸現(xiàn)實世界卻成了一種痛苦。

后來，我像在夢中一樣對珍妮特說：“我相信那一次我對海因茨說的話是對的。就是宇宙和科學(xué)是-無窮盡的-無窮盡的-無窮盡的?？茖W(xué)工作永遠不會全部完成，它只會越來越深入無窮無盡的復(fù)雜性之中?！?/p>

珍妮特皺起眉頭，“不過你還是沒有把那個想法寫出來，是不是？”

我說，“是的，我還沒有?！?/p>

當我們在研究所的時候，幾乎與世界隔絕。沒有報紙，沒有廣播，沒有電視，而我們忙于研討會的細節(jié)，對此并沒有上心。

直到我們27日回到公寓，在我翻閱堆積起來的報紙時，才發(fā)現(xiàn)出了什么大事。

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當我們在倫斯爾維爾時，海因茨·帕格爾斯正在科羅拉多州參加一個物理擴大會議。帕格爾斯也是一個狂熱的登山者，在7月24日星期天的周末假期，他和一個同伴爬上了14000英尺高的金字塔峰。下午一點半（就在我開始看錄像帶的24小時前），他在那里吃了午飯，然后開始下山。

他踩到一塊松動的巖石，巖石抖動，讓他失去了平衡。他從山坡上滾了下來，摔死了，才49歲。

在我翻到訃告頁，看到這駭人的標題時，我完全沒有準備。這是一個十分糟糕和意想不到的打擊，如果不是珍妮特跑到我身后讀這則訃告，恐怕我一定會痛苦地大叫起來。

我悲傷地抬頭看著她，說：“現(xiàn)在他再也沒有機會用到我的想法了。”

所以現(xiàn)在，我終于把它寫好了。部分原因，是為了聊一聊我非常欽佩的海因茨。部分原因是我想把這個想法寫在紙上，這樣（只是可能），如果不是海因茨的話，其他人也可以用到它，并用它來做點什么事情了。

畢竟，我做不到。僅僅是獲得這個想法，就已經(jīng)代表了我的全部能力。在此之上，我一點也走不下去了。

（作者：艾薩克.阿西莫夫（Isaac Asimov），譯者：勁松）