科普中國(guó)-萬(wàn)有引力定律

引力是四種基本相互作用之一，重力一般指的是地球的引力，或者天體對(duì)其表面物體的引力。

地球的引力垂直指向地心。在地球表面，重力方向可以認(rèn)為是豎直向下。地球表面的重力加速度約為，在地球的不同位置這個(gè)值略有不同。

萬(wàn)有引力公式最早由艾薩克·牛頓（IssacNewton）提出。阿爾伯特·愛(ài)因斯坦（Albert Einstein）于1915年提出廣義相對(duì)論，將引力描述為時(shí)空曲率。

研究歷史

早期認(rèn)識(shí)

古希臘哲學(xué)家亞里士多德認(rèn)為地球是宇宙的中心，將宇宙中所有質(zhì)量都吸引向它。他還認(rèn)為物體下落的速度隨著其質(zhì)量的增加而增加，這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的3。古希臘的很多其他科學(xué)家，如普魯塔克，正確地認(rèn)識(shí)到引力不是地球獨(dú)有的4。

阿基米德發(fā)現(xiàn)了三角形的重心，但他不把引力解釋成一種力5。公元前6世紀(jì)，拜占庭亞歷山大學(xué)者約翰·菲羅波努斯（John Philoponus）提出了動(dòng)力理論，修改了亞里士多德的理論6。

公元7世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家婆羅摩笈多提出引力是一種將物體吸引到地球的吸引力的觀點(diǎn)7。約兩世紀(jì)后，波斯的比魯尼（Al-Biruni）認(rèn)為引力并不是地球獨(dú)有的，其它天體也應(yīng)該有引力8。

科學(xué)革命

在16世紀(jì)中葉，許多歐洲科學(xué)家通過(guò)實(shí)驗(yàn)反駁了亞里士多德的觀點(diǎn)。西班牙多米尼加牧師多明戈·德·索托（Domingo de Soto）在1551年寫道，自由落體的物體均勻加速9。意大利物理學(xué)家詹巴蒂斯塔·貝內(nèi)德蒂（Giambattista Benedetti）在論文中稱：由于比重，由相同材料制成但質(zhì)量不同的物體會(huì)以相同的速度下落10。在1586年的代爾夫特塔實(shí)驗(yàn)中，佛蘭德物理學(xué)家西蒙·史蒂文（Simon Stevin）觀察到，當(dāng)炮彈從塔上下落時(shí)，兩枚大小和重量不同的炮彈以相同的速度下落11。在16世紀(jì)后期，伽利略·伽利萊（Galileo Galilei）對(duì)從斜坡上滾動(dòng)的球的仔細(xì)測(cè)量中發(fā)現(xiàn)：所有物體的引力加速度是相同的12。

1604年，伽利略正確地假設(shè)了下落物體的距離與所經(jīng)過(guò)的時(shí)間的平方成正比13。1640年至1650年間，意大利科學(xué)家弗朗切斯科·馬麗亞·格里馬爾迪（Francesco Maria Grimaldi）和喬瓦尼·巴蒂斯塔·里喬利（Giovanni Battista Riccioli）證實(shí)。他們通過(guò)測(cè)量鐘擺的震蕩計(jì)算了地球引力的大小14。

牛頓萬(wàn)有引力定律

1657 年，羅伯特·胡克出版了《顯微圖譜》，他在書中假設(shè)月球一定有自己的引力15。1666 年，他又補(bǔ)充了兩條原理：所有物體都沿直線運(yùn)動(dòng)，除非受到某種力的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn)；物體之間靠的越近，吸引力也就越大。1666 年，胡克在寫給皇家學(xué)會(huì)的一封信中寫道16：

我將解釋一個(gè)與迄今所接受的世界體系截然不同的世界體系。它建立在以下立場(chǎng)之上。1. 所有天體不僅有引力將各部分引向它們自己的中心，而且它們還在各自的作用范圍內(nèi)相互吸引。2. 所有做簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)的物體都會(huì)繼續(xù)沿直線運(yùn)動(dòng)，除非受到某種外力不斷偏離直線，導(dǎo)致它們畫出圓、橢圓或其他曲線。3. 物體之間的距離越近，這種吸引力就越大。至于這些力隨著距離的增加而減小的比例，我承認(rèn)我還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)……

胡克在 1674 年的格雷欣演講《證明地球周年運(yùn)動(dòng)的嘗試》中解釋說(shuō)，引力適用于“所有天體”17。

1684 年，牛頓將一份題為《論物體在軌道上的運(yùn)動(dòng)》的手稿寄給了埃德蒙·哈雷，這份手稿為開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)定律提供了物理依據(jù)18。幾年后，牛頓出版了《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。在這本書中，牛頓將引力描述為一種宇宙力，并聲稱“使行星保持在軌道上的力必定與它們到其繞轉(zhuǎn)中心的距離的平方成反比”。這句話后來(lái)被濃縮為下面的平方反比定律：

（1）

其中是力，是相互作用物體的質(zhì)量，是萬(wàn)有引力常數(shù)， 是引力相互作用物體之間的距離18。

1798年英國(guó)物理學(xué)家亨利·卡文迪許（Henry Cavendish）測(cè)定了引力常數(shù)

1821年，法國(guó)天文學(xué)家亞歷克西斯·布瓦爾 (Alexis Bouvard)利用牛頓萬(wàn)有引力定律創(chuàng)建了一個(gè)天王星軌道模型，結(jié)果顯示該模型與天王星的實(shí)際軌跡有很大差異。因此，許多天文學(xué)家推測(cè)天王星軌道之外可能有一個(gè)天體對(duì)它施加了力的作用。1846 年，天文學(xué)家約翰·庫(kù)奇·亞當(dāng)斯 (John Couch Adams)和于爾班·勒威耶 (Urbain Le Verrier)分別利用牛頓定律預(yù)測(cè)了海王星在夜空中的位置，并在一天之內(nèi)發(fā)現(xiàn)了這顆行星19。

廣義相對(duì)論

天文學(xué)家注意到水星軌道存在一個(gè)無(wú)法用牛頓理論解釋的偏心率：軌道近日點(diǎn)每世紀(jì)增加約。最初，天文學(xué)家認(rèn)為可能存在一個(gè)還沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)的天體，例如比水星更靠近太陽(yáng)的行星，但所有努力都無(wú)濟(jì)于事。1915 年，阿爾伯特·愛(ài)因斯坦發(fā)展了廣義相對(duì)論，精確地解釋了水星軌道的進(jìn)動(dòng)20。

在廣義相對(duì)論中，時(shí)空曲率與物體運(yùn)動(dòng)相關(guān)。愛(ài)因斯坦開(kāi)始以等效原理的形式研究這個(gè)想法，他后來(lái)將這一發(fā)現(xiàn)描述為“我一生中最快樂(lè)的想法”。在該理論中，自由落體被認(rèn)為等同于慣性運(yùn)動(dòng)，這意味著自由落體的慣性物體相對(duì)于地面上的非慣性觀察者會(huì)加速21。與牛頓物理學(xué)相反，愛(ài)因斯坦認(rèn)為這種加速可以在不向物體施加任何力的情況下發(fā)生。

愛(ài)因斯坦認(rèn)為時(shí)空被物質(zhì)彎曲，自由落體的物體在彎曲的時(shí)空中沿著局部直線路徑運(yùn)動(dòng)。這些直線路徑稱為測(cè)地線。愛(ài)因斯坦認(rèn)為施加在物體上的力會(huì)導(dǎo)致其偏離測(cè)地線。

理論

牛頓萬(wàn)有引力定律

牛頓萬(wàn)有引力定律是

（2）

其中是力，是相互作用物體的質(zhì)量， 是萬(wàn)有引力常數(shù)（已修改）， 是引力相互作用物體之間的距離

超距作用

牛頓提出萬(wàn)有引力定律后，對(duì)于他的方程所暗示的“超距作用”的概念深感不安。1692年，牛頓在寫給本特利的第三封信中寫道21：

一個(gè)物體可以通過(guò)真空在遠(yuǎn)處作用于另一個(gè)物體，而無(wú)需任何其他的傳遞力和相互作用的媒介，在我看來(lái)，這是非常荒謬的。我相信，在哲學(xué)問(wèn)題上具有稱職的思維能力的人永遠(yuǎn)不會(huì)陷入其中。

因此，用牛頓的話來(lái)說(shuō)，他從來(lái)沒(méi)有“指定這種力量的原因”，他還拒絕提供關(guān)于這種力量的原因的假設(shè)。在牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中》，他寫道21：

我還沒(méi)有能夠從現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)引力的這些特性的原因，我沒(méi)有假裝任何假設(shè)……只要引力確實(shí)存在，并根據(jù)我所解釋的定律發(fā)揮作用，就足夠了，而且它充分地解釋了天體的所有運(yùn)動(dòng)。

與牛頓理論不符的觀測(cè)結(jié)果

1.牛頓的理論不能完全解釋行星軌道的近日點(diǎn)歲差，尤其是水星軌道。水星進(jìn)動(dòng)的觀測(cè)結(jié)果與牛頓的理論預(yù)言存在著每世紀(jì)43角秒的差距。

2.使用牛頓理論預(yù)測(cè)的光線在重力場(chǎng)中角度的偏轉(zhuǎn)僅為實(shí)際觀測(cè)的一半。

測(cè)地線方程

考慮只受引力場(chǎng)作用的一個(gè)粒子。根據(jù)等效原理，存在一個(gè)坐標(biāo)系，粒子在這個(gè)坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)方程是時(shí)空中的一條直線，即

（3）

其中參數(shù)可以是固有時(shí)，對(duì)于零質(zhì)量粒子，如光子，參數(shù)通常取。自由降落坐標(biāo)是的函數(shù)。根據(jù)上式，經(jīng)過(guò)具體計(jì)算可以得到測(cè)地線方程

（4）

愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程

引力的作用量是(5)

其中曲率標(biāo)量，是Ricci曲率張量，。對(duì)上述作用量變分，可以得到愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程

(6)

愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程中還可以引入一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，一般寫成

(7)

這個(gè)方程左邊表示了時(shí)空的幾何性質(zhì)，右邊表示的是時(shí)空中物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)。

引力場(chǎng)一般運(yùn)動(dòng)方程

以下討論應(yīng)用廣義相對(duì)論理論。我們考慮一個(gè)在各向同性引力場(chǎng)中自由下落的質(zhì)點(diǎn)或光子，度規(guī)的一般形式是

（8）

其中是任意函數(shù)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選取。代入測(cè)地線方程(4)，經(jīng)過(guò)計(jì)算，我們可以得到在引力場(chǎng)中一般運(yùn)動(dòng)方程是

（9）

（10）

（11）

其中常數(shù)分別表示能量和角動(dòng)量。

引力常量的測(cè)定

牛頓在推出萬(wàn)有引力定律時(shí)，沒(méi)能得出引力常量G的具體值。G的數(shù)值于1798年由卡文迪什利用他所發(fā)明的扭秤得出。2卡文迪什的扭秤試驗(yàn)，不僅以實(shí)踐證明了萬(wàn)有引力定律，同時(shí)也讓此定律有了更廣泛的使用價(jià)值。

扭秤的基本原理是在一根剛性桿的兩端連結(jié)相距一定高度的兩個(gè)相同質(zhì)量的重物，通過(guò)秤桿的中心用一扭絲懸掛起來(lái)。秤桿可以繞扭絲自由轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)重力場(chǎng)不均勻時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量所受的重力不平行。這個(gè)方向上的微小差別在兩個(gè)質(zhì)量上引起小的水平分力，并產(chǎn)生一個(gè)力矩使懸掛系統(tǒng)繞扭絲轉(zhuǎn)動(dòng)，直到與扭絲的扭矩平衡為止。扭絲上的小鏡將光線反射到記錄相板上。當(dāng)扭絲轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，光線在相板上移動(dòng)的距離標(biāo)志著扭轉(zhuǎn)角的大小。平衡位置與扭秤常數(shù)和重力位二次導(dǎo)數(shù)有關(guān)。在一個(gè)測(cè)點(diǎn)上至少觀測(cè)3個(gè)方位，確定4個(gè)二次導(dǎo)數(shù)值，測(cè)量精度一般達(dá)幾厄缶。

根據(jù)扭力系統(tǒng)的構(gòu)造形狀，分為z型、L型和斜臂式扭秤。z型扭秤由一個(gè)輕金屬制成的z型秤臂、兩個(gè)質(zhì)量相等的重荷和一根細(xì)金屬絲組成的。兩個(gè)重荷分別固定在z型秤臂的兩端。細(xì)金屬絲將整個(gè)系統(tǒng)懸掛起來(lái)，組成一套扭力系統(tǒng)。由于兩個(gè)重荷處于不同的位置，所以，當(dāng)通過(guò)兩個(gè)重荷的重力等位面Q?和Q??；ゲ黄叫谢驈澢鷷r(shí)，兩個(gè)重荷將受到重力場(chǎng)水平分量的作用。當(dāng)重力場(chǎng)水平分量gH?和gH?的大小和方向不同時(shí)，稈臂就要繞著扭絲轉(zhuǎn)動(dòng)，直到水平旋轉(zhuǎn)的重力矩和扭絲的扭力矩相平衡為止。秤臂偏轉(zhuǎn)的角度除和扭力系統(tǒng)的構(gòu)造和扭絲的扭力系數(shù)有關(guān)外，還和兩個(gè)重荷間的重力變化有關(guān)。因此，準(zhǔn)確記錄扭力系統(tǒng)的偏角，就可以求出重力位的二次導(dǎo)數(shù)。由于扭力系統(tǒng)的靈敏度很高，秤臂穩(wěn)定下來(lái)的時(shí)間較長(zhǎng)。同時(shí)還需要在3～5個(gè)方向上照相記錄，所以，儀器附有自動(dòng)控制系統(tǒng)，并安放在特制的小房里工作。儀器的操作和測(cè)量結(jié)果的計(jì)算都比較煩瑣，每測(cè)—個(gè)點(diǎn)需要2～3小時(shí)，工件效率較低。

扭秤的測(cè)量結(jié)果用矢量圖表示，用一短線表示曲率，矢量方向相應(yīng)于最小曲率平面的方位，矢量長(zhǎng)度表示等位面曲率差大小 。在短線中心以箭頭畫出總梯度，指向重力增加的方向。

扭秤的靈敏度很高并可測(cè)多個(gè)參數(shù)，但是也有其不足之處。由于具有極高的靈敏度，對(duì)于測(cè)試環(huán)境的要求也很高，易受外界干擾，包括溫度、地面震動(dòng)、大氣壓強(qiáng)波動(dòng)、扭絲的滯彈性效應(yīng)等。因此對(duì)于精度要求不高的重力測(cè)量工作，一般都是重力儀去完成。但是對(duì)于高精度的測(cè)量，如引力物理方面的測(cè)量，以及高精度儀器的驗(yàn)證以及標(biāo)定，都需要利用扭秤來(lái)完成。因此即便是如今，扭秤在實(shí)驗(yàn)物理領(lǐng)域也有著相當(dāng)重要的地位。

卡文迪什測(cè)出的G=6.67×10?11N·m2/kg2 ，與現(xiàn)在的公認(rèn)值6.67×10?11N·m2/kg2極為接近；直到1969年G的測(cè)量精度還保持在卡文迪什的水平上。

廣義相對(duì)論的檢驗(yàn)

愛(ài)因斯坦與1916年提出了廣義相對(duì)論的三個(gè)檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)，這被稱為廣義相對(duì)論的“經(jīng)典測(cè)試”22：

1. 水星軌道近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)

2. 太陽(yáng)對(duì)光線的偏轉(zhuǎn)

3. 光的引力紅移

水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)

根據(jù)牛頓動(dòng)力學(xué)，兩個(gè)天體在相互引力下的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓，系統(tǒng)的質(zhì)心位于橢圓的焦點(diǎn)上。牛頓動(dòng)力學(xué)中，上述兩個(gè)天體的運(yùn)動(dòng)應(yīng)該是周期性的。但是1895年，烏爾班·讓·約瑟夫·勒維里爾（Urbain Le Verrier）研究了1697年至1848年水星凌日的觀測(cè)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，實(shí)際的歲差與牛頓理論預(yù)測(cè)的值相比，每世紀(jì)差。1882年，西蒙·紐科姆（Simon Newcomb）重新估計(jì)這個(gè)值為。23

根據(jù)物體在引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程(9)(10)(11)，經(jīng)過(guò)一系列計(jì)算得到，廣義相對(duì)論預(yù)言的進(jìn)動(dòng)是

（12）

廣義相對(duì)論預(yù)言：水星每世紀(jì)的進(jìn)動(dòng)角度約為，這與實(shí)驗(yàn)值符合的很好。

太陽(yáng)對(duì)光線的偏移

根據(jù)光在引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程(9)(10)(11)，經(jīng)過(guò)一系列計(jì)算得到，從非常遠(yuǎn)處經(jīng)過(guò)太陽(yáng)的光線應(yīng)該向太陽(yáng)偏折。

對(duì)光線的偏折的第一次觀測(cè)是測(cè)量的是恒星在天球上經(jīng)過(guò)太陽(yáng)附近時(shí)位置的變化，這是在1919年5月29日全日食時(shí)亞瑟·愛(ài)丁頓（Arthur Eddington）和他的合作者進(jìn)行的24。不過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)與愛(ài)因斯坦的理論符合的不是很好。不過(guò)后來(lái)科學(xué)家們又對(duì)太陽(yáng)光線的偏移進(jìn)行了多次測(cè)量，又證實(shí)了愛(ài)因斯坦的理論。

光的引力紅移

在史瓦西度規(guī)中，對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)處的觀察著，光的引力紅移是

（13）

其中分別是無(wú)窮遠(yuǎn)處的觀察者測(cè)得的光的波長(zhǎng)和發(fā)射源處光的波長(zhǎng)，是發(fā)射源的半徑，是史瓦西半徑。

波普爾于1954年首次測(cè)量了白矮星40 Eridani B的引力紅移，測(cè)量結(jié)果為25。

應(yīng)用

超重與失重

當(dāng)我們主要研究在重力作用下物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，超重是物體所受彈力（拉力或支持力）大于物體所受重力的現(xiàn)象。當(dāng)物體做向上加速運(yùn)動(dòng)或向下減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體均處于超重狀態(tài)。超重現(xiàn)象在發(fā)射航天器時(shí)更是常見(jiàn)，所有航天器及其中的宇航員在剛開(kāi)始加速上升的階段都處于超重狀態(tài)。相反，物體受到的彈力小于物體所受重力的現(xiàn)象被稱為失重。

航天器在發(fā)射和返回的過(guò)程中，由于加速度的關(guān)系，出現(xiàn)了超重現(xiàn)象。通常采用值的方法來(lái)表示。如果一個(gè)