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定積分，一般指在一個區(qū)間上有定義的一元實(shí)函數(shù)的黎曼和的極限。它描述的是將函數(shù)在區(qū)間上作微元后，將函數(shù)值累加起來的過程。直觀地看，定積分描述的是函數(shù)圖像在一段區(qū)間內(nèi)圍成曲邊梯形的正向面積。

定積分具有一系列重要的性質(zhì)與計(jì)算方法，包括牛頓-萊布尼茲公式等。

定積分在數(shù)學(xué)和物理上有非常廣泛的應(yīng)用，包括求曲線弧長、幾何體體積、變力做功等；從定積分出發(fā)還可以衍生出定積分中值定理等。

定義與可積性

定義

對于在實(shí)數(shù)區(qū)間上有定義的函數(shù)，并在上給出滿足的區(qū)間族作為其剖分，令為剖分的最大直徑。

取，那么稱函數(shù)在區(qū)間上的黎曼和為：

當(dāng)極限存在時(shí)，定積分有定義：

直觀地看，定積分描述的是函數(shù)圖像和直線,，軸圍成的曲邊梯形的正向面積——即在軸上方部分的面積被記為正，在軸下方部分的面積被記為負(fù)。利用定積分，可以計(jì)算含曲邊幾何體的面積，變速運(yùn)動的路程，變力做功等。

計(jì)算舉例

例如，要計(jì)算：

可以先考慮將剖分為 $%5Cleft%5B0%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Cright%5D%2C%5Cleft%5B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%2C%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%5Cright%5D%2C...%2C%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bn-1%7D%7Bn%7D%2C1%5Cright%5D$ ， $%CE%BE_i%E2%88%88%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bi-1%7D%7Bn%7D%2C%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%5Cright%5D$ 。

此時(shí)有 $%5Cleft%28%5Cfrac%7Bi-1%7Dn%5Cright%29%5E2%5Ccdot%5Cfrac1n%5Cleq%20f%5Cleft%28%5Cxi_i%5Cright%29%5Cleft%28x_i-x_%7Bi-1%7D%5Cright%29%5Cleq%5Cleft%28%5Cfrac%7Bi%7Dn%5Cright%29%5E2%5Ccdot%5Cfrac1n$ ，于是可得：

$%5Cfrac%7Bn%28n-1%29%282n-1%29%7D%7B6n%5E%7B3%7D%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7B%28i-1%29%5E%7B2%7D%7D%7Bn%5E%7B3%7D%7D%5Cleq%20I_T%20%28f%29%5Cleq%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7B%28i%29%5E%7B2%7D%7D%7Bn%5E%7B3%7D%7D%5Cleq%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%282n%2B1%29%7D%7B6n%5E%7B3%7D%7D$

從而有：

$%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bn%5Cleft%28n-1%5Cright%29%5Cleft%282n-1%5Cright%29%7D%7B6n%5E%7B3%7D%7D%5Cleq%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%E2%81%A1I_T%20%28f%29%5Cleq%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bn%5Cleft%28n%2B1%5Cright%29%5Cleft%282n%2B1%5Cright%29%7D%7B6n%5E%7B3%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D$

成立。

于是在等分點(diǎn)剖分下，由此計(jì)算得到 $%5Cint_0%5E1x%5E2dx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D$ 。

在上述問題中，對于一般的區(qū)間剖分，由于有理數(shù)在實(shí)數(shù)中稠密，可以得到：對于任意和任意剖分，當(dāng)時(shí)，都存在一個等分點(diǎn)剖分，使得在該等分點(diǎn)剖分下得到的黎曼和滿足：

由的任意性得，選取等分點(diǎn)剖分時(shí)，黎曼和的極限與定積分值相同。

可積性

函數(shù)在上黎曼可積的充分必要條件有下面這些：

① 達(dá)布上下和的極限相等

對于剖分，記那么達(dá)布上和、達(dá)布下和分別定義為：

顯然有，如果，那么可以得到存在且為確定值，從而得知存在，也即在上黎曼可積。

反過來，如果函數(shù)黎曼可積，那么由定積分的定義易知成立。由此，該條件的充分性與必要性得證。

② 振幅黎曼和的極限為零

記號同上節(jié)，另記，稱為函數(shù)在區(qū)間上的振幅。

顯然上節(jié)的條件等價(jià)于

此即函數(shù)黎曼可積的另一個充要條件。

③ 勒貝格定理

定理表述為：一個有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件，是其不連續(xù)點(diǎn)集為零測集。

因其證明較為復(fù)雜，故此處略去。

由此可以很容易地證明黎曼函數(shù) $%5Cbegin%7Baligned%7D%5C%5CR%5Cleft%28x%5Cright%29%3D%5Cbegin%7Bcases%7D0%2C%5C%3Ax%3D0%2C%5C%3A1%5Ctext%7B%E6%88%96%7Dx%5Ctext%7B%E6%98%AF%7D%5Cleft%280%2C1%5Cright%29%5Ctext%7B%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%97%A0%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%5C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%2C%5C%3Ax%3D%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Ctext%7B%E6%98%AF%E6%97%A2%E7%BA%A6%E7%9C%9F%E5%88%86%E6%95%B0%7D%5Cend%7Bcases%7D%2C%5Cend%7Baligned%7D$ 在是黎曼可積的，因?yàn)樗牟贿B續(xù)點(diǎn)集為上的有理數(shù)集，這是零測的。