半角公式

半角公式是利用某個(gè)角的三角函數(shù)值，來(lái)求其半角的三角函數(shù)值的公式。其可以視為二倍角公式的推論。在實(shí)際使用中需注意自行判斷符號(hào)的正負(fù)。

公式內(nèi)容

半角公式一般是指下面的一組公式：

半角正弦公式

半角余弦公式

半角正切公式

其中，正負(fù)的取值要根據(jù)角的大小進(jìn)一步判斷

公式推導(dǎo)

從二倍角公式出發(fā)即可依次得到上述的所有公式。

已知余弦的二倍角公式：

移項(xiàng)后，將替換為，立得：1

對(duì)于正切，只需將上述兩式的左右兩邊相除：

最后證明，對(duì)上述推導(dǎo)得到的正切半角公式作如下處理即可：

最后由于，，同時(shí)經(jīng)討論易得與取值的正負(fù)是一致的。于是去平方后有：

綜合以上，所有半角公式得證。

應(yīng)用舉例

例1 求的值。

解：首先由于的終邊位于第一象限內(nèi)，故，代入半角公式得：

例2 已知，，求的值。

解：首先，故，代入半角公式得：

例3 已知等腰三角形頂角的余弦值為，求底角的正切值。

解：首先等腰三角形的底角的正切值，恰為頂角的半角的余切值（余切值為正切值的倒數(shù)），且必定大于零。設(shè)底角為則有：

從而。

銳角情形的平面幾何推導(dǎo)

如圖所示，當(dāng)為銳角時(shí)，半角公式可以用平面幾何的方法推導(dǎo)出來(lái)。以下是一個(gè)例子：2

在上圖中，是圓的切線，且，。設(shè)圓的半徑為，在直角三角形中，，，，。于是：