“數(shù)系”的擴張之路是如此艱辛坎坷，是一部悲壯而又輝煌的史詩

人類數(shù)學的歷史，是一部“數(shù)系”的擴張史，“數(shù)系”的擴張之路是如此地艱辛坎坷，是一部悲壯而又輝煌的史詩。

早在兩千多年的古希臘，被西方人稱為“科學與哲學之祖”的泰勒斯提出這樣的千古難題：“世界的本源是什么？”

“這個世界的本源是數(shù)！”泰勒斯的學生畢達哥拉斯這樣回答了這個問題。畢達哥拉斯所說的這個“數(shù)”指的是“自然數(shù)”，人類數(shù)學史上的第一個數(shù)系“自然數(shù)系”也因此誕生。

畢達哥拉斯學派認為：“整數(shù)”或者“整數(shù)的比”足以描述這個世界，提出了“萬物皆數(shù)”的理論，并且將其上升為“畢達哥拉斯學派”至高無上的信仰教條，用“數(shù)”的代替了“神”的地位，學派的信條不充許違背，否則將進行嚴厲的懲罰?！爱呥_哥拉斯”對“有理數(shù)”的崇拜是如此的瘋狂，以至于當他的學生希帕索斯發(fā)現(xiàn)無理數(shù)“根號2”之后，為了維護學派對“整數(shù)”的信仰，希帕索斯被無情地拋入大海，付出了生命的代價。

“根號2”的出現(xiàn)，導致了“第一次數(shù)學危機”的爆發(fā)，使得原有的以“有理數(shù)”為基礎建立起來的“畢達哥拉斯數(shù)學體系”徹底崩潰，以“無理數(shù)”為基礎的“實數(shù)連續(xù)統(tǒng)”開始萌芽。

不過，由于“第一次數(shù)學危機”的影響，人們普遍對“數(shù)”的研究失去了信心。人們已經(jīng)從希帕索斯通過“幾何”發(fā)現(xiàn)了“根號2”的事實，激發(fā)起了對“幾何學”研究的熱情，從而將已在萌芽狀態(tài)的“實數(shù)理論”的研究拋到了一邊，“數(shù)系”的擴充也陷入了長久的停滯，這一停就是上千年之久。

但是在世界東方的中國，對數(shù)的認識一直是持續(xù)而長久的，人們對“負數(shù)”的認識比西方要早得多，早在兩千多年前，中國人就開始使用“負數(shù)”并且參與“加減運算”。

然而，在歐洲14世紀，就連最有成就的法國數(shù)學家丘凱依然把“負數(shù)”說成是“荒謬”的數(shù)。直到1629年，荷蘭人日拉爾才首先認識和使用“負數(shù)”解決“幾何”問題，16、17世紀歐洲大多數(shù)數(shù)學家不承認“負數(shù)”是數(shù)，帕斯卡認為從0減去4是純粹的胡說，1712年，連萊布尼茲都不愿承認“負數(shù)”，隨著19世紀“整數(shù)理論”基礎的建立，“負數(shù)”在邏輯上的合理性才真正建立。

“負數(shù)”的發(fā)現(xiàn)，是中國為世界數(shù)學所做出來重大貢獻，填補了“數(shù)系”的重要空白。

“負數(shù)”和“分數(shù)”的引入，使得“有理數(shù)”和“無理數(shù)”得到了進一步“擴充”，形成了完整的“實數(shù)系”。

但人們發(fā)現(xiàn)很快發(fā)現(xiàn)了“實數(shù)”的局限性，因為即使用全部“實數(shù)”，也不能完全解決“代數(shù)方程”的求解問題。像x^2+1=0這樣最簡單的“二次方程”，在“實數(shù)”范圍內(nèi)沒有解。這引起了人們深深的思考，也因此發(fā)現(xiàn)了“負數(shù)的平方根”。

在當時的歐洲，“負數(shù)”的概念本來就不被認可，“負數(shù)的平方根”更是無稽之談。1637年法國數(shù)學家笛卡爾，雖然在其《幾何學》中第一次將“負數(shù)的平方根”命名為“虛數(shù)”，但笛卡爾依然稱“虛數(shù)”就是虛假的，就連萊布尼茲也認為“虛數(shù)”是“既存在”又“不存在”的兩棲物，而歐拉盡管在許多地方用了“虛數(shù)”，也依然認為“虛數(shù)”純屬虛幻。

“虛數(shù)”一直得不到承認的原因是因為在生活中似乎找不到可以用“復數(shù)”來表達的量，直到挪威測量學家維塞爾提出把“復數(shù)（a+bi）”用“平面上的點”來表示，再加上高斯提出了“復平面”的概念，才使得“復數(shù)”有了立足之地。

現(xiàn)在，“復數(shù)”一般用來表示“向量”（有方向的量），在水利學、地圖學、航空學中有著廣乏的應用。做為“現(xiàn)代物理”兩大支柱的“相對論”和“量子力學”，“復數(shù)”的作用也是無可替代的。

然而，當數(shù)系擴張到“復數(shù)”后，還有可能繼續(xù)擴張嗎？1843年，漢密爾頓將“平面”中“虛數(shù)軸”的概念擴展到“四元數(shù)”想象的“四維空間”，其中“三個維”與“復數(shù)域”中的“虛數(shù)”相似。“四元數(shù)”的出現(xiàn)，標志著傳統(tǒng)觀念下的“數(shù)系擴張”終止了。

“數(shù)系”的擴張雖然終止了，但是，通向“抽象代數(shù)”的大門卻打開了。