他們或許忘光了公式，卻最懂怎樣學(xué)數(shù)學(xué)

怎樣學(xué)數(shù)學(xué)？對(duì)此，美國(guó)南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授丁玖有獨(dú)到看法。他從教逾33年，回憶起自己當(dāng)年在密歇根州立大學(xué)數(shù)學(xué)系受教的點(diǎn)滴，他很有體會(huì)感想。在念書(shū)的四年半中，他修過(guò)、旁聽(tīng)過(guò)的各門(mén)課老師，各有授課特色與個(gè)人風(fēng)格。這里應(yīng)有盡有的課程設(shè)置和多多益善的討論班，成了他取之不盡的知識(shí)源泉。

他認(rèn)為，中國(guó)的教育太重視記憶術(shù)了，把學(xué)生大腦的存儲(chǔ)功能，挖掘到極致，但對(duì)大腦的最重要功能——思維——卻不聞不問(wèn)。不會(huì)思考或不想思考，是中國(guó)幾千年填鴨式教育的后果之一。

撰文 | 丁玖（美國(guó)南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

1986年元旦，對(duì)我頗有紀(jì)念意義。那天中午，我從上海飛往美國(guó)讀博，在舊金山進(jìn)關(guān)并住宿一夜，第二天清晨飛去密歇根州立大學(xué)。所以那天我在中美兩國(guó)各度了“半個(gè)元旦”。

1990年夏，我在李天巖（1945-2020）教授門(mén)下獲得應(yīng)用數(shù)學(xué)博士學(xué)位，隨即受聘南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系，迄今教書(shū)三十三年半。回憶起當(dāng)年受教的點(diǎn)滴，很有體會(huì)感想。

考試歷史中的一個(gè)污點(diǎn)

我就讀數(shù)學(xué)系的研究生事務(wù)主任普拉金（Jacob Plotkin，1941-）教授，對(duì)那時(shí)中國(guó)研究生的強(qiáng)項(xiàng)劣勢(shì)了然于胸。在我報(bào)到的第一天，他就規(guī)勸我：數(shù)學(xué)不要慌，英文先大抓。雖然我聽(tīng)從了他的建議，修了英語(yǔ)聽(tīng)力與寫(xiě)作兩門(mén)課，但除了正式注冊(cè)顏憲堯（David H. Yen，1934-2011） 教授的一門(mén)數(shù)學(xué)課外，我還旁聽(tīng)了幾門(mén)研究生課。其中兩門(mén)是博士生兩大過(guò)關(guān)考試之一——博士資格考的課程，目的是一箭雙雕：既能幫助提高英文聽(tīng)力水平，又能復(fù)習(xí)鞏固資格考的數(shù)學(xué)內(nèi)容。顏教授是系里指派給我的學(xué)術(shù)顧問(wèn)，如果我需要修課方面的指導(dǎo)，就可以找他請(qǐng)教。

博士資格考基于的這兩門(mén)一學(xué)年課，所覆蓋的內(nèi)容——分析與代數(shù)——我在南京大學(xué)數(shù)學(xué)系讀本科時(shí)基本學(xué)過(guò)，但時(shí)隔多年未再?gòu)?fù)習(xí)，不重溫一下是不行的。事實(shí)上，我到達(dá)學(xué)校的1月2日晚上，一直對(duì)我?guī)椭艽蟮牟┦可蝽嵡锞透嬖V我，系里當(dāng)天已經(jīng)考過(guò)上半年的資格考第一門(mén)，第二天繼續(xù)考第二門(mén)。他建議我去試一下，反正按規(guī)定，剛進(jìn)校就參加資格考通不過(guò)，不算失敗。于是我在翌日上午，昏昏沉沉地就去碰運(yùn)氣了，但是卻碰上了難題，因?yàn)槲业挠洃泿?kù)經(jīng)多年失修而漏掉許多公式，結(jié)果沒(méi)考過(guò)。盡管這個(gè)大膽的倉(cāng)促應(yīng)試，沒(méi)給未來(lái)的博士論文導(dǎo)師李天巖教授留下不佳印象（但他常說(shuō)資格考僅用來(lái)“考美國(guó)笨蛋的”），我實(shí)在是慚愧不已，因?yàn)檫@是自己的考試歷史中一個(gè)刷不掉的污點(diǎn)。我聽(tīng)說(shuō)在秋學(xué)季開(kāi)學(xué)前，有兩個(gè)四川大學(xué)的年輕碩士前來(lái)攻博。他們向系里要來(lái)過(guò)去幾年資格考的卷子看了看，準(zhǔn)備了十來(lái)天，就通過(guò)了9月初的這兩門(mén)考試。而4個(gè)月后冬學(xué)季剛開(kāi)始，他們又通過(guò)了更難的兩門(mén)“博士預(yù)備考”。如此的神速讓我自嘆弗如。這兩位成都數(shù)學(xué)才子——呂克寧和鄭德超——做學(xué)問(wèn)的精神與做人的方式都一直為我所敬重，幾十年來(lái)他們已成為各自研究領(lǐng)域中的佼佼者。

但是，我對(duì)自己的實(shí)力是有自信心的?；叵肫饎傔M(jìn)南大時(shí)，看到早一個(gè)月入學(xué)的同學(xué)，好像都是“拼命三郎”，個(gè)個(gè)似乎“武林高手”。不少人超前學(xué)習(xí)，仿佛什么都懂，嚇得我一周下來(lái)瘦了一圈，讓來(lái)南京出差順便看我的家兄大吃一驚。但是不久我就發(fā)現(xiàn)，只要我能真正搞懂關(guān)鍵數(shù)學(xué)概念，循序漸進(jìn)，學(xué)習(xí)上就會(huì)立于不敗之地。多年中逐步養(yǎng)成的自學(xué)能力，這時(shí)派上了用場(chǎng)，很快就在同批錄取的學(xué)友中脫穎而出。我至今清晰地記得，第一學(xué)期教我們《空間解析幾何》課的王永成（1939-）老師對(duì)我們說(shuō)的話：“我大學(xué)畢業(yè)時(shí)幾乎忘光了所有公式，但我卻學(xué)會(huì)了怎樣學(xué)數(shù)學(xué)?！钡拇_，掌握學(xué)習(xí)方法，遠(yuǎn)比牢記所學(xué)內(nèi)容更為重要，這和成語(yǔ)“授之以魚(yú)，不如授之以漁”所蘊(yùn)含的道理一樣。后去上海交大任教的王老師成了一位在漢語(yǔ)排版方面頗有建樹(shù)的計(jì)算機(jī)專(zhuān)家，大概和他學(xué)會(huì)了“怎樣學(xué)數(shù)學(xué)”不無(wú)關(guān)系吧。他早年“忘光公式”的讀書(shū)經(jīng)歷，驗(yàn)證了日本菲爾茲獎(jiǎng)得主廣中平佑（Hironaka Heisuke，1931-）所說(shuō)的名言：“學(xué)習(xí)的目的在于掌握智慧?！?/p>

我又像當(dāng)年進(jìn)南大一樣地埋頭讀書(shū)了。盡管時(shí)差困擾了我好幾個(gè)月——白天進(jìn)了教室就想睡覺(jué)，半夜三更時(shí)卻精神十足。一個(gè)學(xué)季后，我就通過(guò)了密歇根英文考試，不必再修聽(tīng)力與寫(xiě)作課了。我入學(xué)前因托福聽(tīng)力考分未達(dá)標(biāo)而導(dǎo)致的“條件錄取”，也因此升為名正言順的“正規(guī)錄取”。從春學(xué)季起，我的主要精力用在了數(shù)學(xué)上。我不僅注冊(cè)了要交學(xué)費(fèi)的研究生課程，而且還旁聽(tīng)了其他的數(shù)學(xué)課，它們中的一些與我當(dāng)時(shí)設(shè)想的未來(lái)研究方向沒(méi)有直接關(guān)系，但我比較喜歡涉及不同領(lǐng)域，盡量拓廣知識(shí)。就像在南大時(shí)，學(xué)習(xí)再忙也堅(jiān)持閱讀人文書(shū)刊，在這里我像海綿一樣地吸收純粹數(shù)學(xué)的營(yíng)養(yǎng)。為了盡快通過(guò)博士資格考，我繼續(xù)旁聽(tīng)這兩門(mén)基礎(chǔ)課。其中具有歐洲紳士風(fēng)度的拉彭（Peter A. Lappen）教授講授實(shí)分析時(shí)不茍言笑，一進(jìn)教室就上黑板，板書(shū)龍飛鳳舞，他大概是我這輩子見(jiàn)到過(guò)的寫(xiě)得最快的人。當(dāng)年9月初，我就順利通過(guò)博士資格考，第二年一月，又考完了兩門(mén)博士預(yù)備考，從日記中看至少有一門(mén)考了第一。

多多益善的討論班

密歇根州立大學(xué)數(shù)學(xué)系應(yīng)有盡有的課程設(shè)置和多多益善的討論班，成了我取之不盡的知識(shí)源泉。系里還擁有一個(gè)藏書(shū)豐富、裝飾典雅的圖書(shū)館。當(dāng)我報(bào)到的第一天，從研究生事務(wù)主任的秘書(shū)手中，接過(guò)除了助教辦公室及大樓以外的系圖書(shū)館鑰匙，我差點(diǎn)驚呆了，竟然如此相信剛來(lái)念書(shū)的外國(guó)研究生，不怕書(shū)被偷了？回想起母校南京大學(xué)圖書(shū)館曾經(jīng)相信過(guò)學(xué)生，為了方便他們起見(jiàn)，實(shí)施開(kāi)架借書(shū)，結(jié)果幾個(gè)月下來(lái)，許多書(shū)就不翼而飛了，因?yàn)椴糠肿x書(shū)人堅(jiān)信魯迅為小說(shuō)《孔乙己》的主人公創(chuàng)造的名言“竊書(shū)不能算偷”。可是在這里讀書(shū)的那幾年，我從未聽(tīng)說(shuō)系圖書(shū)館的“監(jiān)守自盜”。每個(gè)人充分享受使用圖書(shū)館的便利，尤其是在靜謐的夜間，坐在舒適的單人沙發(fā)上，沉浸在數(shù)學(xué)思維的海洋里，感覺(jué)真是美妙至極。

在念書(shū)的四年半中，我修過(guò)、旁聽(tīng)過(guò)的各門(mén)課老師，各有授課特色與個(gè)人風(fēng)格。我修第一門(mén)數(shù)學(xué)課的老師顏憲堯教授，原籍山東，是孔夫子得意門(mén)生顏回的直系后代。他在紐約大學(xué)柯朗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所獲得博士學(xué)位。大數(shù)學(xué)家希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）的學(xué)生和同事柯朗（Richard Courant，1888-1972），逃離納粹德國(guó)后，以祖國(guó)哥廷根大學(xué)曾經(jīng)輝煌的數(shù)學(xué)風(fēng)格建立的這個(gè)研究所，其應(yīng)用數(shù)學(xué)在美國(guó)是龍頭老大。顏教授比李教授年長(zhǎng)十一歲，彼此是親密無(wú)間的同事。我修此課是李教授建議的，盡管這門(mén)《偏微分方程數(shù)值解》的基本內(nèi)容，我早在大三時(shí)學(xué)過(guò)。顏教授精通力學(xué)和微分方程，講課風(fēng)格如同他的處世為人，穩(wěn)重厚實(shí)、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)；說(shuō)話語(yǔ)氣是從容不迫、四平八穩(wěn)；板書(shū)則是小巧靈秀，與他高大的身材形成有趣對(duì)照。我從他那里學(xué)到了做學(xué)問(wèn)的嚴(yán)密和做人的平和。

我也從其他教授的課堂中學(xué)到了有用的知識(shí)，同時(shí)目睹了他們的講課特征，并能熏陶于獨(dú)特的教書(shū)藝術(shù)。1988-89學(xué)年，我注冊(cè)了阿克斯拉（Sheldon Axler，1949-）教授的《高等泛函分析》。阿克斯拉教授具有典型的美國(guó)人風(fēng)格，性格開(kāi)朗，崇尚自由。他本科畢業(yè)于普林斯頓大學(xué)，是美國(guó)數(shù)學(xué)界中廣受尊敬的匈牙利裔數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)寫(xiě)作與演講大師哈爾莫斯（Paul Halmos，1916-2006）的徒孫，論文導(dǎo)師為加州大學(xué)伯克利校區(qū)的薩拉森（Donald E. Sarason）教授。與其師爺一樣，他也善于教書(shū)，清晰的解釋、流利的板書(shū)與優(yōu)美的英文相得益彰。我從本科起，就喜歡泛函分析，畢業(yè)前差點(diǎn)去考該學(xué)科的研究生。故決定通過(guò)阿克斯拉教授的課“更上一層樓”。泛函分析的概念對(duì)于計(jì)算數(shù)學(xué)家的功能，相當(dāng)于高等微積分對(duì)于工程師的效用。這門(mén)課沒(méi)有教科書(shū)，只指定了兩本參考書(shū)籍——盧丁（Walters Rudin，1921-2010）的Functional Analysis（《泛函分析》）和約翰康威（John B. Conway，1939-）的A Course in Functional Analysis（《泛函分析教程》）。連上三個(gè)學(xué)季，卻沒(méi)有一次考試，全按布置作業(yè)的總分?jǐn)?shù)計(jì)算學(xué)期成績(jī)。讓人叫絕的是教授的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：布置的習(xí)題，做對(duì)了得10分，不做得0分，但如做錯(cuò)了，則得負(fù)5分。這就讓修課的學(xué)生緊張起來(lái)，不敢做錯(cuò)題。因?yàn)椴豢荚?，可以想象部分?xí)題有相當(dāng)?shù)碾y度。大部分修課者，是那些將來(lái)要從事分析、方程或幾何、拓?fù)浞矫嫜芯康募償?shù)學(xué)博士生，其中至少兩人就是教授本人的弟子。但他們也害怕得負(fù)分，經(jīng)?；ハ嘤懻?，不敢輕舉妄動(dòng)，貿(mào)然交題。班上有一位是剛通過(guò)國(guó)內(nèi)某個(gè)留學(xué)基金考來(lái)的名校畢業(yè)生，計(jì)劃跟隨系里的名教授讀博士，幾年后卻投奔了東海岸更有名大學(xué)的更有名教授拿到學(xué)位，后來(lái)成為某個(gè)研究型大學(xué)的教授，兼任母校特聘教授。當(dāng)時(shí)他畢竟只有本科文憑，對(duì)這門(mén)難課信心不太足，不時(shí)來(lái)問(wèn)我題目。有次作業(yè)發(fā)下來(lái)，某道題他拿到10分，我卻被倒扣了5分，因?yàn)槲业慕忸}證明太精煉，而被認(rèn)定不對(duì)。而他卻因和我討論，才會(huì)做該題，但寫(xiě)得較為詳細(xì)。當(dāng)然，我課后向阿克斯拉教授解釋了我的正確答案。仔細(xì)考慮后，教授同意把分?jǐn)?shù)從負(fù)5分上調(diào)為正10分，但不希望今后再看到我作業(yè)中的“馬馬虎虎”，從此我記住了他用的這個(gè)我第一次見(jiàn)到的英文名詞sloppiness。阿克斯拉教授確是講課高手，以至于我和其他人，提名了他競(jìng)爭(zhēng)系里的教學(xué)獎(jiǎng)，他當(dāng)之無(wú)愧地拿到了。后來(lái)我申請(qǐng)大學(xué)教職時(shí)，他熱情地給我寫(xiě)了一封推薦信，不吝筆墨地夸獎(jiǎng)了我在他這門(mén)別具風(fēng)味一學(xué)年課上的“表現(xiàn)”。

但是，真正讓我折服，并對(duì)我后來(lái)的研究和教學(xué)生涯影響最大的教授，就是我投奔他而來(lái)的李天巖先生。1985年6月初，當(dāng)他第一次訪問(wèn)祖國(guó)大陸時(shí)，和他已在通信中認(rèn)識(shí)的我，專(zhuān)程飛去中山大學(xué)聽(tīng)他一周講座，目睹了他手舞足蹈的課堂表演，也第一次聽(tīng)到那篇他與博士導(dǎo)師約克（James Yorke，1941-）合寫(xiě)的著名論文Period Three Implies Chaos，這題目被他妙譯為“周期三則亂七八糟”。那一周，我在他講座中學(xué)到的數(shù)學(xué)思想，可能比我在整個(gè)讀碩士階段獲得的還要多。這種感覺(jué)對(duì)那些按部就班學(xué)習(xí)的人來(lái)說(shuō)可能以為是夸大其詞。其實(shí)只要讀一讀普林斯頓高等研究院戴森（Freeman Dyson，1923-2020）教授寫(xiě)過(guò)的東西，就會(huì)知道這種感覺(jué)的強(qiáng)烈。三十歲被奧本海默（J. Robert Oppenheimer，1904-1967）院長(zhǎng)挖去當(dāng)正教授的戴森回憶道，他在芝加哥大學(xué)與偉大的物理學(xué)家費(fèi)米 （Enrico Fermi，1901-1954）談?wù)撟约阂詾榭尚械囊豁?xiàng)物理計(jì)算時(shí)，對(duì)方的二十分鐘評(píng)述，讓他全然相信中國(guó)成語(yǔ)“聽(tīng)君一席話，勝讀十年書(shū)”。

我在南京大學(xué)數(shù)學(xué)系何旭初（1921-1990）教授門(mén)下讀碩士學(xué)位時(shí)，從第一個(gè)學(xué)期起，導(dǎo)師就讓我們弟子舉辦討論班。他也親自參加，不時(shí)發(fā)表有啟發(fā)性的真知灼見(jiàn)。他不光引導(dǎo)我們盡快在研究領(lǐng)域登堂入室，而且培養(yǎng)獨(dú)立思考習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)演講能力。記得我報(bào)告斯坦福大學(xué)工程-經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)系倫伯格（David G. Luenberger，1937-）教授所著的教科書(shū)《線性與非線性規(guī)劃引論》（Introduction to Linear and Nonlinear Programming）中關(guān)于線性規(guī)劃對(duì)偶理論的那一節(jié)前，本著“數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體”的基本觀點(diǎn)，我以泛函分析中的對(duì)偶概念作為引子，用類(lèi)比法將對(duì)偶思想貫徹到線性規(guī)劃之中。這場(chǎng)我一生中的首次報(bào)告，得到大家的好評(píng)，平時(shí)不茍言笑的何先生也微笑起來(lái)。我本科在南大打下了比較堅(jiān)實(shí)的分析基礎(chǔ)，碩士研究生階段，又有幸得到討論班的訓(xùn)練。加上在讀研第一年，教我們專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課《非線性方程組迭代解》的沈祖和教授，在授課一學(xué)期后讓我們學(xué)生主講所用英文教材的下半部分，這更強(qiáng)化了我們自學(xué)及講課的能力。來(lái)美后，我信心十足地成為李教授討論班中的一員。

導(dǎo)師李天巖的“治學(xué)之道”

李天巖教授是個(gè)傳奇人物，極具個(gè)性。他于七十五歲不幸病逝后，第二年我由上?？萍冀逃霭嫔绯霭媪嘶貞涗洝蹲叱龌煦纾何遗c李天巖的數(shù)學(xué)情緣》，其中有一章談了他的“治學(xué)之道”。他對(duì)討論班的報(bào)告要求極高，不希望只講什么定理證明的邏輯推理，或“莫名其妙的ε-δ語(yǔ)言”，他想聽(tīng)到的是那些條件和結(jié)論背后的基本思想。如果你只想背書(shū)式地展示某命題對(duì)所有自然數(shù)n都成立的證明，那你就錯(cuò)了。他想看到的是，你對(duì)n等于3時(shí)的具體推演。對(duì)任意n都成立的論證步驟，也許你能倒背如流，卻不會(huì)應(yīng)付更簡(jiǎn)單的n=3特殊情形，因?yàn)槟銢](méi)有真懂這個(gè)定理，還僅僅停留在背誦證明的階段。這樣的學(xué)生其實(shí)大有人在。李教授告訴過(guò)我們，一位研究生在博士資格口試時(shí)要求將“證明兩個(gè)緊集的乘積是緊集”的問(wèn)題改為“任意個(gè)緊集的乘積為緊集”，因她早就將后者這個(gè)著名的吉洪諾夫定理的證明背得滾瓜爛熟。

還沒(méi)參加討論班前，進(jìn)校僅三周，我就領(lǐng)教了李教授對(duì)學(xué)術(shù)報(bào)告的嚴(yán)格要求。那天，他將一篇厚厚的文章遞給我，說(shuō)“我還不知你的水平到底在哪條線上，三個(gè)禮拜后你向我報(bào)告它的內(nèi)容。”他在給我一個(gè)非官方的“博士資格考”！文章作者的博士導(dǎo)師是大名鼎鼎的斯梅爾（Stephen Smale，1930-），畢業(yè)后成了康內(nèi)爾大學(xué)的年輕教授，在學(xué)術(shù)界已嶄露頭角。七十多頁(yè)的這篇長(zhǎng)文，用到積分幾何研究線性規(guī)劃一類(lèi)算法的計(jì)算復(fù)雜性，而對(duì)這個(gè)領(lǐng)域我是門(mén)外漢。但是，盡管我每天忙于修課旁聽(tīng)，還要對(duì)付時(shí)差的進(jìn)攻，我不能知難而退，而是應(yīng)以實(shí)際行動(dòng)，不辜負(fù)老師的期望！我從系圖書(shū)館借了西班牙數(shù)學(xué)家桑塔洛（Luis A. Santaló，1911-2001）關(guān)于積分幾何的經(jīng)典大著。多年來(lái)不斷提升的自學(xué)能力，讓我很快了解到這門(mén)學(xué)科的基本概念，并被以概率觀點(diǎn)研究幾何之美傾倒。任何人只要聽(tīng)說(shuō)在畫(huà)有兩條直線的平面上，隨機(jī)投擲細(xì)針大量次數(shù)，則可以用概率方法估計(jì)圓周率的值，就會(huì)對(duì)積分幾何的先驅(qū)之一、法國(guó)植物學(xué)家和作家布豐（Georges de Buffon，1707-1788）古稀之年的天才創(chuàng)造嘖嘖稱(chēng)奇。

當(dāng)我站在李教授辦公室的黑板前準(zhǔn)備大顯身手之時(shí)，只見(jiàn)他坐在椅子上，雙腳放在辦公桌上（這并不顯示他傲慢無(wú)禮，而是在美國(guó)司空見(jiàn)慣的現(xiàn)象），嘴里突然吐出令我驚訝的一句話：“你要把我當(dāng)成笨蛋，我什么也不懂?！碧锰么蠼淌冢裁匆膊欢?？一霎那，我全明白了，他是在考察我講課的本領(lǐng)、演講的效果，是否真能讓“笨蛋”也能聽(tīng)懂“高深的數(shù)學(xué)”。我知道我的短處和長(zhǎng)處，短處是普通話發(fā)音較差，家鄉(xiāng)口音頗重，這是我少年十四歲開(kāi)始謀生，與只說(shuō)家鄉(xiāng)方言的工人師傅為伍數(shù)年后才進(jìn)大學(xué)的結(jié)果。但我希望能“取長(zhǎng)補(bǔ)短”。這個(gè)小小的長(zhǎng)處就是：只要是已經(jīng)真正弄懂的東西，我基本上能講得讓普通人也能聽(tīng)懂。歇后語(yǔ)“茶壺里的餃子——肚子里有貨，嘴上倒不出”，可能難以用到我的身上。這部分是源自先天的父母教書(shū)基因，部分是受到后天的南大教學(xué)訓(xùn)練。

第一次報(bào)告完畢，李教授未置一詞。他很少當(dāng)面表?yè)P(yáng)人，但我清楚得很，我把這個(gè)“笨蛋”講懂了。第二周我更胸有成竹，講完后，他說(shuō)“你回去給我寫(xiě)個(gè)報(bào)告吧。”我舒了一口氣，終于通過(guò)了他獨(dú)特的“資格考”。

后來(lái)才知道，該文是投給期刊《數(shù)學(xué)規(guī)劃》（Mathematical Programming）的稿子，編輯部送到李教授手里審閱。他就想出這個(gè)鬼點(diǎn)子，一石二鳥(niǎo)，既能看看我的數(shù)學(xué)功夫和演講能力，又給我機(jī)會(huì)練習(xí)寫(xiě)審稿報(bào)告。當(dāng)然，他自己也節(jié)省了審稿時(shí)間，何樂(lè)而不為呢？這是我學(xué)術(shù)生涯中的第一次審稿，雖然是非官方性的，因?yàn)槲疫€是博士生，但對(duì)我卻意味深長(zhǎng)。

1986年夏，李教授辦了一個(gè)討論班，討論麻省理工學(xué)院教授斯特朗（Gilbert Strang，1934-）的新書(shū)《應(yīng)用數(shù)學(xué)導(dǎo)論》（Introduction to Applied Mathematics）。盡管我那個(gè)夏天因?yàn)檫€未考過(guò)博士預(yù)備考（連資格考還沒(méi)過(guò)呢），系里不給資助，但我沒(méi)想去校外打工，因?yàn)檫^(guò)去半年拿的教學(xué)助理薪水所剩尚夠這三個(gè)月開(kāi)銷(xiāo)，便理所當(dāng)然參加了。李教授的兩個(gè)博士生——來(lái)自韓國(guó)的李弘九（Noah Rhee）和北京的張紅，加上顏教授的一個(gè)弟子等也參加了。每個(gè)學(xué)生必須報(bào)告一章內(nèi)容，因我碩士專(zhuān)業(yè)為最優(yōu)化理論，故讓我報(bào)告關(guān)于數(shù)學(xué)規(guī)劃的那一章。

這是我在美國(guó)所做的第一次討論班報(bào)告。盡管有過(guò)南大討論班的訓(xùn)練，我還是把它當(dāng)成一生中首次作學(xué)術(shù)報(bào)告來(lái)準(zhǔn)備。這的確是我的第一次英文討論班報(bào)告。我精讀了斯特朗教授書(shū)的那章內(nèi)容，梳理了幾年來(lái)對(duì)這門(mén)學(xué)科的心得體會(huì)，決定用自己的語(yǔ)言，幾何化地介紹最優(yōu)化理論的基本想法。當(dāng)我成竹在胸地上場(chǎng)報(bào)告前，李教授和我打了招呼，抱歉因有事要提前十分鐘離場(chǎng)。那天我根本沒(méi)按作者采用的標(biāo)準(zhǔn)方法證明等式約束最優(yōu)化中的拉格朗日乘子法則，而是采用了多元微積分中方向?qū)?shù)的概念，一下子就直觀地推導(dǎo)出。我的英文口語(yǔ)表達(dá)能力肯定還停留在起步階段，但我自信的神態(tài)流露出的是對(duì)這個(gè)法則比較透切的理解——這歸功于在南大讀最優(yōu)化專(zhuān)業(yè)研究生時(shí)打下的基本功和認(rèn)真的演講準(zhǔn)備。我從聽(tīng)眾的面部表情中確信他們真的聽(tīng)懂了。演講者最覺(jué)得意的事，莫過(guò)于感受到觀眾的共鳴！突然，我看到李教授站起來(lái)了，因?yàn)樗吡耍撬淖炖锵韧鲁隽藥讉€(gè)我永遠(yuǎn)記得的詞，而且是中文詞：“講得不錯(cuò)，馬列主義學(xué)得好！”

幾天后，系里年紀(jì)與李教授相仿因而彼此常常聊天的博士生王鐸告訴我，李教授跟他講“丁玖有思想”。這五字評(píng)語(yǔ)雖然屬于過(guò)獎(jiǎng)之言，但讓我高興，因?yàn)槲以谖磥?lái)博士論文導(dǎo)師的眼里基本過(guò)了關(guān)。中國(guó)的傳統(tǒng)教育太多強(qiáng)調(diào)“有知識(shí)”，故催生了一句令人羨慕的成語(yǔ)“學(xué)富五車(chē)”。但是在西人眼里，“有思想”的學(xué)者，才是有創(chuàng)造力的學(xué)者。

“忘光公式”

王鐸文革前考入大學(xué)，我進(jìn)南大不久他考上了北大的研究生，畢業(yè)后來(lái)到這里訪問(wèn)李教授的師兄周修義（1943-2023）教授，后轉(zhuǎn)為其門(mén)下的博士研究生。周教授是來(lái)自新加坡的華人，大學(xué)畢業(yè)后，沒(méi)有像李教授那樣要當(dāng)兵一年，就直奔美國(guó)，1970年在約克教授的手中拿到博士學(xué)位。雖然他較師弟年長(zhǎng)兩歲，看上去卻十分年輕，精巧的面龐、炯炯的目光，一看就知道是個(gè)能干之人，可以在任何領(lǐng)域有所建樹(shù)。我第一次見(jiàn)到他時(shí)聊了會(huì)兒。我用中文提到中國(guó)某著名大學(xué)的一位數(shù)學(xué)教授在某個(gè)專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域有個(gè)強(qiáng)大的理論團(tuán)隊(duì)，且其某個(gè)理論研究在國(guó)內(nèi)獨(dú)樹(shù)一幟時(shí)，他卻用英文回答我：“Not many people do that?。](méi)多少人干那玩意兒?。?，意思是說(shuō)這個(gè)研究題目太老了，一下子就把我鎮(zhèn)住了，頓時(shí)對(duì)他格外尊敬。

雖然我在大學(xué)階段讀過(guò)的課外數(shù)學(xué)書(shū)，數(shù)目上可能不少于課內(nèi)教科書(shū)，但國(guó)內(nèi)研究生的培養(yǎng)機(jī)制，限制我們選修其他領(lǐng)域的課程。來(lái)到美國(guó)，我基本只修國(guó)內(nèi)未系統(tǒng)學(xué)過(guò)的那些科目。第二年，我一見(jiàn)周教授要開(kāi)一學(xué)年的《常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)》研究生課程，就毫不猶豫地注冊(cè)修課。周教授那時(shí)才四十余歲，手上有幾個(gè)研究基金，在系里薪水最高，正處于研究生涯的高產(chǎn)期。他和布朗大學(xué)的黑爾（Jack K. Hale，1928-2009）教授于八十年代初出版的合著《分支方法理論》（Theory of Bifurcation Method），是這個(gè)領(lǐng)域的主要參考書(shū)之一。他與顏教授或阿克斯拉教授的教課風(fēng)格迥異，各有千秋。顏教授教書(shū)像潺潺流水，滋潤(rùn)心田，但難見(jiàn)波瀾壯闊之舉；阿克斯拉教授的課堂證明思路清晰，邏輯性強(qiáng)，滴水不漏；周教授的講臺(tái)表演則是天馬行空，隨心所欲，從大處著想而不拘小節(jié)，極具研究風(fēng)味。在推演過(guò)程中他常讓我們幫忙，因?yàn)樗浟讼乱徊皆撚玫降娜呛瘮?shù)恒等式。這就從某一方面佐證了前述的王永成老師所坦誠(chéng)的“忘光公式”，確有知音。記不得又有什么關(guān)系呢？我們學(xué)生最需要的只是思想，而周教授向我們傳授了做研究的思想！

當(dāng)相對(duì)論在全世界響徹云霄之時(shí)，曾有一名無(wú)知無(wú)畏的青年，想考一下偉大的愛(ài)因斯坦（Albert Einstein，1879-1955），問(wèn)他聲音在水中的傳播速度是多少。愛(ài)因斯坦不慌不忙地回答道：先生，我記不得了，但是您可以從任何一本物理教科書(shū)上查到。我有次在回國(guó)飛機(jī)上，與鄰座一位美國(guó)人閑聊中國(guó)教育。這位北卡羅萊納大學(xué)教堂山校區(qū)歷史系的畢業(yè)生，常年來(lái)廣東指導(dǎo)出口家具生產(chǎn)。他告訴我，中國(guó)工程師在技術(shù)上非常聽(tīng)話，按部就班地遵循國(guó)外的設(shè)計(jì)方案，鮮有別出心裁的另辟蹊徑之舉。在談到中國(guó)學(xué)生中普遍存在的創(chuàng)新不足現(xiàn)象時(shí)，他引述了他曾在北京教物理的一位同胞所說(shuō)的俏皮話：如果老師在課堂上教等式2+3=5，美國(guó)學(xué)生會(huì)問(wèn)為什么2 + 3不等于4或6，而中國(guó)學(xué)生則默默地將公式記在心里。不會(huì)思考或不想思考，是中國(guó)幾千年填鴨式教育的后果之一。

中國(guó)的教育太重視記憶術(shù)了，把學(xué)生大腦的存儲(chǔ)功能，挖掘到極致，但對(duì)大腦的最重要功能——思維——卻不聞不問(wèn)。因而這種記憶力，與理解力不能相輔相成，并駕齊驅(qū)。學(xué)校里到處鼓勵(lì)的囫圇吞棗式的機(jī)械性記憶，一言以蔽之，就是死記硬背。動(dòng)物也是有記憶力的，家養(yǎng)的犬對(duì)熟人搖尾，對(duì)生人狂吠，信鴿可以飛回千里之外的家。但是人和動(dòng)物的區(qū)別就是，人可以思維，因此人可以被定義為“會(huì)思維的動(dòng)物”。人會(huì)改造自然、改變世界，而動(dòng)物則不能，就是歸功于人的思維特性，而不是記憶特性。否則我們的寵物狗和貓，也能統(tǒng)治世界了?？上?，我們目前大行其道的應(yīng)試教育，只能驅(qū)使我們的學(xué)生，成為僅會(huì)背公式的不愛(ài)思考者。美國(guó)偉大的物理學(xué)家費(fèi)曼（Richard Feynman，1918-1988）有個(gè)好父親。他從小就告訴兒子，僅僅知道事物的名稱(chēng)而對(duì)事物的本質(zhì)一無(wú)所知，等于什么也不知。他舉例說(shuō)，有一只鳥(niǎo)，在不同的語(yǔ)言里，有不同的叫法。即便你背得了一百個(gè)叫法，卻不知道該鳥(niǎo)的習(xí)性，你對(duì)那只鳥(niǎo)還是一竅不通。這對(duì)我們“知其然而不知其所以然”的教育法，確實(shí)也是極妙的比喻。

上他的課，沒(méi)有人會(huì)打盹

如果說(shuō)阿克斯拉教授的課程成績(jī)不依據(jù)考試，只看平時(shí)作業(yè)，加上他的獨(dú)特打分標(biāo)準(zhǔn)有點(diǎn)與眾不同，周教授給注冊(cè)他課學(xué)生的科目最終評(píng)分，那次所用的簡(jiǎn)單方法，更是出人意料。我事后聽(tīng)說(shuō)，交了課堂作業(yè)的，基本都拿A，沒(méi)交的也得B。也就是說(shuō)一個(gè)嬰兒，只要能注冊(cè)此課，就能拿到B，因?yàn)閶雰寒?dāng)然是不會(huì)做作業(yè)的。姑且不論這種評(píng)分方式是否合理或太松，學(xué)生們卻從這門(mén)課中，至少觀賞到做研究的藝術(shù)。部分人甚至可從這里起步，奔向熱門(mén)研究前沿陣地。真正做研究的教授往往在分?jǐn)?shù)面前對(duì)學(xué)生特別寬宏大量。而有些早已在研究陣地上丟槍棄甲的教授，視分?jǐn)?shù)為保持他們教授權(quán)威的最后一張招牌，不肯輕易放松，學(xué)生平均分?jǐn)?shù)89.9時(shí)，也只能得到倒霉的B而與A無(wú)緣。

當(dāng)然，最讓我嘖嘖稱(chēng)奇的講課風(fēng)格，還是非李天巖教授莫屬。在1987-88學(xué)年，他被日本京都大學(xué)數(shù)理解析研究所請(qǐng)去當(dāng)了一年的講座教授，據(jù)說(shuō)薪水是日本大學(xué)正教授的一倍半。這個(gè)研究所共有十個(gè)講座教授，其中九個(gè)是永久性職位，屬于國(guó)內(nèi)學(xué)者，只有一個(gè)講座才向國(guó)外聘請(qǐng)。李教授在那里給京都大學(xué)數(shù)學(xué)系做了一系列的演講：[0, 1]上的遍歷理論。這一年里，我們幾個(gè)他從祖國(guó)大陸招來(lái)的弟子，平時(shí)見(jiàn)不到導(dǎo)師表面上威嚴(yán)的面孔，像見(jiàn)不到貓的老鼠似的，活得自由自在，天天活蹦活跳，但每個(gè)人都很自覺(jué)，普遍用功。我已經(jīng)通過(guò)了博士資格考和預(yù)備考各兩門(mén)，以及兩種第二外語(yǔ)的考試。在繼續(xù)修課的同時(shí)，我開(kāi)始閱讀別人發(fā)表的最新論文，著手思考問(wèn)題，撰寫(xiě)了我來(lái)美后的第一篇學(xué)術(shù)文章。當(dāng)遠(yuǎn)在東方的李教授收到我的文章初稿后，給我回信時(shí)，不僅給予了學(xué)術(shù)建議，而且還大大褒揚(yáng)了我做研究自己找問(wèn)題動(dòng)手干的主觀能動(dòng)性。

1988年秋季學(xué)期，剛從東瀛訪問(wèn)歸來(lái)的李天巖教授，決定開(kāi)一學(xué)年的遍歷理論課，所講材料主要是基于他在日本簡(jiǎn)單整理的演講稿，目的是想經(jīng)過(guò)課堂正式講授，為以后可能寫(xiě)書(shū)做準(zhǔn)備。這是我第一次正式注冊(cè)他的課。課程叫《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)選講》，注冊(cè)者除了他幾乎所有的中國(guó)博士生外，還有一對(duì)美國(guó)博士后夫婦，這迫使他不得不用英文授課。杰出實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家丁肇中（1936-），為了提高來(lái)自國(guó)內(nèi)訪問(wèn)學(xué)者的英文水平，平時(shí)故意不與他們講中文。但李教授卻恰恰相反，只要沒(méi)有洋人在場(chǎng)，總是滿嘴中文，甚至在大多是美國(guó)學(xué)生的課堂上，也偶爾耍點(diǎn)中文的小把戲。有一次，他對(duì)注冊(cè)他課的幾個(gè)中國(guó)弟子的作業(yè)表現(xiàn)不甚滿意，那天一進(jìn)教室，就直奔黑板，寫(xiě)下四個(gè)漢語(yǔ)大字：“眼高手低”，笑壞了不知其意的美國(guó)人，羞怯了只比他小了十歲左右的徒弟們。

寫(xiě)過(guò)皇皇巨著《古今數(shù)學(xué)思想》的美國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)家兼數(shù)學(xué)史家克萊因（Morris Kline，1908-1992），關(guān)于課堂教學(xué)，對(duì)教師曾給出如下的諄諄告誡：

“我想力勸每位老師成為演員。他必須借助戲劇的每一種道具使他的授課技巧彰顯出生機(jī)與活力。他有必要在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候運(yùn)用戲劇效果，在講述事實(shí)的同時(shí)展現(xiàn)激情。不尋常的怪異舉動(dòng)能夠激發(fā)人們的興趣，揮灑自如的幽默能夠極大地活躍課堂，即便這與授課內(nèi)容貌似無(wú)關(guān)?！?/p>

坐在李天巖教授的課堂里，你大概對(duì)克萊因的話更能體會(huì)，因?yàn)樗褪窃忈屵@段話的范本。上他的課，滿腦子瞌睡蟲(chóng)的人也不會(huì)打盹。如果我來(lái)美的第一個(gè)學(xué)季就修他的課，那我的時(shí)差困擾也不會(huì)拖得那么久。他絕不是那種照本宣科的老學(xué)究，也不是敘述證明按部就班的標(biāo)準(zhǔn)師，更不是語(yǔ)速、頻率、振幅幾乎不隨時(shí)間變化的教書(shū)匠。他講課時(shí)面部表情多變，肢體語(yǔ)言夸張，吐出數(shù)學(xué)新概念前，總以生動(dòng)例子鳴鑼開(kāi)道，好讓我們從容不迫地登堂入室。抑揚(yáng)頓挫的語(yǔ)氣，有時(shí)像潺潺流水，有時(shí)如驚濤駭浪，有時(shí)則仿佛美國(guó)黑人民權(quán)領(lǐng)袖馬丁·路德·金（Martin Luther King，1929-1968）在著名演講中重復(fù)句子“I have a dream !（我有一個(gè)夢(mèng)想?。蹦菢樱B續(xù)強(qiáng)調(diào)同一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，聲音的分貝越來(lái)越大，把我們的激情也完全調(diào)動(dòng)起來(lái)了。

第二個(gè)學(xué)季，那一對(duì)美國(guó)夫婦沒(méi)有再來(lái)旁聽(tīng)，這樣每節(jié)課教室里，蕩漾的全是標(biāo)準(zhǔn)的臺(tái)灣國(guó)語(yǔ)聲，李教授上課時(shí)的動(dòng)感語(yǔ)言更加豐富多彩了，我們聽(tīng)得也更起勁了。本來(lái)，我們對(duì)遍歷理論的基本概念幾乎一無(wú)所知，但這一學(xué)年，我們跟隨他浸潤(rùn)于集純數(shù)學(xué)幾個(gè)學(xué)科于一體的理論大海，“遍歷”暢快地吸收著令人神往的新養(yǎng)料。至于我，就像“混沌”所揭示的“蝴蝶效應(yīng)”那樣，我根本沒(méi)有預(yù)測(cè)到這門(mén)課居然成就了自己的博士論文。

而這篇學(xué)位論文該做什么，也是導(dǎo)師與我事先都“始料未及”的。下次寫(xiě)出這前后過(guò)程，或許會(huì)給因碩士、博士論文選題而煩惱的年輕學(xué)子提供一點(diǎn)“經(jīng)驗(yàn)之談”。

注：

本文基于2016年由商務(wù)印書(shū)館出版的《親歷美國(guó)教育：三十年的體驗(yàn)與思考》第四章《讀書(shū)日子》修改而成。

本文受科普中國(guó)·星空計(jì)劃項(xiàng)目扶持

出品：中國(guó)科協(xié)科普部

監(jiān)制：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

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