仿射空間

定義

仿射空間是點(diǎn)和向量的集合2，它的定義是：

（1）設(shè)A為一個(gè)點(diǎn)集，A中任意兩個(gè)有序點(diǎn)P、Q對(duì)應(yīng)于n維矢量空間中的一個(gè)矢量a；

（2）設(shè)P、Q、R為A中任意三點(diǎn)，P、Q對(duì)應(yīng)于矢量a，Q、R對(duì)應(yīng)于矢量b，則P、R對(duì)應(yīng)于矢量a+b。

具有上面兩個(gè)性質(zhì)的點(diǎn)集A就叫做一個(gè)仿射空間。

非正式描述

仿射空間是沒有起點(diǎn)只有方向與大小的向量所構(gòu)成的線性空間。假設(shè)有甲乙兩人，其中甲知道一個(gè)空間中真正的原點(diǎn)，但是乙認(rèn)為另一個(gè)點(diǎn)p才是原點(diǎn)?，F(xiàn)求兩個(gè)向量a和b的和。乙畫出 p到a和 p 到b 的箭頭， 然后用平行四邊形找到他認(rèn)為的向量 a + b。但是甲認(rèn)為乙畫出的是向量p+(a ? p) + (b ? p)。同樣的，甲和乙可以計(jì)算向量a和b的線性組合，通常情況下他們會(huì)得到不同的結(jié)果。

然而，請(qǐng)注意：

如果線性組合系數(shù)的和為1，那么甲和乙將得到同樣的結(jié)果！仿射空間就是這樣產(chǎn)生的：甲知道空間的"線性結(jié)構(gòu)"。但是甲和乙都知道空間的"仿射結(jié)構(gòu)"，即他們都知道空間中仿射組合的值，其中仿射組合的定義為系數(shù)和為1的線性組合。

具有仿射結(jié)構(gòu)的集合就是一個(gè)仿射空間1。

概念理解

從基本數(shù)學(xué)概念上來說，一個(gè)坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)了一個(gè)仿射空間 (Affine Space)，當(dāng)矢量從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系時(shí)要進(jìn)行線性變換 (Linear Transformation)。對(duì)點(diǎn)來說， 要進(jìn)行仿射變換 (Affine Transformation)。這就是我們利用同源坐標(biāo)的理由。它能在對(duì)矢量進(jìn)行線性變換的同時(shí)對(duì)點(diǎn)進(jìn)行仿射變換。坐標(biāo)變換的基本操作就是將變換矩陣乘以矢量或點(diǎn)。