積分因子

定義

由于恰當(dāng)方程可以比較方便的求出通解，于是人們想到能否將一非恰當(dāng)方程化為恰當(dāng)方程呢？由此就引入了積分因子的概念。

如果存在連續(xù)可微函數(shù) ，使得

為一恰當(dāng)方程，即存在函數(shù) ，使

則稱 為方程 的積分因子。這時(shí) 即為方程 的通解，因而也就是方程 的通解。1

存在性

可以證明，只要方程 有解存在，則必有積分因子存在，且不是唯一的。

事實(shí)上，設(shè)該方程有通解 ，對其微分可得

與原方程 對比可得

從而， 。由此可見， 即為方程的積分因子。

例如， 可以取 中的任何一個(gè)函數(shù)作為積分因子。1

確定方法

為方程的積分因子的充分必要條件為

或

對于此一階線性偏微分方程，在一般情況下，要據(jù)此求出 的表達(dá)式是比較困難的。以下僅對某些特殊情況介紹幾種常用的求積分因子的簡便方法。

觀察法

對于某些比較簡單的微分方程，借助常用的全微分公式，可以直接寫出方程的積分因子。如上面所說的 可以取 中的任何一個(gè)函數(shù)作為積分因子。1

積分法

設(shè)方程 存在積分因子 ，則方程 變?yōu)?img src="https://pqnoss.kepuchina.cn/url/2024/03/04/20240304144925_55a8e3.jpg" alt="" title="%5Cfrac%7Bd%5Cmu%7D%7B%5Cmu%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%20M%7D%7B%5Cpartial%20y%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20N%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cright%29dx" /> ，因?yàn)?img src="https://pqnoss.kepuchina.cn/url/2024/03/04/20240304144925_522073.jpg" alt="" title="%5Cmu%5Cleft%28x%5Cright%29" /> 與 無關(guān)，所以方程有解的充要條件是： 僅與 有關(guān)。設(shè) ，則

同理方程 有形如 的積分因子的充要條件是：

從而

1

分組法

如果 是方程的一個(gè)積分因子，使得 ，則 也是該方程的一個(gè)積分因子，其中 是 的任一可微非零函數(shù)。

利用上述定理使分組求積分因子的方法一般化。如果方程左端可以分成兩組，即

設(shè)兩組分別有積分因子 使得

則 是第一組的積分因子， 是第二組的積分因子。如果能找到適當(dāng)?shù)目晌⒑瘮?shù) ，使得 ，那么 就是所找的積分因子。1