莫利定理

內(nèi)容

將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條角三分線相交得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。

證明方法

該定理以其美妙和證明困難著稱，到目前為止，已經(jīng)有很多證明方法。

證法一

設(shè)△ABC中，AF、 AE、BF、BD、CD、CE為各角的三等分線，三邊長(zhǎng)為a,b,c,三內(nèi)角為3α，3β，3γ，則α+β+γ=60°。

在△ABF中，由正弦定理，得AF=csinβ/sin(α+β)。

不失一般性，△ABC外接圓直徑為1，則由正弦定理，知c=sin3γ，所以AF=

（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin2γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=

2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）.

同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β)

∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]：[4sinβsinγsin(60°+β)]=sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE

∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得，CED=60°+α

FED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60

∴△FED為正三角形。1

證法二

∵AE：AC=sinγ：sin（α+γ），

AF：AB=sinβ：sin（α+β） ，

AB：AC=sin3γ：sin3β，

∴AE:AF=（ACsinγ/sin（α+γ））：（ABsinβ/sin（α+β）），

而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ），

sin（α+β）sin(60°-β)=sin（α+γ）sin(60°-γ)，

∴AE：AF=sin(60°+β)：sin(60°+γ)，

∴在△AEF中，∠AEF=60°+γ，

同理∠CED=60°+α，

∴∠DEF=60°，

同理∠DFE=60°，

∴△DEF為正三角形。