柯西中值定理

人物簡介

柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔(dān)任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。并且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有很高的建樹和造詣。很多數(shù)學(xué)的定理和公式也都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。

定理定義

柯西（Cauchy）中值定理：設(shè)函數(shù) 滿足

⑴在閉區(qū)間 上連續(xù)；

⑵在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)；

⑶對任意， ，

那么在內(nèi)至少有一點 ，使得 成立2

與拉氏定理的聯(lián)系

在柯西中值定理中，若取g(x)=x時，則其結(jié)論形式和拉格朗日中值定理的結(jié)論形式相同。

因此，拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推廣。

證明

可構(gòu)造輔助函數(shù) ， 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且有 。

由羅爾定理可知，存在 ，使得 ，即 ，又 ，所以有

幾何意義

若令 ，這個形式可理解為參數(shù)方程，而 則是連接參數(shù)曲線兩端點弦的斜率， 表示曲線上某點處切線的斜率，在定理的條件下，結(jié)論可理解如下：用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點，在這一點處的切線平行于連接兩個端點的弦。3

應(yīng)用例子

泰勒公式

柯西中值定理最主要的應(yīng)用是證明帶有拉格朗日余項的階泰勒公式，只要反復(fù)使用柯西中值定理多次就能證明，下面以 為例說明。

例1設(shè) 在 內(nèi)二次可微，證明：任意的 ，在 之間存在 ，使

這就是函數(shù) 在點 鄰域內(nèi)的一階泰勒公式。

證明令 ，

利用 ， ， ， 。在兩次應(yīng)用到柯西中值定理后可以得到：

命題得證。4

洛必達法則

柯西中值定理的一個最重要的應(yīng)用就是可以推導(dǎo)計算待定型的極限最有效的方法——洛必達法則。

洛必達法則是求兩個無窮小量或兩個無窮大量的比的極限。在滿足一定條件下可以化成兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的比值極限，這樣就有可能使得原待定型變成簡便而有效的求非待定型極限的問題。

我們得出下面這個定理（洛必達法則）：

⑴兩個函數(shù) 和 在開區(qū)間 可微，并且在這個開區(qū)間上， 的導(dǎo)數(shù)不等于0；

⑵存在極限 （或 ），其中A為一個有限的常數(shù)。則在以下情況下： （或者 和 ）。那么就有： （或 ）。在區(qū)間的另一個端點也存在相類似的結(jié)果。這個定理就稱之為洛必達法則，能有效地應(yīng)用于待定型的極限計算。

不等式

柯西中值定理在不等式的證明也有廣泛應(yīng)用，關(guān)鍵是f(x)和g(x)要選得恰當(dāng)。5

例3試證明當(dāng) 時， （引用文內(nèi)原題，解法重新作出）。

證明 設(shè) ，

則 在區(qū)間 上滿足柯西中值定理條件，所以存在 ，使 ，即