伯努利不等式

基本概念

對(duì)實(shí)數(shù)x>-1，1

在時(shí)，有成立；

在時(shí)，有成立。

可以看到等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)n = 0,1，或x = 0時(shí)。

伯努利不等式經(jīng)常用作證明其他不等式的關(guān)鍵步驟。

伯努利不等式的一般式為

（對(duì)于任意 都有且,即所有同號(hào)且大于等于-1） 當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)等號(hào)成立。

證明

設(shè)x>-1,且x≠0,n是不小于2的整數(shù),則(1+x)^n≥1+nx。2

證明：

先證明對(duì)所有正整數(shù)不等式成立。用數(shù)學(xué)歸納法：

當(dāng)n=1，上個(gè)式子成立，

設(shè)對(duì)n-1，有：

(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立。

則

(1+x)^n

=(1+x)^(n-1)(1+x)

>=[1+(n-1)x](1+x)

=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2=1+nx+nx^2-x^2

>=1+nx

就是對(duì)一切的自然數(shù)，當(dāng)

x>=-1，有

(1+x)^n>=1+nx

下面把伯努利不等式推廣到實(shí)數(shù)冪形式：

若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)^r ≥ 1 + rx

若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)^r ≤ 1 + rx

這個(gè)不等式可以直接通過微分進(jìn)行證明，方法如下：

如果r=0，1，則結(jié)論是顯然的

如果r≠0，1，作輔助函數(shù)f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 則f'(x)=0 <==> x=0;

下面分情況討論：

1. 0 < r < 1，則對(duì)于x > 0，f'(x) < 0；對(duì)于 ? 1 < x < 0，f'(x) > 0。嚴(yán)格遞增，因此f(x)在x = 0處取最大值0，故得(1+x)^r ≤ 1+rx。

2. r < 0或r > 1，則對(duì)于x > 0，f'(x) > 0；對(duì)于 ? 1 < x < 0，f'(x) < 0。嚴(yán)格遞減，因此f(x)在x = 0處取最小值0，故得(1+x)^r ≥ 1+rx

證畢。

伯努利不等式雖然是一個(gè)很初等的不等式，但它的應(yīng)用卻非常廣泛。伯努利不等式簡潔方便，能降低次數(shù)，可以將高次冪變?yōu)榈痛蝺?，簡化運(yùn)算。此外，伯努利不等式常被用作證明其它不等式的關(guān)鍵步驟，它本身可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明。伯努利不等式在證明數(shù)列極限、函數(shù)的連續(xù)和單調(diào)性以及在其他不等式的證明和級(jí)數(shù)的收斂性等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用。3

相關(guān)不等式

下述不等式從另一邊估計(jì)：對(duì)任意，都有

。

我們知道（ x>0），因此這個(gè)不等式是平凡的。