托里拆利點

基本介紹

在 的外側(cè)分別作正三角形 ，這三個正三角形的外接圓(托里拆利圓)相交于一點M，則點M稱為托里拆利點。三個內(nèi)角皆小于120°的 的托里拆利點有如下特性：它到 三頂點的距離之和AM+BM+CM是三角形內(nèi)點中到三頂點距離之和中最小的。

意大利學(xué)者托里拆利(E.Torricelli，1608-1647)，首先研究了托里拆利點的問題，因而得名。

在一定條件下，托里拆利點和正等角中心、費爾瑪點是同一點，只不過提出的角度不同。托里拆利點是從共點圓方面提出，正等角中心是從共點線方面提出，費爾瑪點則是從幾何極值方面提出的。

相關(guān)介紹

費馬點問題最早是由法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費馬在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家埃萬杰利斯塔·托里拆利（氣壓計的發(fā)明者）的信中提出的。托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀的數(shù)學(xué)家斯坦納重新發(fā)現(xiàn)了這個問題，并系統(tǒng)地進行了推廣，因此這個點也稱為托里拆利點或斯坦納點，相關(guān)的問題也被稱作費馬-托里拆利-斯坦納問題。這一問題的解決極大推動了聯(lián)合數(shù)學(xué)的發(fā)展，在近代數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的意義。

相關(guān)例題分析

例1 在 的邊上向形外(形內(nèi))作正 ，

證明：直線 相交于一點，并求這個點的三線性坐標。

這個點叫做第一(第二)等角中心，第一等角中心也稱做托里拆利點或費馬點。

提示 點 具有三線性坐標 ，其中上面的符號對應(yīng)向外作三角形，下面的符號對應(yīng)向內(nèi)作三角形，所以直線 用方程 給出，因此三線性坐標為

的點是直線 的交點3。

相關(guān)介紹

《將軍巡營》解

三座兵營分別設(shè)置在大片開闊地的三處，將軍經(jīng)常要去巡視。他從自己的指揮所出發(fā)，到達第一兵營后回到指揮所；再去到第二兵營后回到指揮所；最后又去到第三兵營后回到指揮所。一天，他忽然想到要把指揮所搬到少走路程的地方，卻拿不定主意，不知指揮所應(yīng)放在哪兒才合適4。

這則民間傳說引起許多人的興趣，進行研究這個問題的大有人在。經(jīng)歷了不知多少年，謎底始終沒有被揭開，便一直成為懸案，稱為**(將軍巡營)問題**。

以每座兵營為一個點，三座兵營作為頂點，便構(gòu)成—個三角形。那么，指揮所可擬作三頂點以外的另一個點，于是問題可以敘述為：試確定一點，使它至三頂點往返的距離和為最小。

往返的距離和最小，相應(yīng)地，單程的距離和也最小。這樣，《將軍巡營》問題實質(zhì)上就是“試求一點，使它到已知三角形的三頂點距離之和為最小。”這樣一個極值問題。

根據(jù)那則民間傳說提出這個極值問題的就是費馬，后人從他致意大利物理學(xué)家托里拆利(1608-1647)的信中見到它。

對于這類幾何極值的問題，費馬相當熟悉它的解法。

最簡明的解法是應(yīng)用“等角特征”原理。見圖2，如果三角形ABC中有一點P，那么，當 時，這點便是費馬所提出求解的那個點，即P點是到A、B、C三點距離之和最小的點。若另取一點 ，必有

《將軍巡營》問題是由費馬解決的，將軍的指揮所放在哪兒?也是費馬向托里拆利提出的那個點，后人稱為“費馬點”。

顯然，要使確定的P點產(chǎn)生三等角，只有當三角形的每個內(nèi)角都小于120。時才存在。這樣，費馬點究竟在哪兒，就有以下答案：

若已知三角形的每個內(nèi)角都小于120°，則所求的點即是與三頂點構(gòu)成三等角的點：若已知三角形有一內(nèi)角大于或等于120°，則所求的點是這個三角形的最大內(nèi)角的頂點。

怎樣確定費馬點?見圖3，分別以三角形的三邊為—邊，向形外作等邊三角形 ，則 的任兩線交點便是費馬點(實際上是三線匯交于一點P)，這點也叫三角形的“正等角中心”。

不過，托里拆利卻別出心裁地用另一種方法來定費馬點。圖3是用共點線考慮的，而托里拆利則按共點圓考慮，分別作三個等邊三角形的外接圓，則三圓匯交于一點P(圖4)，這是費馬點，也叫“托里拆利點”，那三個圓則稱為“托里拆利圓”。

一般作法是采剛折衷辦法，即僅作—個等邊三角形，用一個圓和-—條直線來確定費馬。如圖5的圓(等邊三角形的外接圓)與的交點P就是所要求的點4。

實際生活中的費馬點也是有模型的。比如，有三個不在一條直線上的三個城鎮(zhèn)，以這三個城鎮(zhèn)為頂點構(gòu)成的三角形的內(nèi)角沒有超過120度的。那么，要建造一個大型購物中心，要求從三個城鎮(zhèn)到這個購物中心之間都建造一條直線形的公路，為了使造路費用最小，當然要使這三條路的長度之和最小。問購物中心應(yīng)該建造在何處？答案是：購物中心建造在以三個城鎮(zhèn)為頂點構(gòu)成的三角形的費馬點處。