全微分

全增量

為了引進全微分的定義，先來介紹全增量。

設二元函數(shù)z = f (x, y)在點P(x,y)的某鄰域內有定義，當變量x、y點(x,y)處分別有增量Δx，Δy時函數(shù)取得的增量。

稱為 f (x, y)在點(x,y)的全增量。

定義

如果函數(shù)z = f (x, y)在點(x,y)的全增量 可表示為

其中A 、B僅與x、y 有關，而不依賴于Δx 、Δy， ，則稱函數(shù)z = f (x, y)在點(x,y)處可微分， AΔx+BΔy稱為函數(shù)z = f (x, y)在點(x,y)處的全微分。記作dz，即。

函數(shù)若在某平面區(qū)域D內處處可微時，則稱這個函數(shù)是D內的可微函數(shù)，全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)。

定理

定理1

如果函數(shù)z=f（x，y）在點p0（x0，y0）處可微，則z=f（x，y）在p0（x0，y0）處連續(xù)，且各個偏導數(shù)存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。

定理2

若函數(shù)z=f（x，y）在點p0（x0，y0）處的偏導數(shù)f′x，f′y連續(xù)，則函數(shù)f在點p0處可微。

定理3

若函數(shù)z = f (x, y)在點(x, y)可微分，則該函數(shù)在點(x,y)的偏導數(shù)必存在，且函數(shù)z = f (x, y)在點(x,y)的全微分為：

判別可微方法

1.若f (x,y)在點(x0, y0)不連續(xù)，或偏導不存在，則必不可微；

2.若f (x,y)在點(x0, y0)的鄰域內偏導存在且連續(xù)必可微；

3.檢查是否為的高階無窮小，若是則可微，否則不可微。1

極限、連續(xù)、可導、可微的關系

這幾個概念之間的關系可以用圖1表示：