拉普拉斯算子

定義

拉普拉斯算子是n維歐幾里德空間中的一個二階微分算子，定義為梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二階可微的實(shí)函數(shù)，則f的拉普拉斯算子定義為：

f的拉普拉斯算子也是笛卡爾坐標(biāo)系xi中的所有非混合二階偏導(dǎo)數(shù)：

作為一個二階微分算子，拉普拉斯算子把C函數(shù)映射到C函數(shù)，對于k≥2時(shí)成立。算子Δ :C(R) →C(R)，或更一般地，定義了一個算子Δ :C(Ω) →C(Ω)，對于任何開集Ω時(shí)成立。

函數(shù)的拉普拉斯算子也是該函數(shù)的黑塞矩陣的跡 ：

另外，滿足▽·▽f=0 的函數(shù)f, 稱為調(diào)和函數(shù)。

拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，并且是德拉姆上同調(diào)的結(jié)果。拉普拉斯算子是個微分算子，拉普拉斯方程又名調(diào)和方程、位勢方程，求解拉普拉斯方程是物理學(xué)和力學(xué)等領(lǐng)域經(jīng)常遇到的一類重要數(shù)學(xué)問題。2

表示式

二維空間

其中x與y代表 x-y 平面上的笛卡爾坐標(biāo)：

另外極坐標(biāo)的表示法為：

三維空間

笛卡爾****坐標(biāo)系下的表示法

圓柱坐標(biāo)系下的表示法

球坐標(biāo)系下的表示法

N 維空間

在參數(shù)方程為（其中以及）的N維球坐標(biāo)系中，拉普拉斯算子為：

其中是N? 1維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子。

橢圓型偏微分方程

[elliptic partial differential equation]

橢圓型偏微分方程是偏微分方程的一個類型，簡稱橢圓型方程。這類方程主要用來描述物理中的平衡穩(wěn)定狀態(tài)，如定常狀態(tài)的電磁場、引力場和反應(yīng)擴(kuò)散現(xiàn)象等。

橢圓型方程是由方程中主部的系數(shù)來界定的。對兩個自變量的二階線性或半線性方程

在不等式 成立的區(qū)域內(nèi)，就稱方程是橢圓型的。此時(shí)，可以通過自變量的非奇異變換將方程化為標(biāo)準(zhǔn)型

。

對于高階線性方程，設(shè) 階線性偏微分算子為

其中， 。該偏微分算子的主部是 若對 及任意非零向量 都有 ，則稱方程 在點(diǎn) 是橢圓型的。如果在 中每一點(diǎn)都是橢圓型的，就稱該方程在 中是線性橢圓型方程。

線型橢圓型方程的典型代表是拉普拉斯方程（也叫調(diào)和方程）

其中， 這個算子叫拉普拉斯算子（Laplace operator），也叫調(diào)和算子。可以說，調(diào)和方程是最基本，同時(shí)也是最重要的線性橢圓型方程。

對于非線性方程，也可以定義橢圓型方程。例如，考慮二階實(shí)系數(shù)擬線性方程

其中， 。如果對任意非零向量 ， 及 ，有

就稱方程是 中的擬線性橢圓型方程。類似地，可以定義高階擬線性橢圓型方程。1

推廣

拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里德空間，這時(shí)它就有可能是橢圓型算子，雙曲型算子，或超雙曲型算子。

在閔可夫斯基空間中，拉普拉斯算子變?yōu)檫_(dá)朗貝爾算子。

達(dá)朗貝爾算子通常用來表達(dá)克萊因-高登方程以及四維波動方程。