戴維南定理

簡(jiǎn)介

戴維南定理（又譯為戴維寧定理）又稱等效電壓源定律，是由法國(guó)科學(xué)家萊昂·夏爾·戴維南于1883年提出的一個(gè)電學(xué)定理。由于早在1853年，亥姆霍茲也提出過本定理，所以又稱亥姆霍茲-戴維南定理。其內(nèi)容是：一個(gè)含有獨(dú)立電壓源、獨(dú)立電流源及電阻的線性網(wǎng)絡(luò)的兩端，就其外部型態(tài)而言，在電性上可以用一個(gè)獨(dú)立電壓源V和一個(gè)松弛二端網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)電阻組合來等效。在單頻交流系統(tǒng)中，此定理不僅只適用于電阻，也適用于廣義的阻抗。戴維南定理在多電源多回路的復(fù)雜直流電路分析中有重要應(yīng)用。

對(duì)于含獨(dú)立源，線性電阻和線性受控源的單口網(wǎng)絡(luò)（二端網(wǎng)絡(luò)），都可以用一個(gè)電壓源與電阻相串聯(lián)的單口網(wǎng)絡(luò)（二端網(wǎng)絡(luò)）來等效，這個(gè)電壓源的電壓，就是此單口網(wǎng)絡(luò)（二端網(wǎng)絡(luò)）的開路電壓，這個(gè)串聯(lián)電阻就是從此單口網(wǎng)絡(luò)（二端網(wǎng)絡(luò)）兩端看進(jìn)去，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部所有獨(dú)立源均置零以后的等效電阻。

uoc 稱為開路電壓。Ro稱為戴維南等效電阻。在電子電路中，當(dāng)單口網(wǎng)絡(luò)視為電源時(shí)，常稱此電阻為輸出電阻，常用Ro表示；當(dāng)單口網(wǎng)絡(luò)視為負(fù)載時(shí)，則稱之為輸入電阻，并常用Ri表示。電壓源uoc和電阻Ro的串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，常稱為戴維南等效電路。

當(dāng)單口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓和電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，其端口電壓電流關(guān)系方程可表為：u=R0i+uoc2

戴維南定理和諾頓定理是最常用的電路簡(jiǎn)化方法。由于戴維南定理和諾頓定理都是將有源二端網(wǎng)絡(luò)等效為電源支路，所以統(tǒng)稱為等效電源定理或等效發(fā)電機(jī)定理。

當(dāng)研究復(fù)雜電路中的某一條支路時(shí)，利用電工學(xué)中的支路電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法等方法很不方便，此時(shí)用戴維

南定理來求解某一支路中的電流和電壓是很適合的。

證明

戴維南定理可以在單口外加電流源i，用疊加定理計(jì)算端口電壓表達(dá)式的方法證明如下。

在單口網(wǎng)絡(luò)端口上外加電流源i，根據(jù)疊加定理，端口電壓可以分為兩部分組成。一部分由電流源單獨(dú)作用（單口內(nèi)全部獨(dú)立電源置零）產(chǎn)生的電壓u’=Roi，另一部分是外加電流源置零（i=0），即單口網(wǎng)絡(luò)開路時(shí)，由單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部全部獨(dú)立電源共同作用產(chǎn)生的電壓u”=uoc。由此得到：

U=u’+u”=Roi + uoc

詳解

戴維南定理指出，等效二端網(wǎng)絡(luò)的電動(dòng)勢(shì)E等于二端網(wǎng)絡(luò)開路時(shí)的電壓，它的串聯(lián)內(nèi)阻抗等于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部各獨(dú)立源和電容電壓、電感電流都為零時(shí)，從這二端看向網(wǎng)絡(luò)的阻抗Zi。設(shè)二端網(wǎng)絡(luò)N中含有獨(dú)立電源和線性時(shí)不變二端元件（電阻器、電感器、電容器），這些元件之間可以有耦合，即可以有受控源及互感耦合；網(wǎng)絡(luò)N的兩端ɑ、b接有負(fù)載阻抗Z（s），但負(fù)載與網(wǎng)絡(luò)N內(nèi)部諸元件之間沒有耦合，U（s）=I（s）/Z（s）（圖1）。當(dāng)網(wǎng)絡(luò) N中所有獨(dú)立電源都不工作（例如將獨(dú)立電壓源用短路代替，獨(dú)立電流源用開路代替），所有電容電壓和電感電流的初始值都為零的時(shí)候，可把這二端網(wǎng)絡(luò)記作N0。這樣，負(fù)載阻抗Z（s）中的電流I（s）一般就可以按下式1計(jì)算（圖2）式中E（s）是圖1二端網(wǎng)絡(luò)N的開路電壓，亦即Z（s）是無窮大時(shí)的電壓U（s）；Zi（s）是二端網(wǎng)絡(luò)N0呈現(xiàn)的阻抗；s是由單邊拉普拉斯變換引進(jìn)的復(fù)變量。

和戴維南定理類似，有諾頓定理或亥姆霍茲－諾頓定理。按照這一定理，任何含源線性時(shí)不變二端網(wǎng)絡(luò)均可等效為二端電流源，它的電流J等于在網(wǎng)絡(luò)二端短路線中流過的電流，并聯(lián)內(nèi)阻抗同樣等于看向網(wǎng)絡(luò)的阻抗。這樣，圖1中的電流I（s）一般可按下式2計(jì)算（圖3）

式中J（s）是圖1二端網(wǎng)絡(luò)N的短路電流，亦即Z（s）等于零時(shí)的電流I（s）；Zi（s）及s的意義同前。

圖2、圖3虛線方框中的二端網(wǎng)絡(luò)，常分別稱作二端網(wǎng)絡(luò)N的戴維南等效電路和諾頓等效電路。

在正弦交流穩(wěn)態(tài)條件下，戴維南定理和諾頓定理可表述為：當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)N接復(fù)阻抗Z時(shí)，Z中的電流相量I一般可按以下式3計(jì)算式中E、J分別是N的開路電壓相量和短路電流相量；Zi是No呈現(xiàn)的復(fù)阻抗；No是獨(dú)立電源不工作時(shí)的二端網(wǎng)絡(luò)N。

這個(gè)定理可推廣到含有線性時(shí)變?cè)亩司W(wǎng)絡(luò)。

注意事項(xiàng)

（1）戴維南定理只對(duì)外電路等效，對(duì)內(nèi)電路不等效。也就是說，不可應(yīng)用該定理求出等效電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻之后，又返回來求原電路（即有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部電路）的電流和功率。

（2）應(yīng)用戴維南定理進(jìn)行分析和計(jì)算時(shí)，如果待求支路后的有源二端網(wǎng)絡(luò)仍為復(fù)雜電路，可再次運(yùn)用戴維南定理，直至成為簡(jiǎn)單電路。

（3）戴維南定理只適用于線性的有源二端網(wǎng)絡(luò)。如果有源二端網(wǎng)絡(luò)中含有非線性元件時(shí)，則不能應(yīng)用戴維南定理求解。

（4）戴維南定理和諾頓定理的適當(dāng)選取將會(huì)大大化簡(jiǎn)電路。