t分布

歷史

在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，學(xué)生t**-分布**（Student's t-distribution）經(jīng)常應(yīng)用在對(duì)呈正態(tài)分布的總體的均值進(jìn)行估計(jì)。它是對(duì)兩個(gè)樣本均值差異進(jìn)行顯著性測試的學(xué)生t測定的基礎(chǔ)。t檢定改進(jìn)了Z檢定（en:Z-test），不論樣本數(shù)量大或小皆可應(yīng)用。在樣本數(shù)量大（超過30）時(shí)，可以應(yīng)用Z檢定，但Z檢定用在小的樣本會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，因此樣本很小的情況下得改用學(xué)生t檢定。在數(shù)據(jù)有三組以上時(shí)，因?yàn)檎`差無法壓低，此時(shí)可以用變異數(shù)分析代替學(xué)生t檢定。

當(dāng)母群體的標(biāo)準(zhǔn)差是未知的但卻又需要估計(jì)時(shí)，可以使用學(xué)生t-分布。

學(xué)生t-分布可簡稱為t分布。其推導(dǎo)由威廉·戈塞于1908年首先發(fā)表，當(dāng)時(shí)他還在都柏林的健力士釀酒廠工作。因?yàn)椴荒芤运救说拿x發(fā)表，所以論文使用了學(xué)生（Student）這一筆名。之后t檢驗(yàn)以及相關(guān)理論經(jīng)由羅納德·費(fèi)雪的工作發(fā)揚(yáng)光大，而正是他將此分布稱為學(xué)生分布。

定義

由于在實(shí)際工作中，往往σ是未知的，常用s作為σ的估計(jì)值，為了與u變換區(qū)別，稱為t變換，統(tǒng)計(jì)量t 值的分布稱為t分布。1

假設(shè)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0,1），Y服從分布，那么的分布稱為自由度為n的t分布,記為。

分布密度函數(shù) ，

其中，Gam(x)為伽馬函數(shù)。

擴(kuò)展

正態(tài)分布（normal distribution）是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一種重要的理論分布，是許多統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)。正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，μ和σ，決定了正態(tài)分布的位置和形態(tài)。為了應(yīng)用方便，常將一般的正態(tài)變量X通過u變換[(X-μ)/σ]轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量u，以使原來各種形態(tài)的正態(tài)分布都轉(zhuǎn)換為μ=0，σ=1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（standard normal distribution）,亦稱u分布。3

根據(jù)中心極限定理，通過上述的抽樣模擬試驗(yàn)表明，在正態(tài)分布總體中以固定n，抽取若干個(gè)樣本時(shí)，樣本均數(shù)的分布仍服從正態(tài)分布，即N(μ, )。所以，對(duì)樣本均數(shù)的分布進(jìn)行u變換，也可變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1)。

特征

1．以0為中心，左右對(duì)稱的單峰分布；

2．t分布是一簇曲線，其形態(tài)變化與n（確切地說與自由度df）大小有關(guān)。自由度df越小，t分布曲線越低平；自由度df越大，t分布曲線越接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（u分布）曲線，如圖：

t(n)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N(0,1)的密度函數(shù)。

3.隨著自由度逐漸增大，t分布逐漸接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

對(duì)應(yīng)于每一個(gè)自由度df，就有一條t分布曲線，每條曲線都有其曲線下統(tǒng)計(jì)量t的分布規(guī)律，計(jì)算較復(fù)雜。

學(xué)生的t分布（或也t分布） ，在概率統(tǒng)計(jì)中，在置信區(qū)間估計(jì)、顯著性檢驗(yàn)等問題的計(jì)算中發(fā)揮重要作用。

t分布情況出現(xiàn)時(shí)（如在幾乎所有實(shí)際的統(tǒng)計(jì)工作）的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差是未知的，并要從數(shù)據(jù)估算。教科書問題的處理標(biāo)準(zhǔn)偏差，因?yàn)槿绻环Q為是兩類：

（ 1 ）那些在該樣本規(guī)模是如此之大的一個(gè)可處理的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)估計(jì)的差異，就好像它是一定的；

（ 2 ）這些說明數(shù)學(xué)推理，在其中的問題，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差是暫時(shí)忽略的，因?yàn)檫@不是一點(diǎn)，這是作者或?qū)煯?dāng)時(shí)的解釋。

置信區(qū)間

假設(shè)數(shù)量A在當(dāng)T呈t-分布（T的自由度為n?1）滿足這與是相同的。A是這個(gè)概率分布的第95個(gè)百分點(diǎn)。3

那么

等價(jià)于

因此μ的90%置信區(qū)間為：。

計(jì)算

下表列出了自由度為1-30以及80、100、120等t-分布的單側(cè)和雙側(cè)區(qū)間值。例如，當(dāng)樣本數(shù)量n=5時(shí)，則自由度df=4，可以查找表中以4開頭的行。該行第5列值為2.132，對(duì)應(yīng)的單側(cè)值為95%（雙側(cè)值為90%）。這也就是說，T小于2.132的概率為95%（即單側(cè)），記為Pr(?∞ < T < 2.132) = 0.95；同時(shí)，T值介于-2.132和2.132之間的概率為90%（即雙側(cè)），記為Pr(?2.132 < T < 2.132) = 0.9。

這是根據(jù)分布的對(duì)稱性計(jì)算得到的。1

• Pr(T < ?2.132) = 1 ? Pr(T > ?2.132) = 1 ? 0.95 = 0.05

因此，

• Pr(?2.132 < T < 2.132) = 1 ? 2(0.05) = 0.9

注意 關(guān)于表格的最后一行的值：***自由度為無限大（n=120）的t-***分布和正態(tài)分布等價(jià)。

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