排列數(shù)公式

排列數(shù)

從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的排列數(shù)。記作符號(hào) 。A是英文arrangement（排列）的第一個(gè)大寫(xiě)字母。

例如，從7個(gè)不同的元素中任取5個(gè)元素的排列數(shù)為 ，從10個(gè)不同的元素中任取7個(gè)元素的排列數(shù)為 。1

排列數(shù)公式

公式

公式A是排列公式，從N個(gè)元素取M個(gè)進(jìn)行排列（即排序）。

符號(hào)

C：組合數(shù)

A：排列數(shù)（在舊教材為P）

N：元素的總個(gè)數(shù)

M：參與選擇的元素個(gè)數(shù)

!：階乘，如5！=5×4×3×2×1=120

C：Combination 組合

P：Permutation排列 (現(xiàn)在教材為A-Arrangement)

推導(dǎo)過(guò)程

求排列數(shù) 可以按依次填m個(gè)空位來(lái)考慮：假定有排好順序的m個(gè)空位,從n個(gè)不同元素a1,a2,a3,…,an中任意取m個(gè)去填空,一個(gè)空位填1個(gè)元素，每一種填法就對(duì)應(yīng)1個(gè)排列，因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)。

填空可分為m個(gè)步驟：

第1步，第1位可以從n個(gè)元素中任選一個(gè)填上，共有n種填法；

第2步，第2位只能從余下的n-1個(gè)元素中任選一個(gè)填上，共有n-1種填法；

第3步，第3位只能從余下的n-2個(gè)元素中任選一個(gè)填上，共有n-2種填法；

……

第m步，當(dāng)前面的m-1個(gè)空位都填上后，第m位只能從余下的n-(m-1)個(gè)元素中任選一個(gè)填上，共有n-m+1種填法。

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，全部填滿m個(gè)空位共有n(n-1)(n-2)…(n-m+1)種填法。所以得到公式：

這里n，m∈N*，并且m≤n這個(gè)公式叫做排列數(shù)公式其中，公式右邊第一個(gè)因數(shù)是n，后面的每個(gè)因數(shù)都比它前面一個(gè)因數(shù)少1，最后個(gè)因數(shù)為n-m+1，共有m個(gè)因數(shù)相乘。2

在14世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家本·熱爾松在其代表作《數(shù)之書(shū)》中證明了ｎ個(gè)元素的全排列數(shù)ｎ!；1881年，美國(guó)數(shù)學(xué)家溫特沃斯在其所著的《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中對(duì)排列數(shù)公式作了證明，所用方法與現(xiàn)行教科書(shū)的方法一致，即通過(guò)分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行證明。1897年，英國(guó)數(shù)學(xué)家鮑爾在其著作《初等代數(shù)》中則采用了本·熱爾松的證明方法。4

基本理論

排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無(wú)關(guān)。如231與213是兩個(gè)排列，2+3+1的和與2+1+3的和是一個(gè)組合

兩個(gè)基本原理是排列和組合的基礎(chǔ)

(1)加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。

這里要注意區(qū)分兩個(gè)原理，要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問(wèn)題，第一類中的方法都是獨(dú)立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n個(gè)步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個(gè)互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理。

這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個(gè)原理區(qū)分開(kāi)來(lái)。

特點(diǎn)

排列數(shù)公式 有以下一些特點(diǎn)：3

1．該公式共有m項(xiàng)乘積。

2．在這m項(xiàng)乘積中第一個(gè)因數(shù)是n，以后各項(xiàng)均比前一項(xiàng)少1，最后一項(xiàng)是n-m+1。

引入階乘n!以后，排列數(shù)公式變形如下：

因此排列數(shù)公式還可以寫(xiě)成：

注意：為了保證公式在n=m時(shí)成立，特規(guī)定0! =1。