向量積

基本概念

表示方法

兩個(gè)向量a和b的叉積寫作a×b（有時(shí)也被寫成a∧b，避免和字母x混淆）。1

定義

向量積可以被定義為：

模長(zhǎng)：（在這里θ表示兩向量之間的夾角（共起點(diǎn)的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于這兩個(gè)矢量所定義的平面上。）

方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個(gè)向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個(gè)簡(jiǎn)單的確定滿足“右手定則”的結(jié)果向量的方向的方法是這樣的：若坐標(biāo)系是滿足右手定則的，當(dāng)右手的四指從a以不超過180度的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向b時(shí)，豎起的大拇指指向是c的方向。）

也可以這樣定義（等效）：

向量積|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>

即c的長(zhǎng)度在數(shù)值上等于以a，**b，**夾角為θ組成的平行四邊形的面積。

而c的方向垂直于a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定。

*運(yùn)算結(jié)果c是一個(gè)偽向量。這是因?yàn)樵诓煌淖鴺?biāo)系中c可能不同。1

坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)。i，j，k分別是X，Y，Z軸方向的單位向量，則1：

a×b=（）i+（）j+（）k，為了幫助記憶，利用三階行列式，

寫成det

利用三階行列式，寫成det

證明

為了更好地推導(dǎo)，需要加入三個(gè)軸對(duì)齊的單位向量i，j，k。

i，j，k滿足以下特點(diǎn)：

i=jxk；j=kxi；k=ixj；

kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；

ixi=jxj=kxk=0；（0是指0向量）

由此可知，i，j，k是三個(gè)相互垂直的向量。它們剛好可以構(gòu)成一個(gè)坐標(biāo)系。

這三個(gè)向量的特例就是i=（1，0，0）j=（0，1，0）k=（0，0，1）。

對(duì)于處于i，j，k構(gòu)成的坐標(biāo)系中的向量u，v可以如下表示：

u=Xu*i+Yu*j+Zu*k；

v=Xv*i+Yv*j+Zv*k；

那么uxv=（Xu*i+Yu*j+Zu*k）x（Xv*i+Yv*j+Zv*k）

=Xu*Xv*（ixi）+Xu*Yv*（ixj）+Xu*Zv*（ixk）+Yu*Xv*（jxi）+Yu*Yv*（jxj）+Yu*Zv*（jxk）+Zu*Xv*（kxi）+Zu*Yv*（kxj）+Zu*Zv*（kxk）

由于上面的i，j，k三個(gè)向量的特點(diǎn)，所以，最后的結(jié)果可以簡(jiǎn)化為

uxv=（Yu*Zv–Zu*Yv）*i+（Zu*Xv–Xu*Zv）*j+（Xu*Yv–Yu*Xv）*k。1

與數(shù)量積的區(qū)別

注：向量積≠向量的積（向量的積一般指點(diǎn)乘）

一定要清晰地區(qū)分開向量積（矢積）與數(shù)量積（標(biāo)積）。見下表。1

|| || 向量積（矢積）與數(shù)量積（標(biāo)積）的區(qū)別

性質(zhì)

1. 若兩向量a與b不共線，則|a×b|等于以a和b為 鄰邊的平行四邊形的面積。3

2. 兩向量a與b共線<=>a×b=0。3

幾何意義及其運(yùn)用

叉積的長(zhǎng)度|a×b|可以解釋成這兩個(gè)叉乘向量a，b共起點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成平行四邊形的面積。據(jù)此有：混合積[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c為棱的平行六面體的體積。1

代數(shù)規(guī)則

1、反交換律：a×b=-b×a

2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。

3、與標(biāo)量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。

4、不滿足結(jié)合律，但滿足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。

5、分配律，線性性和雅可比恒等式別表明：具有向量加法和叉積的R3構(gòu)成了一個(gè)李代數(shù)。

6、兩個(gè)非零向量a和b平行，當(dāng)且僅當(dāng)a×b=0。1

拉格朗日公式

這是一個(gè)著名的公式，而且非常有用：

（a×b）×c=b（a·c）-a（b·c）

a×（b×c）=b（a·c）-c（a·b）

證明過程如下：

二重向量叉乘化簡(jiǎn)公式及證明

可以簡(jiǎn)單地記成“BAC-CAB”。這個(gè)公式在物理上簡(jiǎn)化向量運(yùn)算非常有效。需要注意的是，這個(gè)公式對(duì)微分算子不成立。

這里給出一個(gè)和梯度相關(guān)的一個(gè)情形：

這是一個(gè)霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

另一個(gè)有用的拉格朗日恒等式是：

這是一個(gè)在四元數(shù)代數(shù)中范數(shù)乘法|vw|=|v||w|的特殊情形。2

矩陣形式

給定直角坐標(biāo)系的單位向量i，j，k滿足下列等式：

i×j*=*k；

j×k=i；

k×i=j；

通過這些規(guī)則，兩個(gè)向量的叉積的坐標(biāo)可以方便地計(jì)算出來(lái)，不需要考慮任何角度：設(shè)

a=[a1，a2，a3]=a1i+a2j+a3k；

b=[b1，b2，b3]=b1i+b2j+b3k；

則a×b=[a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1]。

叉積也可以用四元數(shù)來(lái)表示。注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數(shù)的乘法。一般而言，若將向量[a1，a2，a3]表示成四元數(shù)a1i+a2j+a3k，兩個(gè)向量的叉積可以這樣計(jì)算：計(jì)算兩個(gè)四元數(shù)的乘積得到一個(gè)四元數(shù)，并將這個(gè)四元數(shù)的實(shí)部去掉，即為結(jié)果。更多關(guān)于四元數(shù)乘法，向量運(yùn)算及其幾何意義請(qǐng)參看四元數(shù)（空間旋轉(zhuǎn)）。2

高維情形

七維向量的叉積可以通過八元數(shù)得到，與上述的四元數(shù)方法相同。

七維叉積具有與三維叉積相似的性質(zhì)：

雙線性性：x×（ay+bz）=ax×y+bx×z；（ay+bz）×x=ay×x+bz×x；

反交換律：x×y+y×x=0；

同時(shí)與x和y垂直：x·（x×y）=y·（x×y）=0；

拉格朗日恒等式：|x×y|2=|x|2|y|2-（x·y）2；

不同于三維情形，它并不滿足雅可比恒等式：x×（y×z）+y×（z×x）+z×（x×y）≠0。2

應(yīng)用

在物理學(xué)光學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，叉積被用于求物體光照相關(guān)問題。

求解光照的核心在于求出物體表面法線，而叉積運(yùn)算保證了只要已知物體表面的兩個(gè)非平行矢量（或者不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)），就可依靠叉積求得法線。2