增根

來(lái)源

對(duì)于分母的值為零時(shí)，這個(gè)分?jǐn)?shù)無(wú)意義，所以不允許分母為0，即本身就隱含著分母不為零的條件。當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根。

舉例

分式方程有增根，指的是解分式方程時(shí)，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過(guò)程中，方程的兩邊同乘了一個(gè)可能使分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值。2

解：去分母，x-2=0，

∴x=2。

又因?yàn)閤-2=0，

∴方程無(wú)解

∴方程無(wú)意義，X=2是增根。

設(shè)方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 變形得來(lái)的，如果這兩個(gè)方程的根完全相同（包括重?cái)?shù)），那么稱這兩個(gè)方程等價(jià)。如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根，稱 x=a 是方程的增根；如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根，稱x=b 是方程B(x)=0 的失根。

非函數(shù)方程的增根

在兩非函數(shù)方程（如圓錐曲線）聯(lián)立求解的過(guò)程中，增根的出現(xiàn)主要表現(xiàn)在定義域的變化上。

例如：若已知橢圓 ，O為原點(diǎn)坐標(biāo)，A為橢圓右頂點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使OP⊥PA，求橢圓的圓心率的范圍。

解：橢圓上存在一點(diǎn)P，使OP⊥PA，即是以O(shè)A為直徑畫(huà)圓，要求與橢圓有除了A(a,0)以外的另外一個(gè)解。所以聯(lián)立橢圓和圓的方程：

因?yàn)橛袃蓚€(gè)根，所以

而正解卻是

由（*）得

∴

∴

然而問(wèn)題出在，無(wú)論怎么取，只要 ，好像△永遠(yuǎn)都大于0。

于是我們?nèi)=1/2

假設(shè)

即可得橢圓 ···①

與圓 ···②

聯(lián)立即可得 ···(*)

有十字相乘

顯然 此時(shí) 是增根

將 帶入①式

將 帶入②式

將 帶入(*)式

可知這里的確是產(chǎn)生了一個(gè)增根，而且在解題過(guò)程中不能通過(guò)任何方式排除，這說(shuō)明多個(gè)非函數(shù)方程聯(lián)立求解時(shí)，方程本身無(wú)法限制x的取值。一般來(lái)說(shuō)，直線與圓錐曲線的聯(lián)立并沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)算出兩個(gè)解，還需要帶回去驗(yàn)根的情況，大概是因?yàn)閳A錐曲線不是函數(shù)，而直線是函數(shù)的原因。

注意：

1.不是任何的兩個(gè)非函數(shù)方程聯(lián)立都會(huì)產(chǎn)生增根。例如圓不是函數(shù)，但求兩個(gè)圓的交點(diǎn)，不會(huì)產(chǎn)生增根。

2.增根的產(chǎn)生和定義域有關(guān)系，但沒(méi)有絕對(duì)的關(guān)系。不能說(shuō)聯(lián)立方程時(shí)，將x定義域擴(kuò)大或縮小就必然會(huì)引起增根。如上述例題中，①式定義域(-2,2) ②式定義域(0,2)大多數(shù)人是在②式中，用x表示y，寫(xiě)成 ，再帶入①式，產(chǎn)生了增根。但是如果我們?cè)冖偈街杏脁表示y，寫(xiě)成 ，再帶入②式，我們依然會(huì)得到增根。

下面列出兩種必然會(huì)出現(xiàn)增根的一般式：

橢圓與拋物線增根

橢圓(和拋物線聯(lián)立方程式得：

由韋達(dá)定理得 且

可知，若，則，出現(xiàn)原因是忽略了中的隱含定義域x>0。聯(lián)立方程式求解誤認(rèn)為x∈R（另外我們還知道）。

雙曲線與拋物線增根

雙曲線和拋物線聯(lián)立方程式得

由韋達(dá)定理得且

可知，若，則，出現(xiàn)原因是忽略了中的隱含定義域x>0。聯(lián)立方程式求解誤認(rèn)為x∈R（另外我們還知道）。

無(wú)理數(shù)方程的增根

解：兩邊平方得

得

得x=5或x=-6（增根）

出現(xiàn)增根的原因是由于兩邊平方忽略了上式的X>0且根號(hào)內(nèi)的值大于等于0。

由于同樣的粗心大意，錯(cuò)誤還會(huì)在無(wú)理不等式中體現(xiàn)。

解法

解分式方程時(shí)出現(xiàn)增根或失根，往往是由于違反了方程的同解原理或?qū)Ψ匠套冃螘r(shí)粗心大意造成的。

如果不遵從同解原理，即使解整式方程也可能出現(xiàn)增根．例如將方程x-2=0的兩邊都乘x，變形成x(x－2)=0，方程兩邊所乘的最簡(jiǎn)公分母，看其是否為0，是0即為增根。

還可以把x代入最簡(jiǎn)公分母也可。

增根的產(chǎn)生，歸根結(jié)底都是因?yàn)樗季S的不全面產(chǎn)生的。解題時(shí)要保證步步變形的等價(jià)性，這種等價(jià)性要通過(guò)等式和不等式去約束出來(lái)，特別是不等式，容易被忽略。如果不得已必須用不等價(jià)變形來(lái)解題，那么最后千萬(wàn)別忘記通過(guò)檢驗(yàn)來(lái)去掉增根，這種檢驗(yàn)也要注意全面性。