控制理論，一段故事（四）

小張?jiān)谇皟善脑O(shè)計(jì)中獲得了好處，自然不會(huì)停止腳步，于是他和小王偶爾也討論目前的系統(tǒng)有沒(méi)有什么可以進(jìn)一步解決的問(wèn)題，沒(méi)成想，不久就遇到了。

在分析內(nèi)部機(jī)理時(shí)，小張發(fā)現(xiàn)了之前方法存在的一個(gè)重大問(wèn)題，無(wú)論是經(jīng)典控制理論，還是前面提出的線性系統(tǒng)理論，針對(duì)的都是線性系統(tǒng)，而對(duì)于燒水的鍋爐中一些環(huán)節(jié)來(lái)說(shuō)，大差不差用用還好，真要在這上面改進(jìn)，一個(gè)問(wèn)題就產(chǎn)生了：它的特性是非線性的，因此前面理論除了PID外，基本不再適用，而對(duì)于一些強(qiáng)的非線性環(huán)節(jié)來(lái)說(shuō)，PID有時(shí)也達(dá)不到很好的效果。小張突然發(fā)現(xiàn)，面對(duì)這個(gè)神秘的現(xiàn)象，像是一匹黑馬突現(xiàn)，將之前的“萬(wàn)能工具”全部推到，又一次束手無(wú)策了。當(dāng)然也并非這么極端，利用泰勒展開(kāi)式把非線性在某一點(diǎn)附近看作近似的線性系統(tǒng)，然后再回到線性系統(tǒng)。但這里有人就會(huì)問(wèn)，這個(gè)方法聽(tīng)上去行啊，但為啥還要繼續(xù)研究呢？除了前面說(shuō)的非線性特性影響和精度要求、還有一些注意點(diǎn)，比如在設(shè)計(jì)線性控制器時(shí)，通常有必要假定系統(tǒng)模型的參數(shù)是合理已知的。然而，許多控制問(wèn)題涉及模型參數(shù)的不確定性?；诓痪_或過(guò)時(shí)值的參數(shù)的線性控制器可能會(huì)表現(xiàn)出顯著的性能退化甚至不穩(wěn)定。非線性可以有意地引入到控制系統(tǒng)的控制器部分，從而可以接納模型的不確定性。比如兩類非線性控制器：魯棒控制器和自適應(yīng)控制器。我們后續(xù)會(huì)進(jìn)一步介紹。

對(duì)于非線性，小王也很少研究，但他想到了同事小宋，他好像在這方面有了一些深入的見(jiàn)解，因此他就拉著小宋來(lái)到了現(xiàn)場(chǎng)。小張一看來(lái)了專家，自然積極，先是介紹了自己在梳理整個(gè)系統(tǒng)時(shí)遇到的一些非線性環(huán)節(jié)，比如摩擦、飽和、死區(qū)（有輸入信號(hào)，但對(duì)應(yīng)輸出信號(hào)為零的一種非線性系統(tǒng)典型特性）、間隙和遲滯，以及他通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的一些非線性特性，比如多平衡點(diǎn)，極限環(huán)，混沌等。

多平衡點(diǎn)，顧名思義，就是系統(tǒng)存在多個(gè)平衡點(diǎn)，混沌這個(gè)概念或多或少也都聽(tīng)說(shuō)過(guò)，對(duì)于初始條件的微小差異，非線性系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出一種稱為混沌的現(xiàn)象，這意味著系統(tǒng)輸出對(duì)初始條件極其敏感?；煦绲谋举|(zhì)特征是系統(tǒng)輸出的不可預(yù)測(cè)性。即使我們有一個(gè)精確的非線性系統(tǒng)模型和一臺(tái)極其精確的計(jì)算機(jī)，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，系統(tǒng)的響應(yīng)仍然無(wú)法很好地預(yù)測(cè)?；煦珥毰c隨機(jī)運(yùn)動(dòng)區(qū)分開(kāi)來(lái)。在隨機(jī)運(yùn)動(dòng)中，系統(tǒng)模型或輸入含有不確定性，因此無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)輸出的時(shí)間變化（只有統(tǒng)計(jì)方法可用）。另一方面，在混沌運(yùn)動(dòng)中，所涉及的問(wèn)題是確定性的，在系統(tǒng)模型、輸入或初始條件中幾乎沒(méi)有不確定性。而很少聽(tīng)說(shuō)過(guò)的，就是小張?zhí)岬降臉O限環(huán)問(wèn)題，非線性系統(tǒng)在沒(méi)有外界激勵(lì)的情況下可以顯示固定振幅和固定周期的振動(dòng)。這些振蕩被稱為極限環(huán)或自激振蕩。

聽(tīng)完小張介紹，小宋心里大體也有了數(shù)，他也介紹了自己的一些研究工作，首先對(duì)于一種特殊的非線性系統(tǒng)，二階系統(tǒng)，有一種稱作相平面法的圖形化方法，用圖形來(lái)解二階常微分方程，這種方法的核心就在于在二維平面上畫出不同初始值的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌線，從而分析系統(tǒng)。

其次，對(duì)于如何尋找極限環(huán)，判斷極限環(huán)到底存不存在，也有一種比較經(jīng)典的方法，我們介紹過(guò)頻率響應(yīng)方法，但是這種方法不能直接用于非線性系統(tǒng)，因?yàn)閷?duì)于非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)不能定義頻率響應(yīng)函數(shù)，然而對(duì)于某些非線性系統(tǒng)，可以對(duì)頻域方法進(jìn)行擴(kuò)展，即后面所說(shuō)的描述函數(shù)方法，它可以用來(lái)近似的分析和預(yù)測(cè)非線性特性，由于缺乏系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)分析工具，使得它在實(shí)際工作當(dāng)中不可缺少，在工程應(yīng)用中描述函數(shù)方法，主要用來(lái)預(yù)測(cè)非線性系統(tǒng)的極限環(huán)。

描述函數(shù)法的基本思想就是假設(shè)極限環(huán)存在，把系統(tǒng)分為線性部分和非線性部分，同時(shí)對(duì)于非線性部分進(jìn)行線性化，得出它的頻率表達(dá)式即描述函數(shù)，而判斷極限環(huán)是否存在利用了推廣后的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。

接下來(lái)就是核心問(wèn)題，也就是對(duì)于非線性系統(tǒng)進(jìn)行控制，小宋和同事們也是主要研究這一塊，提出了很多控制策略，比如將開(kāi)關(guān)控制和最優(yōu)控制結(jié)合起來(lái)的bang-bang控制、增益調(diào)度，反饋線性化法等。

增益調(diào)度思想是選擇分布在系統(tǒng)工作范圍內(nèi)的一組工作點(diǎn)，然后對(duì)任意一個(gè)工作點(diǎn)，求出其時(shí)不變線性近似系統(tǒng)，對(duì)每個(gè)線性近似系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)線性控制器。在工作點(diǎn)之間，補(bǔ)償器的參數(shù)用差值法（或稱為調(diào)度法）確定，這樣就得到了一個(gè)全局的補(bǔ)償器。

而反饋線性化的基本思想是利用反饋消掉系統(tǒng)中的非線性環(huán)節(jié)，人們之前處理非線性問(wèn)題，一個(gè)基本思路是利用泰勒展開(kāi)式把非線性在某一點(diǎn)附近看作近似的線性，但這種思路處理不了大范圍的問(wèn)題，反饋線性化方法也是針對(duì)這種缺點(diǎn)提出。

得到了控制方案后，關(guān)鍵問(wèn)題就變成了穩(wěn)定性判斷，由于方程復(fù)雜，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性成為一個(gè)難題。小宋在這個(gè)問(wèn)題上也花費(fèi)了不少時(shí)間，直到有一天他發(fā)現(xiàn)了物理系很久之前畢業(yè)的學(xué)生小李的畢業(yè)論文，小李也在畢業(yè)論文中提出了一種基于物理啟發(fā)的穩(wěn)定性理論，也就是一個(gè)很簡(jiǎn)單的思想，如果一個(gè)系統(tǒng)的能量必然耗盡，那么這個(gè)系統(tǒng)必然趨于穩(wěn)定。這種思想轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，就是能量函數(shù)正定其導(dǎo)數(shù)負(fù)定。（李雅普諾夫穩(wěn)定性理論）

相應(yīng)的，對(duì)于之前提出的外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性，也有小李意義下的穩(wěn)定性和漸進(jìn)穩(wěn)定性，這種思想引入控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析之后，線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題得到了一個(gè)很大的改革，這里提一句，還記得前面提到過(guò)的線性二次型控制器嗎？那里僅僅保證了最優(yōu)性，卻沒(méi)有涉及到穩(wěn)定性，在后來(lái)用小李的理論推導(dǎo)下，導(dǎo)出了和線性二次型最優(yōu)控制推導(dǎo)過(guò)程中同樣出現(xiàn)的一個(gè)黎卡提方程，換句話說(shuō)，線性二次型控制總是穩(wěn)定的。這是線性二次型控制的一個(gè)重要貢獻(xiàn)：把最優(yōu)性和穩(wěn)定性連到一起。

特別的，對(duì)于非線性系統(tǒng)，針對(duì)實(shí)際工程當(dāng)中遇到的困難，即選取的能量函數(shù)常常不滿足條件，利用不變集理論進(jìn)行了擴(kuò)展，也就是所謂的高級(jí)穩(wěn)定性理論。涉及到概念有絕對(duì)穩(wěn)定性，超穩(wěn)定性，也是非線性控制里面較為經(jīng)典的結(jié)果。

穩(wěn)定性理論雖然是一種驗(yàn)證工具，但我們反過(guò)來(lái)想一想，如果我們?cè)O(shè)計(jì)的控制器直接從保持它的穩(wěn)定性出發(fā)，是不是設(shè)計(jì)起來(lái)就比較簡(jiǎn)單？因此也產(chǎn)生了很多種基于穩(wěn)定理論的控制器設(shè)計(jì)的方法。

到這里，我們簡(jiǎn)單講完了這段故事。而在書(shū)寫這行文字的時(shí)候，新的故事正在不斷發(fā)生。