控制理論，一段故事（三）

我們回到小張的家園，此時有了新的需求，我們在接涼水的時候有一個功能，自動監(jiān)測水位，接的時候把杯子放上去就可以。但上面處理溫水問題時，只關(guān)注溫度了，水位問題倒沒關(guān)注，既要保持水的溫度，同時也要保持水位。它的輸出涉及到了多個變量，勢必要列出許多個微分方程。這種情況下用之前提到的處理的傳遞函數(shù)思想去處理有些困難。

小張列出來了這些方程，看著方程組正發(fā)愁時，小王又一次登門拜訪，主要是來這里看看自己理論的具體效果，看著小張正在對著方程組發(fā)愁，上前問明白了原因，不就是解方程嘛，一個微分方程，用傳遞函數(shù)思想可以處理，微分方程組嘛，既然一時半會靠不上去就直接解！小王想起來解方程時經(jīng)常涉及的矩陣和線性變換，頓時來了靈感，于是找了幾張紙開始了推導。

在等待小王推導過程時，我們反過來再看一下傳遞函數(shù)，輸出比輸入，大家想到了什么，我們把信號擬人化的話，就像觀察到一個人進入了一個黑暗房間，然后出來時發(fā)生了一些變化，比如身高、體重、外貌等方面發(fā)生了變化。比如出來后身高都高了10%，那么我們在不走進房間看的情況下，是不是可以門口立個牌子說明一下功能，至于怎么實現(xiàn)的，不用關(guān)心。用時髦的話，這叫做黑箱。同樣的，在上篇中，人們一直把控制系統(tǒng)看做黑箱，只關(guān)注進去什么出來什么，至于里面具體發(fā)生了什么，沒怎么關(guān)心，但是要想進一步研究，終歸脫離不了內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

說幾句話的工夫，小王完成了推導，其實也算不得新東西，微分方程組的求解理論。把方程組的系數(shù)列為矩陣，或者反過來說把矩陣看作實行一種變換，這樣就能夠了解到它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，也就得到了所謂的狀態(tài)空間方程。

在求解這個方程前，我們先看一下一個“小”問題，由于微分方程的系數(shù)、先后順序、形式等區(qū)別，狀態(tài)空間方程可能有多種形式，但我們知道，表面上不同的微分方程組，選取變量不同，很有可能表達的是同一件事物，也就是說需要提出一個規(guī)范形式問題，以避免出現(xiàn)重復工作。同時為了后面更好的處理，也有著相應的容易處理的形式，統(tǒng)一的稱為標準型問題。

狀態(tài)空間方程的解自然是人們所關(guān)心的問題，所謂狀態(tài)方程的解，就是看看這個方程描述的系統(tǒng)到底是如何變化，小王經(jīng)過推導得到了一些相關(guān)結(jié)論，比如系統(tǒng)解的基本表達式和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。而所謂狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是描述系統(tǒng)運動狀態(tài)的另一種方式，他把系統(tǒng)的運動看作是各種狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移。

接下來似乎就到了設(shè)計控制器了，但變量一多問題更多，比方說，之前單變量時，控制不了的情況很明顯能看出來，再換個控制量就是，所以大家也不怎么討論“如何判斷某個量能不能控制？”，但多個變量以來，啪，問題來了。有哪些輸出量可以被控制？小王將其稱為能控性，提出了一些判據(jù)，最常用的是秩判據(jù)。

除了能控性的問題，同時也引入了觀測的問題，所謂觀測是指通過輸出量去反過來構(gòu)造出來系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)。這個問題歷史也比較悠久，同樣，到了多變量也有類似的哪些量可以通過測量輸出而構(gòu)造出來，小王將其稱為能觀性。也提出了觀測器的說法，比較著名的是現(xiàn)實中稱為龍伯格觀測器的觀測器。龍伯格觀測器的主要思路是對系統(tǒng)進行仿真，同時利用反饋使得仿真接近于真實系統(tǒng)的狀態(tài)，從而得到一個準確的觀測量。

大家都知道，一個性質(zhì)指標提出來，自然就有比較，有的完全滿足，有的一點沒有，有的有一點但不多，我們這里也是如此，既然得到了能控性和能觀測性，那么有一個問題就擺在了小王的面前，如果一個系統(tǒng)是不完全能控不完全能觀測，能不能得到它某一部分是能控能觀的表達式，這就是所謂的結(jié)構(gòu)分解。

做完了這些工作，就到了核心問題，怎么控制，說起怎么控制，小張就比較擅長了，兩個字，反饋，當然由于涉及到狀態(tài)空間，所以說和之前的反饋有一些區(qū)別，也就是狀態(tài)反饋，由于系統(tǒng)的極點能夠影響系統(tǒng)的性能，那么就依據(jù)前面的基本思想，設(shè)計狀態(tài)反饋，配置極點。

得到了一種控制方案后，自然要判斷它的穩(wěn)定性。由于不是傳遞函數(shù)形式，之前的一些結(jié)論都不能使用了，因此穩(wěn)定性的判斷變得有些困難。

小王想起來之前討論過的傳遞函數(shù)的穩(wěn)定性，引入狀態(tài)空間描述后，有了描述系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的工具，因此也很自然的聯(lián)想到對于穩(wěn)定性來講有沒有相應的區(qū)別。既然傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方法的區(qū)別在于一個描述外部，一個描述結(jié)構(gòu)，相應的，穩(wěn)定性也可以分為外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定僅僅是規(guī)定了輸出是有界的，而內(nèi)部穩(wěn)定才要求是漸進的，相應的內(nèi)部穩(wěn)定的條件更強。經(jīng)過仔細的推導，利用了狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，小王得到了關(guān)于外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的一些判據(jù)。

這樣一來，對于狀態(tài)空間方程的應用工具基本搞定，相應的也可以用來處理同時保持溫度和水位的問題，到此似乎萬事大吉，但小張算了算經(jīng)費，突然發(fā)現(xiàn)需求明顯不止這些，比如一個很顯然的問題，就是能量問題，燒水是需要能量的，換句話說是需要燃料的，燃料是需要花錢的，因此找到既能夠滿足需求，又能夠最少的消費的控制方案變得十分的重要，這在數(shù)學上是一個優(yōu)化問題。這在控制上被稱為最優(yōu)控制問題

談到優(yōu)化，那是小王的老本行，只要你給出目標函數(shù)，給出約束的條件，數(shù)學上有很多手法用來處理這些問題，從數(shù)學方面來講，最優(yōu)控制問題就是求解一類帶有約束條件的泛函極值問題，說泛函大家可能覺得困惑，那就更加直接的，求取一個函數(shù)，使得其作為變量的另外一個函數(shù)取極值，小王利用自己的數(shù)學基礎(chǔ)和對問題的仔細思考，提出了一種線性二次型最優(yōu)控制方法，它是以泛函為基礎(chǔ)的，這種方法可以通過求取黎卡提方程來解決。

到這里，以狀態(tài)空間方法和最優(yōu)控制為核心的新型方法，在處理一些復雜問題時，發(fā)揮了自己的潛力，因此在本科階段課程體系中也被稱為現(xiàn)代控制理論。

小張掌握了狀態(tài)空間理論后，尤其在經(jīng)過對比后，發(fā)現(xiàn)自己習慣用的經(jīng)典控制理論比較得心應手，因此，他就在琢磨一件事情，如何將經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論結(jié)合起來，還是對于自己需要的系統(tǒng)來說，它的輸入是水量和燃料，它的輸出是水位和溫度，用狀態(tài)空間方法時候需要同時考慮，結(jié)合傳遞函數(shù)輸入輸出的思想，小張突然有了一個新的想法，能不能分開的比，拿任意一個輸出比任意一個輸入，這樣下來就能得到四個方程，把這個方程按照狀態(tài)空間的方法寫在矩陣里，就得到了傳遞函數(shù)矩陣。

小張把他的思想告訴小王后，小王去找了一些研究方法，他發(fā)現(xiàn)雖然傳遞函數(shù)所代表的比值構(gòu)成的矩陣沒有深入研究過，但可以經(jīng)過一系列操作，把傳遞函數(shù)矩陣表示成用矩陣分式描述，得到了一個多項式矩陣，而多項式矩陣的研究較為深入，小王針對多項式矩陣進行了深入研究，結(jié)合了之前提出的一些經(jīng)典控制理論的分析方法，進行了推廣，得到了一些不錯的結(jié)果，比如逆奈奎斯特陣列法這也被稱為現(xiàn)代頻域分析方法。

最后做一個小結(jié)

人們研究多變量控制系統(tǒng)的頻域方法，以及狀態(tài)空間法和頻域方法之間的聯(lián)系問題之中。他們利用多項式矩陣理論和復變 量代數(shù)理論來處理多變量線性系統(tǒng)，并獲得了豐碩的成果，使頻域方法與狀態(tài)空間法以前存在的明顯區(qū)別開始消融，并形成了不同于狀態(tài)空間， 但又與之有一定聯(lián)系的多變量控制系統(tǒng)現(xiàn)代頻域理論，成為現(xiàn)代控制理論的一個有機的組成部分。