控制理論，一段故事（二）

上節(jié)我們講到，小王與小張共同實(shí)驗(yàn)的結(jié)果效果上還不錯(cuò)，數(shù)學(xué)上沒(méi)有什么問(wèn)題。但是，數(shù)學(xué)上暫時(shí)沒(méi)問(wèn)題不一定其他地方?jīng)]有不足，最主要的是，小張并不喜歡看公式，雖然我們介紹時(shí)沒(méi)用公式，但幾乎每個(gè)點(diǎn)深入下去都是公式，而每個(gè)人在工作現(xiàn)場(chǎng)待久了，都喜歡看圖，看儀表的數(shù)字，或者直接看狀態(tài)。搞了這么多，說(shuō)白了我就是燒個(gè)水，你這邊直接擺一堆公式，當(dāng)然不怎么被人接受。所以一個(gè)很自然的想法就有了，能不能把上面這些公式和定理變成圖呢？

單說(shuō)圖好辦，我們?cè)诮榻B“閉環(huán)控制”時(shí)其實(shí)就涉及到圖了，把系統(tǒng)各個(gè)部分的功能抽象一下，畫(huà)一個(gè)框圖沒(méi)有什么問(wèn)題，或者根據(jù)信息流動(dòng)，繪制一個(gè)更簡(jiǎn)單的路線圖，一般被叫做信號(hào)流圖。讓小張困惑的是，怎么把上邊介紹的其他東西，尤其是重要的判斷穩(wěn)定性的幾個(gè)工具變成圖？

這天來(lái)了一位朋友叫小文，小張聊著聊著就說(shuō)到了這個(gè)話題，小文看了看之前的成果，掃到了之前小王所寫(xiě)的筆記“對(duì)于傳遞函數(shù)來(lái)說(shuō)，當(dāng)使分母為零的點(diǎn)在坐標(biāo)系i軸的左側(cè)時(shí)，它是穩(wěn)定的。”，來(lái)了靈感，說(shuō)既然這些點(diǎn)這么重要，咱們把這些點(diǎn)在圖上都畫(huà)出來(lái)不就得了？

于是他們提出了一種方法，叫根軌跡法，它的思路是這樣的：我們前面聊到，零極點(diǎn)的位置會(huì)影響系統(tǒng)的性能，而系統(tǒng)的參數(shù)又是可以變化的，這就會(huì)導(dǎo)致零極點(diǎn)位置的變化，那就可以思考這樣一個(gè)問(wèn)題，能不能以某一參數(shù)為自變量，畫(huà)出來(lái)零極點(diǎn)的變化圖，從而分析系統(tǒng)。

他們把開(kāi)環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上變化的軌跡稱(chēng)為根軌跡。并且經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)總結(jié)了一系列繪制步驟，根軌跡法由此誕生。根軌跡比公式是要直觀的，只要得出了根軌跡圖，就可以直觀的看出系統(tǒng)的極點(diǎn)什么時(shí)候會(huì)出左半平面，而前面提到過(guò)，出不出左半平面又與系統(tǒng)穩(wěn)定息息相關(guān)。這樣都變成了圖問(wèn)題了。

有了根軌跡，小張?jiān)谠O(shè)計(jì)時(shí)只需要看圖，一看，軌跡沒(méi)出左半平面，很好。穩(wěn)定的！這速度比用前文提到的勞斯判據(jù)判斷，快了半頓盒飯的時(shí)間。就是大量實(shí)驗(yàn)和推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的畫(huà)圖規(guī)則記起來(lái)有些麻煩，有時(shí)還要考慮這是常規(guī)的，參數(shù)的，還是零度的。不過(guò)對(duì)于計(jì)算機(jī)技術(shù)來(lái)說(shuō)，這些都是小事情啦。

小文剛想離開(kāi)，在旁邊思考的小張攔住了他說(shuō)，“事情還沒(méi)結(jié)束呢?，F(xiàn)在圖是有了，我能判斷系統(tǒng)的性質(zhì)了，但問(wèn)題是我判斷完怎么辦，系統(tǒng)性能不好怎么改進(jìn)？”

小文聽(tīng)到這個(gè)問(wèn)題，也覺(jué)得目前的結(jié)果就做了一半，于是回去繼續(xù)看實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)圖紙，然后他發(fā)現(xiàn)了一些問(wèn)題，有些系統(tǒng)可以拆成兩項(xiàng)相乘的形式，相對(duì)于單獨(dú)一項(xiàng)描述的系統(tǒng)，相乘之后的根軌跡變化似乎有什么規(guī)律，這是一個(gè)啟發(fā)。進(jìn)而和小張一起開(kāi)發(fā)了基于根軌跡的對(duì)指標(biāo)的調(diào)節(jié)方法，也稱(chēng)為校正。說(shuō)到這里，小張有些興奮，但隨即問(wèn)道，說(shuō)我知道這個(gè)意思，數(shù)學(xué)上設(shè)計(jì)一項(xiàng)乘上去調(diào)整指標(biāo)，但畢竟是公式，那么實(shí)際中怎么實(shí)現(xiàn)呢。小文整理了一下思路，講了這么一段話。

“還記得我們從哪里開(kāi)始的嗎，你之前設(shè)計(jì)的基于電路和機(jī)械的控制器元件，我們列出來(lái)了方程，探討各種概念，后來(lái)又畫(huà)圖，但歸根結(jié)底還是到了這些元件上，那么我們乘上去的這一項(xiàng)，反過(guò)來(lái)再回去呢？”。小張恍然大悟，“我怎么忘了這事了呢?！?/p>

這里多說(shuō)幾句，很多同學(xué)和此時(shí)的小張一樣，接觸控制理論時(shí)被淹沒(méi)在數(shù)學(xué)公式上不知所措，但我們并不是搞數(shù)學(xué)的，只是用，要記住自己的出發(fā)點(diǎn)哈~

說(shuō)回本題，既然是基于電路和機(jī)械設(shè)計(jì)的控制器元件，那么就涉及到一個(gè)問(wèn)題：電。一開(kāi)始小張使用的是直流電，這沒(méi)有什么問(wèn)題，對(duì)于直流電來(lái)說(shuō)，以上的分析方法是比較實(shí)用的，但我們知道，為了輸電方便，更多時(shí)候使用的是交流電，一個(gè)簡(jiǎn)單描述就是正弦函數(shù)。面對(duì)交流電，小張犯了難，他也做了一些實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在經(jīng)過(guò)控制系統(tǒng)后，交流電不僅大小發(fā)生了改變，它的另外一個(gè)重要指標(biāo)也發(fā)生了改變，我們對(duì)正弦函數(shù)圖像很熟悉，隨著自變量取值，圖像在1和-1之間來(lái)回往復(fù)，上邊一半，下邊一半。但默認(rèn)時(shí)刻是從大小為零開(kāi)始，但當(dāng)信號(hào)經(jīng)過(guò)控制系統(tǒng)后，小張發(fā)現(xiàn)，有些信號(hào)圖像在時(shí)刻沒(méi)變的情況下發(fā)生了左右移動(dòng)。

有人就說(shuō)了，左右移動(dòng)有什么大不了的？我們可以考慮典型的正弦波圖形，有正有負(fù)，如果改變的很湊巧，那么就有可能把一個(gè)原本設(shè)計(jì)這個(gè)時(shí)刻預(yù)想的正的信號(hào)改變?yōu)橐粋€(gè)負(fù)的信號(hào)，從而導(dǎo)致反饋時(shí)明明是負(fù)反饋，結(jié)果效果上變成了正反饋。這里說(shuō)的正反饋是將差距不斷拉大的反饋，我們前邊提到的反饋基本都是負(fù)反饋，在上述場(chǎng)景中加正反饋還不如不設(shè)計(jì)。

有人說(shuō)，我們可以把交流電變?yōu)橹绷麟?，這個(gè)也是一種方法，但除這種方法之外，能不能直接基于交流電進(jìn)行處理呢？這時(shí)候小張主動(dòng)找到了之前提到的那位小王，好說(shuō)歹說(shuō)請(qǐng)了過(guò)來(lái)，到了現(xiàn)場(chǎng)以后，小王首先注意的不是系統(tǒng)，而是小文的根軌跡圖，一邊看一邊贊嘆，嘿！還是你們會(huì)玩！一會(huì)我學(xué)學(xué)，看看推導(dǎo)公式后能不能也化成圖。

拿到熟悉的傳遞函數(shù)和熟悉的正弦函數(shù)輸入，小王陷入了沉思，這倆怎么才能聯(lián)系起來(lái)呢，一般的正弦函數(shù)是Asinwt，傳遞函數(shù)又是拉氏變換的結(jié)果，看著拉普拉斯變換和正弦函數(shù)，小王不由自主想起來(lái)數(shù)學(xué)上另外一種變換方法：傅里葉變換，于是有了一個(gè)想法，試試傅里葉的變換，手一揮。令：S=jw，從拉普拉斯變換退回傅里葉變換，代入傳遞函數(shù)：

然后得到了兩個(gè)式子，一個(gè)描述幅值，一個(gè)描述相位差，分別稱(chēng)為幅頻特性與相頻特性。

“既然畫(huà)圖方便，那我也試試”，小王看了一眼小文的思路和自己得到的公式，正好有一個(gè)自變量w，以它為零時(shí)為起點(diǎn)，無(wú)窮為終點(diǎn)，畫(huà)了一條曲線，稱(chēng)為幅相特性曲線。

然后老慣例，穩(wěn)定性判斷。這時(shí)候就是新方向了，得小王自己推導(dǎo)，但推導(dǎo)這種活難不倒小王，他抄起一本數(shù)學(xué)教材和一堆草稿紙就找了個(gè)安靜的地方開(kāi)始寫(xiě)，小張也不敢打擾他，只是在旁邊看著他的結(jié)論，對(duì)于第一次接觸的人來(lái)說(shuō)，那確實(shí)像天書(shū)。

過(guò)了許久，小王放下筆，“搞定！”，小張湊上來(lái)問(wèn)道，可否講講？小王剛想開(kāi)口念公式，小張補(bǔ)充道，“要不稍微那么簡(jiǎn)單一些？”好吧。

首先這個(gè)幅相特性曲線不怎么完整，如果系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)或者等幅振蕩時(shí)要補(bǔ)圓，補(bǔ)完之后經(jīng)過(guò)嚴(yán)格論證，小王發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論是成立的:

這個(gè)結(jié)論簡(jiǎn)單總結(jié)就是查極點(diǎn)數(shù)圈圈。怎么說(shuō)呢，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)記作P，當(dāng)w從負(fù)無(wú)窮逐漸變大時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線所組成的封閉曲線，如果順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)為N圈（N>0），若逆時(shí)針包圍則N<0，封閉曲線繞(-1,j0)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)360°即包圍一次，則我們可以算一下這個(gè)式子：Z=N+P。當(dāng)Z=0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；Z>0時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了跟教材對(duì)應(yīng)，我們這需要說(shuō)明，在現(xiàn)實(shí)世界里，這是一位叫奈奎斯特的人首次提出，因此也稱(chēng)為奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。

小張利用這些結(jié)論解決了很多問(wèn)題，但他發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖像有時(shí)候過(guò)于復(fù)雜，在工程當(dāng)中不能普遍應(yīng)用，因此小王又在基礎(chǔ)上對(duì)這種方法進(jìn)行了改進(jìn)，將幅頻與相頻分開(kāi)畫(huà)，并做了許多其他操作，圖像變的清晰明確起來(lái)（在現(xiàn)實(shí)世界里則被稱(chēng)為伯德圖）

和根軌跡從圖像到校正的過(guò)程一樣，小王也沒(méi)有在畫(huà)完圖后就此停止腳步，而是也搞起來(lái)了校正，得到了一些結(jié)論。

這樣，我們就有了兩套方法，一套處理直流電、一套處理交流電。但有個(gè)問(wèn)題也一直困惑著小王和小張，那就是到底是直接將交流電變成直流電好，還是現(xiàn)在這種頻域方法好，為了做的比較全面一些，他們又調(diào)出了之前的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)在控制系統(tǒng)分析中，除了穩(wěn)定性，有時(shí)候也需要考慮裕度問(wèn)題，這個(gè)裕度就是指系統(tǒng)能夠忍受一定范圍的變化還能保持穩(wěn)定，而通過(guò)頻域的方法可以直觀的表示出幅值裕度和相角裕度。這是它的一個(gè)優(yōu)勢(shì)。

他們還發(fā)現(xiàn)了另外一個(gè)重要問(wèn)題，在我們之前的介紹時(shí)，從設(shè)計(jì)的基于電路和機(jī)械的控制器元件，列出來(lái)了方程，探討各種概念，后來(lái)又畫(huà)圖，但是如果分析對(duì)象不是我們?cè)O(shè)計(jì)的呢？那么反過(guò)來(lái)了，怎么回去去識(shí)別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，由于伯德圖可以做實(shí)驗(yàn)得到，而圖像又反映了系統(tǒng)的一些基本環(huán)節(jié)，因此可以利用這個(gè)工具，對(duì)一些控制對(duì)象，直接寫(xiě)出它的傳遞函數(shù)。在工程當(dāng)中也是很方便的。

到了這里，現(xiàn)場(chǎng)安靜了一些，無(wú)論是時(shí)域頻域都有了分析方法，小張按部就班的處理日常事務(wù)。一切挺好。不過(guò)大家也都知道，再好的設(shè)計(jì)，也會(huì)有新需求沒(méi)有滿足的時(shí)候，這不，沒(méi)持續(xù)多久，新的問(wèn)題又來(lái)了。

(未完待續(xù)）