控制理論，一段故事（1）

小張選擇了一片空地。準(zhǔn)備建設(shè)自己的家園。水無(wú)疑是最重要的，日常生活里少了水可不行，這片空地旁有條河，小張看中這里也正因如此。但令小張苦悶的是，每次用水的時(shí)候都需要自己去挑，偶爾還好，隨著需求的增加，這樣的方式明顯越來(lái)越累。有人說(shuō)這好辦，雇個(gè)人專門負(fù)責(zé)唄，但雇人也得用錢不是。于是小張去河邊看了看，正好有一個(gè)合適的地方，可以安裝水管，這樣每次當(dāng)他需要用水時(shí)，打開(kāi)水龍頭就可以了。大家想一想，從需要用水到打開(kāi)水龍頭，一般不需要什么其他的操作，一條線下來(lái)就可以了，所以這種方式也被稱為開(kāi)環(huán)控制。

水的來(lái)源解決了，接水時(shí)又出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題，因?yàn)闊o(wú)論大小，只要是容器，它的容量是有限的，所以接水時(shí)，小張需要在旁邊隨時(shí)觀察著水位情況，一來(lái)二去每天有很多的時(shí)間花費(fèi)在這個(gè)方面，處理這個(gè)問(wèn)題的一種思路是引入定時(shí)器，通過(guò)生活經(jīng)驗(yàn)可以知道接滿一個(gè)具體的容器大概需要多長(zhǎng)時(shí)間，然后設(shè)定定時(shí)器，到點(diǎn)自動(dòng)關(guān)，這是另一種開(kāi)環(huán)控制。

有同學(xué)可能要問(wèn)，其他的我都知道，為啥不叫直線控制，叫什么開(kāi)環(huán)控制，引入“環(huán)”這個(gè)字做什么？我們接著看，設(shè)定定時(shí)器這個(gè)思路很有用，但對(duì)于不同容器情況，這種思路不怎么適用，每換一個(gè)容器得重新設(shè)置一下定時(shí)器，這比較麻煩，我們研究控制，最主要的目的還是能省事就省事，得抽出時(shí)間去做其他更要緊的事情。

于是小張分析了接水過(guò)程，發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)重要的環(huán)節(jié)就是測(cè)水位然后把信號(hào)再送回人，人再去關(guān)閉水龍頭，流程上形成了一個(gè)環(huán)，把這個(gè)過(guò)程畫(huà)成圖后，可以畫(huà)出一個(gè)圓圈，所以被形象的稱為閉環(huán)控制。而“測(cè)水位把信號(hào)送回人”這個(gè)部分如果去掉，我們就又回到了上邊的定時(shí)器場(chǎng)景，所以為了展現(xiàn)區(qū)別，使用了開(kāi)環(huán)控制來(lái)描述。

這樣，小張獲得了一個(gè)可以控制水位的系統(tǒng)，別的不說(shuō)，接水時(shí)省了很多事情，水龍頭一扭，需要時(shí)直接拿走，不用擔(dān)心其他問(wèn)題。等的這段時(shí)間就可以做其他事情了。引入的這個(gè)部分叢直觀上講比較簡(jiǎn)單，似乎是理所應(yīng)當(dāng)?shù)臇|西，但如果我們抽象一下，用一個(gè)詞來(lái)形容這個(gè)部分的功能，我們就可以想到反饋這個(gè)詞，這個(gè)問(wèn)題的解決“反饋”做了很大貢獻(xiàn)。既然效果這么好，我們接下來(lái)處理問(wèn)題時(shí)可以從這個(gè)角度出發(fā)了。

過(guò)了不久，又有了一個(gè)需求：水雖然有了但是涼的，能不能接點(diǎn)熱水？這樣喝水時(shí)比較方便，這個(gè)簡(jiǎn)單，在水管上開(kāi)了一個(gè)分支，加入了一個(gè)加熱器（比如鍋爐），剩下的都相同，這樣出來(lái)的就是熱水了。在安裝完成后，小張接了一杯，但剛拿起來(lái)差點(diǎn)就掉在地上，因?yàn)闇囟葘?shí)在太高，于是一個(gè)更加高級(jí)的需求產(chǎn)生：能不能直接出溫水？這樣也不需要在旁邊再晾一會(huì)兒，還能防止?fàn)C傷。

拿到這個(gè)需求時(shí)，小張梳理了一下，溫水？好辦，設(shè)計(jì)兩個(gè)管子，一邊加冷水，一邊加熱水，隨時(shí)檢測(cè)溫度，溫度高了加冷水，溫度低了加熱水。這樣不就行了。這種簡(jiǎn)單閉環(huán)的設(shè)計(jì)思路被稱為開(kāi)關(guān)控制，很快搞了出來(lái)投入使用。

但有些事情并沒(méi)有那么簡(jiǎn)單，小張使用時(shí)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)開(kāi)關(guān)控制的思路存在著一些問(wèn)題，比如這種設(shè)計(jì)理論上很好，實(shí)際中，尤其是到溫度線那里時(shí)，溫度差一點(diǎn)，熱水開(kāi)關(guān)打開(kāi)，溫度上升很快超過(guò)了界限，然后冷水開(kāi)關(guān)打開(kāi)，溫度又迅速下降低于界限，如果把溫度曲線繪制出來(lái)，可以觀察到反復(fù)震蕩的圖像。等到溫度差不多了。估計(jì)出來(lái)的水都能裝滿一個(gè)池塘了。

有一個(gè)很直接的道理：既然想自動(dòng)，首先得明白怎么手動(dòng)。所以為了摸清楚里面的機(jī)理，小張決定拿上溫度計(jì)，自己手動(dòng)去調(diào)節(jié)，看看怎么得到溫水。經(jīng)過(guò)一系列的實(shí)驗(yàn)后，特別是燙了不少次手、浪費(fèi)了不少水后，小張總結(jié)了里面需要用到的一些技巧，比如在溫度比較低時(shí)，把熱水開(kāi)關(guān)開(kāi)大，隨著溫度的升高，逐漸關(guān)小熱水開(kāi)關(guān)，以控制溫度上升速度，如果溫度超過(guò)期望值，則逐漸打開(kāi)冷水開(kāi)關(guān)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，需要關(guān)注的量，就是溫度的差值和溫度的變化速度。

那么，溫度的變化怎么衡量呢，高中數(shù)學(xué)告訴我們，求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)就是用來(lái)衡量變化的，沒(méi)有接觸過(guò)導(dǎo)數(shù)的同學(xué)也不用著急，只要記住他是一個(gè)衡量變化的量就可以。至于累計(jì)的變化量則用積分表示，這里的積分并不是我們常說(shuō)的游戲里的積分，它是一種求累計(jì)的工具，摸清楚這個(gè)機(jī)理之后，小張?jiān)谠械姆答仚C(jī)制里，用電路等形式加入了求導(dǎo)和積分環(huán)節(jié)，模仿自己手動(dòng)操作，用來(lái)處理變化速率問(wèn)題。如果大家之前接觸過(guò)控制，問(wèn)問(wèn)自動(dòng)化專業(yè)的學(xué)生什么方法最常用，大部分人都會(huì)說(shuō)PID，聽(tīng)上去很高大上是不是，其實(shí)我們這段說(shuō)的就是至今仍然在廣泛運(yùn)用的PID控制算法。

到這里，小張獲得了一個(gè)可以隨時(shí)接溫水的機(jī)器，暫時(shí)沒(méi)有了其他問(wèn)題，裝修完新家后，邀請(qǐng)了一些朋友來(lái)家里玩，順帶給大家介紹介紹自己的心血。其中有位朋友叫小王，是數(shù)學(xué)系的，對(duì)這套溫水器感覺(jué)非常好奇，仔細(xì)聽(tīng)過(guò)小張的經(jīng)驗(yàn)介紹后，提出了一個(gè)問(wèn)題：**你怎么能夠確定，經(jīng)過(guò)你這個(gè)調(diào)節(jié)方案，能夠達(dá)到你所期望的值呢？**小張一時(shí)難以回答，因?yàn)樗趯?shí)踐中確實(shí)也發(fā)現(xiàn)，一些調(diào)試方案不能達(dá)到預(yù)期的效果。

小王感覺(jué)到這是一個(gè)值得討論的話題，回到學(xué)校后，和同事討論了起來(lái)，他們首先畫(huà)了整體的圖，然后找了幾組變量，列出了再熟悉不過(guò)的方程，因?yàn)榘髮?dǎo)和積分環(huán)節(jié)，被稱為微分方程，然后就開(kāi)始解，解完又求了各種參數(shù)，還探討了幾種新解答。

不過(guò)大家也都知道，普通方程有時(shí)都很難解，更不用說(shuō)微分方程了，而要是想解決上邊這個(gè)問(wèn)題，還真得知道解的情況，此時(shí)有人提出，哎，咱們可以只盯著輸入輸出啊，說(shuō)白了就是把溫水器看成一個(gè)整體，只關(guān)心輸入多少與輸出多少的比值，里面的機(jī)理暫時(shí)不用描述太多，又有人提出，我記得拉普拉斯他老人家好像提過(guò)一個(gè)變換，可以簡(jiǎn)化微分方程，然后一頓操作，得出了一個(gè)輸出與輸入的比值函數(shù)，它反映了這個(gè)系統(tǒng)的基本性質(zhì)，至于叫法不同，有的叫傳遞函數(shù)，有的叫系統(tǒng)函數(shù)。

拿到這個(gè)函數(shù)，要分析它什么性質(zhì)成為一個(gè)問(wèn)題，小王看了看現(xiàn)場(chǎng)需要，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)場(chǎng)總是需要經(jīng)過(guò)控制達(dá)到一個(gè)輸出穩(wěn)定的狀態(tài)，比如輸出恒溫的水，輸出穩(wěn)定的電流，保持一定的水位，而這種狀態(tài)，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)，就是當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)函數(shù)是否有一個(gè)固定值，如果有，就可以說(shuō)這個(gè)函數(shù)是穩(wěn)定的。

問(wèn)題清楚了，剩下的就是求解，根據(jù)前面的說(shuō)法，前面的傳遞函數(shù)是輸出輸入之比，大家想到比值會(huì)想到什么呢，分母不能為零。那么這個(gè)使分母為零的點(diǎn)就是一個(gè)需要關(guān)注的點(diǎn)。

這里為了方便下面結(jié)論的理解，我們稍微偏下題，1*1=1,2*2=4,3*3=9，那么誰(shuí)乘以誰(shuí)等于-1呢？這個(gè)問(wèn)題曾經(jīng)給數(shù)學(xué)帶來(lái)的沖擊不小，最后大家為了解決這個(gè)問(wèn)題引入了一種新的數(shù)，規(guī)定i*i=-1，稱為虛數(shù)，并放在了我們熟悉的數(shù)后邊，舉一個(gè)例子，比如2，用這種新表述就是2+0*i。如果我們把以前熟悉的數(shù)放在一條線上，而把i放在另外一條線上，讓這兩條線成90度，那么我們就獲得了熟悉的坐標(biāo)系。而那些前邊數(shù)字為負(fù)數(shù)、后邊i的系數(shù)無(wú)所謂的點(diǎn)，則全部在坐標(biāo)系I軸的左側(cè)。

我們回到主題，有了“使分母為零的點(diǎn)”這個(gè)可能的方向，小王很快發(fā)現(xiàn)，對(duì)于傳遞函數(shù)來(lái)說(shuō)，當(dāng)使分母為零的點(diǎn)在坐標(biāo)系i軸的左側(cè)時(shí)，它是穩(wěn)定的。由這個(gè)現(xiàn)象出發(fā)，通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，利用方程的系數(shù)上總結(jié)了幾條結(jié)論，用來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這就是著名的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。

小王帶著這個(gè)判據(jù)回去找到了小張，與他一同進(jìn)行了多次實(shí)驗(yàn)，細(xì)致分析了溫度曲線，陸陸續(xù)續(xù)規(guī)定了一些指標(biāo)，比如：

上升時(shí)間（從零時(shí)刻到首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間）、

調(diào)節(jié)時(shí)間（從零開(kāi)始到進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值的95%--105%(或98%--102%)誤差帶時(shí)所需要的時(shí)間）

超調(diào)量（過(guò)渡過(guò)程的最大偏差）等；

做完這些之后，小張對(duì)于自己的系統(tǒng)也有了更清晰的了解，尤其是提出的指標(biāo)體系更加細(xì)化，感覺(jué)到了數(shù)學(xué)幫助人思考的重要作用，但他又向小王提問(wèn)了一個(gè)自己之前遇到的問(wèn)題：在一些設(shè)計(jì)方案中，輸出的水溫比較穩(wěn)定，這很好，但是用溫度計(jì)一測(cè)，和期望值有點(diǎn)差距，比方說(shuō)需要39度的水，可能輸出的一直就是20度的水，這讓小張感到很困惑。

小王感覺(jué)到這里面一定有秘密，于是他們又開(kāi)始實(shí)驗(yàn)和理論分析，通過(guò)分析，他發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)系統(tǒng)性質(zhì)。稱為穩(wěn)態(tài)誤差，而對(duì)于如何求解，小王想起來(lái)數(shù)學(xué)上一個(gè)專門處理這類問(wèn)題的工具：**終值定理。**終值二字，正是我們所要解決的前面剛提到的：“當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)函數(shù)是否有一個(gè)固定值”。

到這里，似乎理論已經(jīng)齊備了。但真的齊備了嗎？

（未完待續(xù)）