物理學(xué)里的經(jīng)濟(jì)原則：什么是最小作用原理？

今天給大家講一個(gè)物理學(xué)里面的經(jīng)濟(jì)原則——最小作用原理。這個(gè)經(jīng)濟(jì)原理也反映在我們老祖宗的智慧里，就是《道德經(jīng)》里的那句“大道甚夷，而民好徑”。

我們得從光學(xué)現(xiàn)象講起。在古希臘的時(shí)候， 歐幾里得就總結(jié)出了鏡面反射定律，所謂的入射角等于反射角。后來，亞歷山大城的希律又認(rèn)識(shí)到，光束之所以有這樣的行為應(yīng)該是說它想走一條最短的路。

用今天的數(shù)學(xué)，如果我們把從A 點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過一個(gè)反射點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的這個(gè)路徑長(zhǎng)度的函數(shù)寫出來的話，路徑長(zhǎng)度關(guān)于入射點(diǎn)坐標(biāo)的微分 (為零)能夠得到的條件，就是 . 這就是我們所說的反射定律。

后來，人們又關(guān)注到了光的折射現(xiàn)象。如果從一種介質(zhì)中的A 點(diǎn)出發(fā)、經(jīng)過入射點(diǎn)到達(dá)另一種介質(zhì)中的B點(diǎn)，這個(gè)路徑長(zhǎng)度函數(shù)寫出來，求它關(guān)于這個(gè)入射點(diǎn)坐標(biāo)的微分(為零)的話，我們就能夠得出路徑最短的條件，就是. 這就是所謂的折射定律。

我們看，折射定律和反射定律都能夠統(tǒng)一到一個(gè)路徑最短的原則，我們就可以想到它可能具有某種普適性?，F(xiàn)在給大家講一個(gè)和光學(xué)沒關(guān)系的例子。我們?cè)O(shè)想，有一個(gè)小和尚從廟里出來，擔(dān)著桶到河邊去取水，然后去澆菜園，在兩段路徑上桶的質(zhì)(重)量是不一樣的。用這個(gè)質(zhì)(重)量作為權(quán)重的路徑，就是從A點(diǎn)到河邊、再從河邊到菜園這兩段距離之和，我們求它的最短條件的話，就能夠得出一個(gè)公式。

這就是剛才的反射和折射定律的某種混合。這告訴我們大家，路徑最短的規(guī)律可能是具有某種普適性。

我們現(xiàn)在再看力學(xué)問題。到了17世紀(jì)，伽利略已經(jīng)給出了落體定律，牛頓也給出了牛頓第二定律。但是呢，對(duì)于許多的力學(xué)問題，還都應(yīng)該專門考慮。比方說，我們考慮從A點(diǎn)下落到達(dá)B點(diǎn)的這樣一個(gè)小球，它用時(shí)最短的路徑該是什么樣子的？我們也可以考察一個(gè)靜力學(xué)問題。在兩點(diǎn)上懸掛的一根鏈條，它平衡時(shí)的構(gòu)型是什么樣的? 關(guān)于懸掛的鏈條，即懸鏈線問題，它的經(jīng)濟(jì)原理呢，我們認(rèn)為在這樣的構(gòu)型下它整體的勢(shì)能最小。也就是說，我們可以把勢(shì)能寫成它這條鏈條形狀的一個(gè)積分的形式，求它的最小值的條件，就能夠得到懸鏈的形狀。

配圖來自圖蟲網(wǎng)

這里面呢，就引入一個(gè)很復(fù)雜的問題，就是關(guān)于函數(shù)的函數(shù)。如何求關(guān)于函數(shù)的函數(shù)的極值問題，其實(shí)蠻難的。1696年，約翰 ? 貝努里就向全世界發(fā)出了英雄帖，求解這個(gè)速降線問題。他的兄弟，雅各布 ? 貝努里就為此發(fā)展出了求函數(shù)的函數(shù)的極值的這樣一個(gè)數(shù)學(xué)方法，就是關(guān)于微分方法的一個(gè)發(fā)展——變分法。

至此呢，我們看到，就是說，關(guān)于這樣的一些運(yùn)動(dòng)也好，或者說是靜止?fàn)顟B(tài)的構(gòu)型也好，都是求關(guān)于構(gòu)型或者路徑的某個(gè)函數(shù)的積分它最小的條件。這樣的一個(gè)函數(shù)，它的形式我們可能是不知道的。它的積分要想是極值的話，它就應(yīng)該滿足這個(gè)著名方程，就是歐拉-拉格朗日方程。當(dāng)然事情沒有這么簡(jiǎn)單啦，有時(shí)候它還要滿足其它的條件。比方說關(guān)于懸鏈線的話，就要要求滿足懸鏈線長(zhǎng)度不變這樣的條件。

不管怎么著，現(xiàn)在大家意識(shí)到了， 就是說，我們的物理規(guī)律可能是滿足某種經(jīng)濟(jì)原則，就是使得某個(gè)量最小。到了1741-1746年的時(shí)候呢，法國科學(xué)家莫珀蒂呢就總結(jié)出了，說運(yùn)動(dòng)都要滿足一個(gè)定律，就是最小作用原理。

既然是滿足最小作用原理，這個(gè)作用到底長(zhǎng)什么樣子，他就給出了一個(gè)例子，說一個(gè)自由粒子的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)的action, 或者effort, 就應(yīng)該是等于質(zhì)量乘上它的速度，再乘上它的位移，對(duì)整個(gè)路徑的積分。這樣的一個(gè)作用形式到底合理不合理呢？那我們只要看一看一個(gè)大胖子跑步，你就會(huì)理解了它是多么合理。一個(gè)大胖子跑步，他的努力當(dāng)然是正比于他的體重，正比于他的速度，再乘上他的位移 ，對(duì)整個(gè)路徑的積分。 當(dāng)然這是一個(gè)簡(jiǎn)單的情形。

如果考察粒子在一個(gè)勢(shì)場(chǎng)里的運(yùn)動(dòng)的話，英國科學(xué)家哈密頓就總結(jié)出了，說整個(gè)作用應(yīng)該是一個(gè)拉格朗日函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分，而拉格朗日函數(shù)就是在質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能減去它的勢(shì)能。這樣最小作用的原理具有非?；趾氲囊饬x。我們可以把它從質(zhì)點(diǎn)推廣到場(chǎng)，就是用它來處理電磁場(chǎng)和引力場(chǎng)的問題。

對(duì)于電磁現(xiàn)象，我們只要寫出電磁場(chǎng)的拉格朗日量，用最小作用原理就可以得到它的方程；對(duì)于引力問題，如果我們寫出引力場(chǎng)的拉格朗日量 ，我們也能夠通過最小作用原理得到這個(gè)引力場(chǎng)的方程。從這個(gè)最小作用原理對(duì)這個(gè)拉格朗日量的要求，也就是歐拉-拉格朗日方程，很明顯我們看到，如果拉格朗日量不是坐標(biāo)的顯函數(shù)的話，就能夠得到一個(gè)守恒律。

1918年，著名的女?dāng)?shù)學(xué)家艾米?諾特就想到，如果這個(gè)拉格朗日量還有很多隱藏的對(duì)稱性的話，是不是也能夠構(gòu)造出相應(yīng)的守恒量。于是乎就有了這篇著名的“不變的變分原理”這篇文章，人類社會(huì)從此才有了真正的理論物理。最小作用原理最后又進(jìn)一步發(fā)展。我們看，最小作用原理是從相互作用出發(fā)，構(gòu)造出拉格朗日量，從拉格朗日量去導(dǎo)出它的守恒律。我們是不是也可以反其道而行之 ，從實(shí)驗(yàn)得出的關(guān)于某些物理現(xiàn)象的守恒律去才是它的對(duì)稱性，從而構(gòu)造相應(yīng)的拉格朗日量，然后再利用最小作用原理來研究這種相互作用，這就是理論物理后期的對(duì)稱性決定相互作用的階段。

至于什么是最小作用原理呢？我可以總結(jié)一下，就是說關(guān)于這個(gè)世界“凡所表現(xiàn)，皆為極端”。當(dāng)然，最小作用原理是一個(gè)非常博大精深的一門學(xué)問，很難在這么短的篇幅內(nèi)給大家解釋清楚。

在最后，我提醒大家注意一個(gè)西方語言里的詞：理解。 在英語里是comprehend, 在法語里可能是comprehendre, 但是呢，它的字面意思是“一起拿”。什么意思呢？ 就是如果我想讓你給我拿十個(gè)足球過來，你可能做不到；但是如果再給你一個(gè)網(wǎng)兜，你把這些球裝一起，你就能夠拿過來了。最小作用原理就是那種讓人一把能夠拿起許多知識(shí)的原則，是一種原理之上的原理。期望大家在日后的物理學(xué)習(xí)中 能夠多關(guān)注一下最小作用原理的內(nèi)容。

本文為科普中國·星空計(jì)劃扶持作品

作者：曹則賢

審核：羅會(huì)仟

出品：中國科協(xié)科普部

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