物理學(xué)發(fā)展到20世紀(jì)，數(shù)學(xué)中的幾何被引入到物理理論中。愛(ài)因斯坦借助黎曼幾何構(gòu)建了廣義相對(duì)論，楊振寧發(fā)現(xiàn)規(guī)范場(chǎng)與纖維叢的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而到1980年代后拓?fù)淞孔訄?chǎng)論的誕生，又將物理學(xué)推向了新的高峰。幾何理論和相關(guān)概念在物理理論中大顯身手，以至于有很多人說(shuō)“物理就是幾何”。如今這些由幾何誕生的物理概念，已經(jīng)深入到大氣科學(xué)、信息科學(xué)等許多領(lǐng)域，也為幾何學(xué)帶來(lái)新的生命力。
撰文 | 董唯元
物理理論經(jīng)常會(huì)被跨領(lǐng)域借鑒使用。近幾年氣象學(xué)家在研究海洋和大氣波動(dòng)規(guī)律時(shí)，將地球類比為拓?fù)浣^緣體[1-3]，從而借助物理學(xué)家研究拓?fù)湎嘧兊姆椒ê徒Y(jié)論，深刻理解了赤道開(kāi)爾文波的形成機(jī)制。
開(kāi)爾文波是一種因地球自轉(zhuǎn)偏向力（即科里奧利力）而形成的海洋和大氣波動(dòng)。其最大的特點(diǎn)就是群速度與相速度相同，所以這種波不會(huì)在行走的過(guò)程中耗散，能夠跨越數(shù)千公里持續(xù)搬運(yùn)能量，是形成厄爾尼諾等氣候現(xiàn)象的重要因素之一。
其實(shí)這種波早在1879年就已被發(fā)現(xiàn)，并以發(fā)現(xiàn)者命名。沒(méi)錯(cuò)，發(fā)現(xiàn)者正是那位科學(xué)全才——開(kāi)爾文勛爵，絕對(duì)溫標(biāo)也是以他名字命名的。相信老勛爵一定不會(huì)想到，100多年后他所發(fā)現(xiàn)的海洋和大氣波動(dòng)，竟然以如此奇特的方式與現(xiàn)代物理學(xué)產(chǎn)生聯(lián)系。即使老勛爵乘坐時(shí)光機(jī)來(lái)到當(dāng)下，估計(jì)也不能快速理解為什么開(kāi)爾文波竟然是一種“拓?fù)浔Ｗo(hù)下的激發(fā)”。
現(xiàn)代物理學(xué)中幾乎無(wú)處不浸染著幾何概念和幾何語(yǔ)言，其深度和廣度是十九世紀(jì)的物理學(xué)家根本無(wú)法想象的。
微分幾何進(jìn)入物理學(xué)
1915年橫空降世的廣義相對(duì)論，是物理學(xué)幾何化的第一個(gè)里程碑，微分幾何從此成為物理學(xué)家必須掌握的一門數(shù)學(xué)語(yǔ)言。
既然引力的本質(zhì)是時(shí)空彎曲，引力場(chǎng)強(qiáng)是時(shí)空曲率，那么擺弄彎曲流形的學(xué)問(wèn)，自然成了學(xué)習(xí)廣義相對(duì)論的首要預(yù)備知識(shí)。所謂流形（manifold），可以認(rèn)為就是各種各樣的圖形。比如土豆的表面是2維流形，而廣義相對(duì)論所研究的時(shí)空則是4維流形。
為了能夠計(jì)算，必須得在流形上建立坐標(biāo)系。如果流形本身形狀比較奇怪，或者坐標(biāo)系覆蓋能力有限，僅用一個(gè)坐標(biāo)系無(wú)法覆蓋流形上所有的點(diǎn)，那么就需要在流形上選取多個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都可以建立局部坐標(biāo)系覆蓋周邊鄰居，再把所有局部坐標(biāo)系拼貼起來(lái)以覆蓋整個(gè)流形。
比如，以地球某時(shí)刻為原點(diǎn)的4維笛卡爾坐標(biāo)系，就無(wú)法覆蓋到遠(yuǎn)處黑洞的內(nèi)部，即使經(jīng)歷無(wú)窮長(zhǎng)時(shí)間也只能到達(dá)很靠近黑洞視界的地方。然而這并不意味著時(shí)空本身在視界處被撕裂。靠近黑洞視界的宇航員可以以他自己的位置和某時(shí)刻為原點(diǎn)建立新的坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)系既與我們的坐標(biāo)系有交疊，又同時(shí)與黑洞內(nèi)的其他坐標(biāo)系有重合。借助多個(gè)坐標(biāo)系共同承托，就可以畫出一條光滑的世界線，連接地球和黑洞內(nèi)部，從而看出視界處時(shí)空本身仍然完好無(wú)損。
另外，要想討論曲率，得先讓流形固定不動(dòng)，蠕動(dòng)著的水母表面顯然不會(huì)有確定的曲率。而定型的含義等價(jià)于“流形上任意兩點(diǎn)之間存在確定的距離”，于是流形上關(guān)于距離的定義必然要先于曲率的定義。
叫作“度規(guī)”（metric），它回答了流形上每點(diǎn)與臨近的點(diǎn)之間該如何計(jì)算距離的問(wèn)題。如果流形上每一點(diǎn)都有了自己的度規(guī)，那么整個(gè)流形也就被“石化”了，此時(shí)才可以計(jì)算曲率。
數(shù)學(xué)上對(duì)曲率的定義有若干種，物理學(xué)家最喜歡使用黎曼的定義方式。黎曼曲率可以用向量在移動(dòng)過(guò)程中的變化來(lái)體會(huì)，所以在了解它之前，我們還需要先了解流形的彎曲會(huì)對(duì)向量的移動(dòng)造成什么影響。
平直空間中向量可以隨便平移都不會(huì)發(fā)生改變，可是在彎曲空間中這種自由就不存在了。例如在上圖所示的球面上移動(dòng)向量，同樣從赤道上出發(fā)開(kāi)始“平動(dòng)”（注意2維球面內(nèi)的向量方向只能切于球面），經(jīng)過(guò)橙色路徑后到達(dá)北極的指向與經(jīng)過(guò)藍(lán)色路徑到達(dá)北極的指向并不相同，這就是由球面的彎曲造成的效果。
黎曼曲率就是利用這種效果來(lái)定義流形上每點(diǎn)的曲率。具體做法是讓
這顯然是一個(gè)映射，從三個(gè)向量到一個(gè)向量的映射。提供這種映射功能的“機(jī)器”叫作張量（tensor），黎曼曲率就是張量，所以也被稱為黎曼張量。順便提一下，前面說(shuō)到的度規(guī)也是張量。其實(shí)整個(gè)廣義相對(duì)論方程就是張量方程。
纖維叢與規(guī)范場(chǎng)
1954年閃亮登場(chǎng)的楊-米爾斯理論，為后續(xù)物理學(xué)幾何化的第二次浪潮埋下了伏筆。十幾年之后，物理學(xué)家突然發(fā)現(xiàn)纖維叢正是描述這一理論最恰當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言。
所謂纖維叢（Fiber bundle），可以簡(jiǎn)單粗暴地理解為渾身長(zhǎng)毛的流形，每根毛對(duì)應(yīng)底流形上一點(diǎn)。這里的毛，也就是纖維，具有頗為抽象的內(nèi)涵，在不同的纖維叢理論中代表流形身上不同的附加物。這些附加物既可以是天生的，也可以是后天裝飾上去的。
最直觀的一種纖維，就是流形上每一點(diǎn)的切空間（tangent space），顧名思義是此點(diǎn)處所有向量生活的空間。下圖左側(cè)畫出的是個(gè)具體例子，其中底流形M是2維球面，藍(lán)色平面是M上P點(diǎn)的切空
種關(guān)系的抽象畫法。
前面在介紹曲率的時(shí)候曾經(jīng)含混地提到向量在流形上的“平動(dòng)”，其實(shí)
切叢的概念直觀易懂，但還不是物理學(xué)家的強(qiáng)大武器，真正使物理學(xué)家愛(ài)不釋手的，是一種能夠包含對(duì)稱性的纖維叢。因?yàn)樗^(guò)于核心重要，所以干脆被命名為主叢（principal bundle）。
談?wù)搶?duì)稱性時(shí)，我們需要注意區(qū)分全局對(duì)稱性（global symmetry）和局域?qū)ΨQ性（local symmetry）這兩個(gè)完全不同的概念。前者是整個(gè)流形總體所擁有的對(duì)稱性，而后者則是每個(gè)點(diǎn)各自具備的屬性。后面的內(nèi)容會(huì)展示出，局域?qū)ΨQ性在物理中的重要地位要遠(yuǎn)大于全局對(duì)稱性。
描述對(duì)稱性的數(shù)學(xué)語(yǔ)言是群，每一種對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)特定的群。例如O(n)群和SO(n)群對(duì)應(yīng)著n維實(shí)數(shù)空間中的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，而U(n)群和SU(n)群則代表n維復(fù)數(shù)空間中的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。
我們所身處的3維空間中，任何轉(zhuǎn)動(dòng)操作都可以拆解為繞x、y、z軸轉(zhuǎn)動(dòng)這三種基本操作的某種組合。也就是說(shuō)，如果把SO(3)群自己也看作一個(gè)空間的話，維數(shù)恰好也是3維?？墒荢O(4)群卻不同，4維空間中的轉(zhuǎn)動(dòng)由6種基本操作組合而成[4]，所以SO(4)群本身的維數(shù)是6不是4。
群本身也可以被看作一個(gè)空間，就像那個(gè)直觀的切空間一樣，所以也就能當(dāng)作纖維插在底流形上，只不過(guò)每根纖維所代表的空間與底流形可能具有不同的維度數(shù)量。
這種插著群結(jié)構(gòu)的纖維叢就是主叢。纖維所代表的局域?qū)ΨQ性意味著，底流形上的函數(shù)Φ(x)，沿著纖維變動(dòng)時(shí)，每個(gè)點(diǎn)上Φ(x)的值保持不變，所以主叢上的不同截面對(duì)Φ(x)來(lái)說(shuō)是等價(jià)的。在物理上，像Φ(x)這樣具有局域?qū)ΨQ性的場(chǎng)統(tǒng)稱為規(guī)范場(chǎng)（gauge field）。
在物理學(xué)家眼中，時(shí)空本身就是一個(gè)纖維叢，各種基本相互作用就源自各種規(guī)范場(chǎng)，也就是攜帶不同對(duì)稱群的主叢的聯(lián)絡(luò)。引力場(chǎng)對(duì)應(yīng)SO(3, 1)，電磁場(chǎng)和弱力對(duì)應(yīng)U(1)×SU(2)，強(qiáng)力對(duì)應(yīng)SU(3)。
后面兩者合并起來(lái)，攜帶U(1)×SU(2)×SU(3)結(jié)構(gòu)的主叢整體是一個(gè)大空間，在這個(gè)空間里，宇宙中除引力之外的其他相互作用都漂亮地合并為一個(gè)對(duì)象。這就是堪與廣義相對(duì)論比肩的楊-米爾斯理論，是基本粒子標(biāo)準(zhǔn)模型最重要的理論基石。
來(lái)自拓?fù)淅碚摰募映?/strong>
拓?fù)鋵W(xué)常被戲稱為玩弄橡皮泥的科學(xué)，它并不關(guān)心幾何圖形具體的形狀或大小，而只關(guān)注圖形在連續(xù)變化過(guò)程中那些不變的成分?？Х缺梢赃B續(xù)地變成甜甜圈，所以在拓?fù)湟暯强磥?lái)，咖啡杯與甜甜圈就是同一種對(duì)象，因?yàn)槎呱砩峡锥吹臄?shù)量相同。顯然，孔洞的數(shù)量就是一種拓?fù)洳蛔兞俊?/p>
不過(guò)數(shù)學(xué)家在說(shuō)某甲和某乙在拓?fù)湟饬x上相同時(shí)，會(huì)使用不同的術(shù)語(yǔ)來(lái)表達(dá)“相同”這個(gè)含義，常見(jiàn)的有同構(gòu)、同胚、同態(tài)、同倫、同調(diào)等等。由此可以窺見(jiàn)，拓?fù)淅碚摬⒉幌衲笙鹌つ嗄敲春?jiǎn)單。
另外，在數(shù)學(xué)這棵大樹(shù)上，拓?fù)淅碚摰奈恢貌⒉皇沁吔缜逦哪骋环种?，甚至不僅限于幾何學(xué)領(lǐng)域之內(nèi)，而更像是四處纏繞的藤蔓。也正因如此，它往往能在許多問(wèn)題上發(fā)揮出避繁就簡(jiǎn)的奇特威力。
有個(gè)名為“毛球定理”的有趣定理，內(nèi)容是說(shuō)，偶數(shù)維球面上的光滑切向量場(chǎng)必有零點(diǎn)。這個(gè)定理的2維情形非常直觀，其實(shí)就是說(shuō)永遠(yuǎn)無(wú)法完全撫平一個(gè)毛球，定理的名字正是因此而得。
作為對(duì)比，我們可以同樣直觀地看到，圓環(huán)面上的切向量場(chǎng)就可以處處非零，這說(shuō)明流形的整體拓?fù)湫再|(zhì)與其上向量場(chǎng)的特性有密切聯(lián)系。
如果讀者感覺(jué)這個(gè)定理不過(guò)如此的話，不妨考慮由點(diǎn)源發(fā)出的電磁波，其波陣面就是一個(gè)2維球面，而且電磁波是橫波，場(chǎng)強(qiáng)方向總是切于波陣面。根據(jù)毛球定理，在波陣面上必有場(chǎng)強(qiáng)零點(diǎn)[5]。可是，波陣面上的每一點(diǎn)都有相同的振動(dòng)相位，而且對(duì)點(diǎn)源來(lái)說(shuō)，都是完全對(duì)稱的。是不是嗅到了魔術(shù)的味道呢？
當(dāng)電磁波在某些特殊介質(zhì)中傳播的時(shí)候，其參數(shù)空間中也會(huì)出現(xiàn)這種適用毛球定理的情形。盡管描述動(dòng)力學(xué)過(guò)程的一堆偏微分方程難以求解，但是僅憑拓?fù)湫再|(zhì)就可以判斷零點(diǎn)一定會(huì)出現(xiàn)。這種純粹由拓?fù)湫再|(zhì)所催生的特殊點(diǎn)往往對(duì)應(yīng)著某種“拓?fù)浼ぐl(fā)”。
拓?fù)淅碚撝阅軌虬l(fā)揮出巨大威力，憑借的是將各種拓?fù)洳蛔兞颗c物理場(chǎng)中的各種積分結(jié)果建立起聯(lián)系。從文章前面的部分已經(jīng)提過(guò)，物理場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng)對(duì)應(yīng)幾何意義上的曲率，距離關(guān)系對(duì)應(yīng)著度規(guī)。如果物理場(chǎng)中的某種積分結(jié)果與場(chǎng)強(qiáng)和積分路徑長(zhǎng)度都無(wú)關(guān)，那么翻譯成幾何語(yǔ)言就是，結(jié)果無(wú)關(guān)流形的曲率和度規(guī)，所以即使這個(gè)流形像水母一樣蠕動(dòng)起來(lái)，積分結(jié)果也不會(huì)變化，那么這個(gè)結(jié)果應(yīng)該就只由流形的某種拓?fù)洳蛔兞繘Q定。
基于這樣的思想，物理學(xué)家非常熱衷于研究各種各樣的積分結(jié)果，尤其是閉合環(huán)路或者閉合曲面上的積分結(jié)果。如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)了某個(gè)與場(chǎng)強(qiáng)和路徑長(zhǎng)度都無(wú)關(guān)的物理量，人們就會(huì)興沖沖地跑去拓?fù)鋵W(xué)的倉(cāng)庫(kù)中尋找與之相關(guān)的拓?fù)洳蛔兞俊?/p>
關(guān)于積分路徑，聰明的物理學(xué)家們肯定不甘心手工逐個(gè)慢慢嘗試，而是喜歡運(yùn)用能夠“批發(fā)”的研究策略。
我們先從一個(gè)傻問(wèn)題開(kāi)始。在一個(gè)平面上，從一個(gè)定點(diǎn)出發(fā)，畫一個(gè)閉合的曲線并最終回到定點(diǎn)，能有多少種畫法呢？答案很明顯，任意兩種畫法之間都是拓?fù)湟饬x上相同的，用術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，所有路徑都是同倫的。
如果在平面上挖去一個(gè)洞，所有的路徑顯然就不再同倫，因?yàn)橛行┞窂娇梢允湛s成一點(diǎn)，而有些路徑在收縮時(shí)會(huì)被洞擋住，無(wú)法收縮成一點(diǎn)。我們發(fā)現(xiàn)所有的路徑可以按照繞洞圈數(shù)分成若干類，繞洞圈數(shù)相同的路徑之間都同倫。
群可以用所有整數(shù)來(lái)表示，每個(gè)整數(shù)代表繞數(shù)為該整數(shù)的同倫路徑，因?yàn)槔@行有分順時(shí)針和逆時(shí)針，可以兩相抵消，所以天然存在負(fù)整數(shù)的繞數(shù)。
就不做介紹了，只稍微提一下流形上的孔洞數(shù)量，以及剛才那個(gè)一筆畫游戲中的纏繞數(shù)，這些都是典型的拓?fù)洳蛔兞俊４送饫K結(jié)理論中對(duì)繩結(jié)的分類等，也屬于拓?fù)洳蛔兞俊?/p>
最直觀的一個(gè)拓?fù)洳蛔兞渴切W(xué)奧數(shù)中就已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的“歐拉示性數(shù)”，3維凸多面體總滿足V-E+F=2，其中V是頂點(diǎn)數(shù)，E是棱邊數(shù)，F(xiàn)是面數(shù)。因?yàn)?維凸多面體的表面都同態(tài)于2維球面，所以它們都擁有
不過(guò)歐拉示性數(shù)相同的流形未必全都同態(tài)，比如1維環(huán)、2維環(huán)面、莫比烏斯帶和克萊因瓶，這些流形的歐拉示性數(shù)都是0，但它們顯然不同態(tài)，甚至一些基本屬性都大相徑庭。
除了歐拉示性數(shù)之外，還有許許多多的拓?fù)洳蛔兞?，受篇幅和本人學(xué)識(shí)所限，就不再列舉了。但有一個(gè)對(duì)現(xiàn)代物理學(xué)非常重要的拓?fù)洳蛔兞勘仨毜锰幔蔷褪顷?西蒙斯作用量（Chern-Simons action）。
從這個(gè)名字就能看出，這個(gè)拓?fù)洳蛔兞刻烊痪蛯?duì)應(yīng)一個(gè)物理上的積
普通的積分，而是生成整個(gè)物理場(chǎng)一切動(dòng)力學(xué)屬性的核心，從最小作用量原理出發(fā)推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程的套路相信許多讀者都已經(jīng)爛熟于胸了。
至于這個(gè)拓?fù)洳蛔兞繛槭裁刺烊粚?duì)物理學(xué)如此友好，那是因?yàn)樗鲎晕锢韺W(xué)家之手——由目前唯一獲得過(guò)菲爾茲獎(jiǎng)的物理學(xué)家威滕所發(fā)展而來(lái)。當(dāng)然，他的工作基礎(chǔ)大量來(lái)自于陳省身等人前期成果，尤其是一個(gè)名為“陳-西蒙斯3-形式”的數(shù)學(xué)對(duì)象，所以這套由威滕等人引入物理學(xué)的理論，仍被稱為“陳-西蒙斯理論”。
正是以此為核心，威滕和施瓦茨等人為量子場(chǎng)論開(kāi)辟出了一個(gè)全新的分支——拓?fù)淞孔訄?chǎng)論（TQFT）。從某種意義上說(shuō)，拓?fù)淞孔訄?chǎng)論的出現(xiàn)，也進(jìn)一步加重了整個(gè)現(xiàn)代物理學(xué)的幾何色彩。
小結(jié)
在近幾十年的發(fā)展過(guò)程中，現(xiàn)代物理學(xué)與現(xiàn)代幾何理論不僅相輔相成共同成長(zhǎng)，而且還一同發(fā)展出許多通用性更強(qiáng)大的理論工具，廣泛服務(wù)于信息科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域。文章開(kāi)頭提到的氣象學(xué)研究成果，正是拓?fù)淞孔訄?chǎng)論為這一領(lǐng)域做出的貢獻(xiàn)。
楊振寧曾經(jīng)對(duì)陳省身說(shuō)：“非交換的規(guī)范場(chǎng)與纖維叢這個(gè)美妙的理論在概念上的一致，對(duì)我來(lái)說(shuō)是一大奇跡。特別是數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)它時(shí)沒(méi)有參考物理世界。你們數(shù)學(xué)家是憑空想象出來(lái)的?！标愂∩韰s立刻加以否認(rèn)：“不，不，這些概念不是憑空想象出來(lái)的，它們是自然的，也是真實(shí)的！”
參考文獻(xiàn)及注釋
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