最萬(wàn)能的公式：“拆解萬(wàn)物”的傅里葉變換方程

有這樣一個(gè)神秘方程。它看上去精致優(yōu)雅，學(xué)起來(lái)令人頭大。曾有無(wú)數(shù)學(xué)子怨恨它抽象難懂，卻又最終被它的神通廣大改變了世界觀。

誕生之初，它是一種解題方法，意在將熱學(xué)問(wèn)題中復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算變得簡(jiǎn)單。推廣之后，它的名氣卻蓋過(guò)了它最初服務(wù)的那道難題。

它的應(yīng)用之廣，可以處理圖片，也可以解讀星空，可以幫忙建造不易倒塌的房子，也可以深度參與金融數(shù)據(jù)分析。無(wú)論是混雜的信號(hào)，還是復(fù)雜的卷積，都可以被它的魔法馴服，變得清晰明了、簡(jiǎn)潔高效。

這就是偉大的傅里葉變換。如果用方程寫一部科學(xué)史，傅里葉變換必然擁有位置，這不僅僅是因?yàn)樗旧碜銐蚓?，也因?yàn)樗土硪恍﹤ゴ蟮姆匠檀嬖诿芮械年P(guān)系。

一、拆解萬(wàn)物的傅里葉

傅里葉變換為什么如此有用？因?yàn)樗遣鸾馊f(wàn)物的絕佳工具。

無(wú)論是探索事物，還是解決問(wèn)題，在理工科領(lǐng)域，人們往往會(huì)從研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模式入手。聲音、振動(dòng)、圖像、星光……找到它們的函數(shù)化身，就意味撥開表象，看到骨骼。

傅里葉變換拆解的就是這些數(shù)學(xué)骨骼。它的核心思想是，時(shí)空中的任何模式都可以被看作不同頻率正弦模式的疊加。提供一種信號(hào)隨時(shí)間變化的函數(shù)，傅里葉變換可以為你找出其中隱藏的頻率信息。你可以得到一場(chǎng)地震包含的不同振動(dòng)，去除一段音頻中的噪聲，還可以解讀宇宙微波背景，或是處理圖像、完成壓縮。

這樣的影響力和重要程度，可能連傅里葉本人都大為震驚，盡管在19世紀(jì)初提出這種變換的時(shí)候，他已經(jīng)知道自己找到了一件寶物。當(dāng)時(shí)，法國(guó)科學(xué)院對(duì)這項(xiàng)成果的態(tài)度有些一言難盡，他們嘉獎(jiǎng)了與之相關(guān)的公式，但拒絕發(fā)表傅里葉的獲獎(jiǎng)回憶錄。

惱怒之下，傅里葉于1822年繞過(guò)審查，通過(guò)《熱解析理論》發(fā)布傅里葉變換。兩年后，傅里葉以科學(xué)院秘書的身份殺了回來(lái)，并在科學(xué)院聲譽(yù)卓著的期刊上發(fā)表了那篇被拒絕的回憶錄。

從正式發(fā)表到現(xiàn)在，傅里葉變換走過(guò)了兩個(gè)世紀(jì)。從歷史的角度看，兩個(gè)世紀(jì)不算太長(zhǎng)，但新成果總是建立在舊成果的基礎(chǔ)上。對(duì)傅里葉變換做一番最直接的拆解，我們就能越過(guò)它閃亮登場(chǎng)的19世紀(jì)，追溯更加遙遠(yuǎn)的過(guò)去。

二、人人都愛微積分

談到傅里葉變換，微積分是一個(gè)繞不開的話題。這不僅僅是因?yàn)樽儞Q式本身涉及積分，還因?yàn)楦道锶~最初提出這種變換，是為了解這樣一個(gè)方程——

u(x, t)表示一根金屬桿在時(shí)刻t，位置x處的溫度，常數(shù)α則是熱擴(kuò)散率?？梢钥闯觯@個(gè)方程關(guān)注的是溫度的變化情況。

以現(xiàn)代人的眼光來(lái)看，用導(dǎo)數(shù)研究變化是一件順理成章的事。這當(dāng)然是因?yàn)槲⒎e分已經(jīng)完全進(jìn)入了我們的生活。然而此前很長(zhǎng)一段時(shí)間里，學(xué)者們往往需要先估算不同時(shí)段的平均狀態(tài)，再推測(cè)物體狀態(tài)的整體變化規(guī)律。

微積分誕生于17世紀(jì)，恰逢理性時(shí)代崛起，一位科學(xué)巨匠迎來(lái)了他的奇跡之年。當(dāng)時(shí)，躲避瘟疫的牛頓在家鄉(xiāng)農(nóng)場(chǎng)完成了幾項(xiàng)震撼世界的物理學(xué)研究，在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，他找到了一種先進(jìn)的數(shù)學(xué)工具，將極限思想引入針對(duì)變化的表達(dá)和計(jì)算——

在發(fā)表之后，微積分也一度深陷爭(zhēng)議，只不過(guò)這次，爭(zhēng)論的最大焦點(diǎn)不是“這個(gè)行不行”，而是“這是誰(shuí)發(fā)明的”。在同一時(shí)期，另一位科學(xué)偉人萊布尼茨從另一條途徑找到了相同的方法。從此，“誰(shuí)才是微積分之父”幾乎成了火藥桶的引信，一不小心就會(huì)引來(lái)激烈的爭(zhēng)吵。

然而，如果繼續(xù)了解兩人之前的研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)人類對(duì)無(wú)窮和極限的興趣由來(lái)已久。到了1656年，沃利斯的《無(wú)窮的算術(shù)》已經(jīng)提出了微積分的前身，而費(fèi)馬則在1679年的《論曲線的切線》中提出了和微積分密切相關(guān)的重要問(wèn)題。微積分的誕生呼之欲出，歷史很可能同時(shí)選擇了牛頓和萊布尼茨，這是巧合，也是必然。

三、不走尋常路的虛數(shù)

在傅里葉變換中，另一個(gè)不可不說(shuō)的組成部分是虛數(shù)單位i——

在很多人的印象中，虛數(shù)是一個(gè)比較新鮮的概念，畢竟它的定義透著一種不走尋常路的朋克風(fēng)格——這東西居然是負(fù)數(shù)開方的產(chǎn)物。

事實(shí)上，虛數(shù)在歷史上很像一個(gè)幽靈概念。很早以前就有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，如果假設(shè)負(fù)數(shù)也能開方，一些走進(jìn)死胡同的方程就可以找到出路。后來(lái)，出于實(shí)用，也出于好奇，人們便開始嘗試使用虛數(shù)。不過(guò)，包括笛卡兒和牛頓在內(nèi)，早期數(shù)學(xué)家都將虛數(shù)解釋為問(wèn)題沒有解的標(biāo)志。即便是對(duì)虛數(shù)給予厚望的萊布尼茨，也并不清楚它到底是什么。

到了17—19世紀(jì)初，情況逐漸轉(zhuǎn)變。數(shù)學(xué)家們提出了復(fù)平面，虛數(shù)和實(shí)數(shù)出現(xiàn)在了同一張圖上，它不再是個(gè)摸不著影的概念。

當(dāng)然還有更重要的，那就是18世紀(jì)中期發(fā)表的歐拉公式。

當(dāng)z=π的時(shí)候，這個(gè)式子更加驚為天人。

就這樣，虛數(shù)i將數(shù)學(xué)中最著名的兩個(gè)數(shù)字e和π融合在了一個(gè)優(yōu)雅的等式中。一切豁然開朗，后世物理學(xué)家費(fèi)曼稱之為：“我們的珍寶”和“數(shù)學(xué)中最非凡的公式”。

在科學(xué)世界的背景中飄了幾百年，虛數(shù)最終被主流所接受，并且在19世紀(jì)開始大展拳腳，同微積分搭配使用更是能產(chǎn)生意想不到的效果。到了今天，復(fù)變函數(shù)與積分變換也成了諸多理科生的頭疼之源必修法寶。

四、古老又年輕的三角函數(shù)

傅里葉變換里還有一個(gè)部分，其重要性不低于虛數(shù)和微積分，它是誰(shuí)？就是連小學(xué)生都知道的三角函數(shù)。

回到傅里葉變換的核心思想：時(shí)空中的任何模式都可以被看作不同頻率正弦模式的疊加。三角函數(shù)在這里充當(dāng)了拆解后的元件，小巧精致，簡(jiǎn)潔明了。三角函數(shù)當(dāng)然也是數(shù)學(xué)世界里的寶物，它歷史悠久且從未過(guò)時(shí)。

不妨先說(shuō)說(shuō)為什么會(huì)有三角函數(shù)：因?yàn)橹苯侨切畏线@樣一個(gè)規(guī)律：

這就是畢達(dá)哥拉斯定理，它至少有兩千年歷史。甚至有證據(jù)表明，在學(xué)者將它總結(jié)并書寫下來(lái)之前，這個(gè)規(guī)律就已經(jīng)在匠人之間傳播了。它是三角學(xué)的基礎(chǔ)，也是三角函數(shù)的基礎(chǔ)。

古人之所以熱衷于研究三角學(xué)，很大程度上是看中了它對(duì)估測(cè)巨型實(shí)物的幫助，典型應(yīng)用涉及天文、測(cè)繪、航海。從古希臘、古印度，到后來(lái)的阿拉伯世界和歐洲，三角學(xué)在傳播和發(fā)展中見證了文明的興衰。

然而，傳統(tǒng)應(yīng)用往往將三角學(xué)局限于具體的幾何問(wèn)題。如果想在更廣闊的領(lǐng)域發(fā)揮作用，三角函數(shù)就需要更靈活的定義。

隨著解析幾何和分析學(xué)的出現(xiàn)，人們的視角開始轉(zhuǎn)變。終于，歐拉在18世紀(jì)發(fā)表了《無(wú)窮分析引論》，提出用直角坐標(biāo)系中的單位圓重塑三角函數(shù)的定義。接下來(lái)，這些由來(lái)已久的概念開始和復(fù)數(shù)搭檔，在級(jí)數(shù)中出現(xiàn)，于是故事又回到了前面提到過(guò)的歐拉公式，當(dāng)然還有我們言之不盡的傅里葉變換。

關(guān)于傅里葉變換，能說(shuō)的趣事還有很多。比如，傅里葉的熱方程和達(dá)朗貝爾的波動(dòng)方程十分神似卻又大不相同；比如，傅里葉變換的不同形式；比如，傅里葉與小波，等等。

事實(shí)上，每一個(gè)方程都是串在歷史脈絡(luò)上的珍珠，它們都是珍寶，也都是尋找其他珍寶的提示。科學(xué)的發(fā)展環(huán)環(huán)相扣，很多改變世界的方程都有著密不可分的關(guān)系。了解它們的過(guò)程像讀故事，也像探案，當(dāng)線索匯集一處，指向未來(lái)的時(shí)候，你領(lǐng)悟到無(wú)法言說(shuō)的精彩——