最萬能的公式：“拆解萬物”的傅里葉變換方程

有這樣一個神秘方程。它看上去精致優(yōu)雅，學(xué)起來令人頭大。曾有無數(shù)學(xué)子怨恨它抽象難懂，卻又最終被它的神通廣大改變了世界觀。

誕生之初，它是一種解題方法，意在將熱學(xué)問題中復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算變得簡單。推廣之后，它的名氣卻蓋過了它最初服務(wù)的那道難題。

它的應(yīng)用之廣，可以處理圖片，也可以解讀星空，可以幫忙建造不易倒塌的房子，也可以深度參與金融數(shù)據(jù)分析。無論是混雜的信號，還是復(fù)雜的卷積，都可以被它的魔法馴服，變得清晰明了、簡潔高效。

這就是偉大的傅里葉變換。如果用方程寫一部科學(xué)史，傅里葉變換必然擁有位置，這不僅僅是因為它本身足夠精彩，也因為它和另一些偉大的方程存在密切的關(guān)系。

一、拆解萬物的傅里葉

傅里葉變換為什么如此有用？因為它是拆解萬物的絕佳工具。

無論是探索事物，還是解決問題，在理工科領(lǐng)域，人們往往會從研究對象的數(shù)學(xué)模式入手。聲音、振動、圖像、星光……找到它們的函數(shù)化身，就意味撥開表象，看到骨骼。

傅里葉變換拆解的就是這些數(shù)學(xué)骨骼。它的核心思想是，時空中的任何模式都可以被看作不同頻率正弦模式的疊加。提供一種信號隨時間變化的函數(shù)，傅里葉變換可以為你找出其中隱藏的頻率信息。你可以得到一場地震包含的不同振動，去除一段音頻中的噪聲，還可以解讀宇宙微波背景，或是處理圖像、完成壓縮。

這樣的影響力和重要程度，可能連傅里葉本人都大為震驚，盡管在19世紀初提出這種變換的時候，他已經(jīng)知道自己找到了一件寶物。當時，法國科學(xué)院對這項成果的態(tài)度有些一言難盡，他們嘉獎了與之相關(guān)的公式，但拒絕發(fā)表傅里葉的獲獎回憶錄。

惱怒之下，傅里葉于1822年繞過審查，通過《熱解析理論》發(fā)布傅里葉變換。兩年后，傅里葉以科學(xué)院秘書的身份殺了回來，并在科學(xué)院聲譽卓著的期刊上發(fā)表了那篇被拒絕的回憶錄。

從正式發(fā)表到現(xiàn)在，傅里葉變換走過了兩個世紀。從歷史的角度看，兩個世紀不算太長，但新成果總是建立在舊成果的基礎(chǔ)上。對傅里葉變換做一番最直接的拆解，我們就能越過它閃亮登場的19世紀，追溯更加遙遠的過去。

二、人人都愛微積分

談到傅里葉變換，微積分是一個繞不開的話題。這不僅僅是因為變換式本身涉及積分，還因為傅里葉最初提出這種變換，是為了解這樣一個方程——

u(x, t)表示一根金屬桿在時刻t，位置x處的溫度，常數(shù)α則是熱擴散率?？梢钥闯?，這個方程關(guān)注的是溫度的變化情況。

以現(xiàn)代人的眼光來看，用導(dǎo)數(shù)研究變化是一件順理成章的事。這當然是因為微積分已經(jīng)完全進入了我們的生活。然而此前很長一段時間里，學(xué)者們往往需要先估算不同時段的平均狀態(tài)，再推測物體狀態(tài)的整體變化規(guī)律。

微積分誕生于17世紀，恰逢理性時代崛起，一位科學(xué)巨匠迎來了他的奇跡之年。當時，躲避瘟疫的牛頓在家鄉(xiāng)農(nóng)場完成了幾項震撼世界的物理學(xué)研究，在解決這些問題的過程中，他找到了一種先進的數(shù)學(xué)工具，將極限思想引入針對變化的表達和計算——

在發(fā)表之后，微積分也一度深陷爭議，只不過這次，爭論的最大焦點不是“這個行不行”，而是“這是誰發(fā)明的”。在同一時期，另一位科學(xué)偉人萊布尼茨從另一條途徑找到了相同的方法。從此，“誰才是微積分之父”幾乎成了火藥桶的引信，一不小心就會引來激烈的爭吵。

然而，如果繼續(xù)了解兩人之前的研究，就會發(fā)現(xiàn)人類對無窮和極限的興趣由來已久。到了1656年，沃利斯的《無窮的算術(shù)》已經(jīng)提出了微積分的前身，而費馬則在1679年的《論曲線的切線》中提出了和微積分密切相關(guān)的重要問題。微積分的誕生呼之欲出，歷史很可能同時選擇了牛頓和萊布尼茨，這是巧合，也是必然。

三、不走尋常路的虛數(shù)

在傅里葉變換中，另一個不可不說的組成部分是虛數(shù)單位i——

在很多人的印象中，虛數(shù)是一個比較新鮮的概念，畢竟它的定義透著一種不走尋常路的朋克風(fēng)格——這東西居然是負數(shù)開方的產(chǎn)物。

事實上，虛數(shù)在歷史上很像一個幽靈概念。很早以前就有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，如果假設(shè)負數(shù)也能開方，一些走進死胡同的方程就可以找到出路。后來，出于實用，也出于好奇，人們便開始嘗試使用虛數(shù)。不過，包括笛卡兒和牛頓在內(nèi)，早期數(shù)學(xué)家都將虛數(shù)解釋為問題沒有解的標志。即便是對虛數(shù)給予厚望的萊布尼茨，也并不清楚它到底是什么。

到了17—19世紀初，情況逐漸轉(zhuǎn)變。數(shù)學(xué)家們提出了復(fù)平面，虛數(shù)和實數(shù)出現(xiàn)在了同一張圖上，它不再是個摸不著影的概念。

當然還有更重要的，那就是18世紀中期發(fā)表的歐拉公式。

當z=π的時候，這個式子更加驚為天人。

就這樣，虛數(shù)i將數(shù)學(xué)中最著名的兩個數(shù)字e和π融合在了一個優(yōu)雅的等式中。一切豁然開朗，后世物理學(xué)家費曼稱之為：“我們的珍寶”和“數(shù)學(xué)中最非凡的公式”。

在科學(xué)世界的背景中飄了幾百年，虛數(shù)最終被主流所接受，并且在19世紀開始大展拳腳，同微積分搭配使用更是能產(chǎn)生意想不到的效果。到了今天，復(fù)變函數(shù)與積分變換也成了諸多理科生的頭疼之源必修法寶。

四、古老又年輕的三角函數(shù)

傅里葉變換里還有一個部分，其重要性不低于虛數(shù)和微積分，它是誰？就是連小學(xué)生都知道的三角函數(shù)。

回到傅里葉變換的核心思想：時空中的任何模式都可以被看作不同頻率正弦模式的疊加。三角函數(shù)在這里充當了拆解后的元件，小巧精致，簡潔明了。三角函數(shù)當然也是數(shù)學(xué)世界里的寶物，它歷史悠久且從未過時。

不妨先說說為什么會有三角函數(shù)：因為直角三角形符合這樣一個規(guī)律：

這就是畢達哥拉斯定理，它至少有兩千年歷史。甚至有證據(jù)表明，在學(xué)者將它總結(jié)并書寫下來之前，這個規(guī)律就已經(jīng)在匠人之間傳播了。它是三角學(xué)的基礎(chǔ)，也是三角函數(shù)的基礎(chǔ)。

古人之所以熱衷于研究三角學(xué)，很大程度上是看中了它對估測巨型實物的幫助，典型應(yīng)用涉及天文、測繪、航海。從古希臘、古印度，到后來的阿拉伯世界和歐洲，三角學(xué)在傳播和發(fā)展中見證了文明的興衰。

然而，傳統(tǒng)應(yīng)用往往將三角學(xué)局限于具體的幾何問題。如果想在更廣闊的領(lǐng)域發(fā)揮作用，三角函數(shù)就需要更靈活的定義。

隨著解析幾何和分析學(xué)的出現(xiàn)，人們的視角開始轉(zhuǎn)變。終于，歐拉在18世紀發(fā)表了《無窮分析引論》，提出用直角坐標系中的單位圓重塑三角函數(shù)的定義。接下來，這些由來已久的概念開始和復(fù)數(shù)搭檔，在級數(shù)中出現(xiàn)，于是故事又回到了前面提到過的歐拉公式，當然還有我們言之不盡的傅里葉變換。

關(guān)于傅里葉變換，能說的趣事還有很多。比如，傅里葉的熱方程和達朗貝爾的波動方程十分神似卻又大不相同；比如，傅里葉變換的不同形式；比如，傅里葉與小波，等等。

事實上，每一個方程都是串在歷史脈絡(luò)上的珍珠，它們都是珍寶，也都是尋找其他珍寶的提示。科學(xué)的發(fā)展環(huán)環(huán)相扣，很多改變世界的方程都有著密不可分的關(guān)系。了解它們的過程像讀故事，也像探案，當線索匯集一處，指向未來的時候，你領(lǐng)悟到無法言說的精彩——