[科普中國]-恒模算法

序列要浪費(fèi)大量寶貴的頻譜資源, 因而人們考慮利用發(fā)射信號(hào)本身的特性而不需要參考信號(hào)來實(shí)現(xiàn)正常通信。Agee于19 86 年最早提出恒模算法t241 , 這種最小二乘恒模算法是利用發(fā)送信號(hào)的幅度統(tǒng)計(jì)特性來調(diào)整權(quán)系數(shù), 使得輸出信號(hào)的幅度保持恒定, 它能夠快速收斂、且易于實(shí)現(xiàn)、計(jì)算復(fù)雜度低,因此很快發(fā)展成為一類重要的盲算法。1

恒模算法是Bussgang類盲均衡算法中最常用的一種，就是當(dāng)參數(shù)P=2時(shí)的Godard算法。CMA算法具有計(jì)算復(fù)雜度低，易于實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)，收斂性能好等優(yōu)點(diǎn)，代價(jià)函數(shù)只與接收序列的幅值有關(guān)，而與相位無關(guān)，故對(duì)載波相位不敏感。

作為信號(hào)處理領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題, 恒模算法在九十年代得到了廣泛深入的研究, 但是它主要是被應(yīng)用于盲均衡中。隨后人們對(duì)這一盲算法進(jìn)行了很多改進(jìn), 并將其應(yīng)用到多用戶檢測(cè)、盲信號(hào)分離、干擾抑制和波束形成等領(lǐng)域, 不同程度地解決了這些領(lǐng)域中的一些難題。1

恒模算法可分為以下幾類。

多級(jí)恒模算法是J.J.Shynk等人提出的利用隨機(jī)梯度恒模算法和多級(jí)恒模陣來恢復(fù)多路恒模用戶信號(hào)的一種方法，其結(jié)構(gòu)如圖所示。

當(dāng)每一級(jí)恒模陣捕獲到一個(gè)恒模信號(hào)后，該級(jí)的自適應(yīng)信號(hào)對(duì)消器把該信號(hào)從接收數(shù)據(jù)中對(duì)消掉, 然后把含有其余信號(hào)的混合數(shù)據(jù)輸入到下一級(jí)恒模陣進(jìn)行同樣的處理, 直至把所有恒模用戶信號(hào)捕獲并分離出來，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)多路恒模用戶信號(hào)的分離接收。該串聯(lián)算法實(shí)現(xiàn)起來比較復(fù)雜，它既要實(shí)現(xiàn)對(duì)恒模用戶信號(hào)的波束形成，又要從接收數(shù)據(jù)中除掉已經(jīng)捕獲的恒模信號(hào)，兩者缺一不可，而且這兩部分都需要仔細(xì)的校正步，這無疑更增加了算法的實(shí)施難度。此外，該算法對(duì)信號(hào)對(duì)消的要求比較高，信號(hào)對(duì)消的結(jié)果會(huì)直接影響到下一級(jí)恢復(fù)其它恒模信號(hào)的效果。

恒模算法不需要訓(xùn)練, 是一種有效的盲方法, 抗窄帶千擾能力強(qiáng)、對(duì)時(shí)間同步要求低、并且對(duì)頻率偏移不敏感。但是在多用戶環(huán)境下, 單純使用傳統(tǒng)的恒模代價(jià)函數(shù), 雖然我們可以同時(shí)求出P個(gè)權(quán)矢量，但經(jīng)過多次計(jì)算，我們可能會(huì)得到指向同一目標(biāo)的權(quán)，即其代價(jià)函數(shù)通常存在多個(gè)極值點(diǎn)，并不能保證收斂到期望用戶，因而Luis Castedo等人在1997年提出了一種新準(zhǔn)則，以確保恒模算法能夠收斂到期望解。

在該式中，第一項(xiàng)是與傳統(tǒng)的方法相同的, 第二項(xiàng)相當(dāng)于是一個(gè)去相關(guān), 約束它最小, 即就是要求 與 不相關(guān)，此時(shí)的 ，即所得的權(quán)不會(huì)指向同一個(gè)方向。

由于恒模解的顯式表達(dá)形式很難給出，因而通常采用梯度下降方法來搜索最優(yōu)解：

下面計(jì)算 :

代價(jià)函數(shù)對(duì)w求偏導(dǎo)，即可得到：

我們考慮在CDMA系統(tǒng)中一組與每個(gè)用戶的特征波形相匹配的匹配濾波器的輸出端使用恒模算法的情況。通過分析和仿真, 我們發(fā)現(xiàn)單純的使用恒模算法會(huì)出現(xiàn)信源排列順序和相位的不確定性, 因而算法會(huì)收斂到不期望的解。針對(duì)這一問題，Ping He等人于1998年提出了受約束的恒模算法。

由于在CDMA系統(tǒng)中多用戶干擾對(duì)系統(tǒng)性能的決定作用遠(yuǎn)大于信道噪聲，因而不考慮信道噪聲的影響。.第i個(gè)時(shí)刻對(duì)第k個(gè)用戶檢測(cè)器的輸出為

因而其迭代公式為：

經(jīng)分析知，對(duì)于一個(gè)期望的解，我們一定有 ，這就避免了相位的不確定性的出現(xiàn)。其次，為了避免出現(xiàn)源碼排序順序的不確定性，我們要限制兩個(gè)任意解的 和 收斂到相同的最小值，這就保證了盲算法能收斂到最期望的解。

對(duì)于時(shí)域的恒模算法, 為了防止其收斂到局部最小點(diǎn),需要有嚴(yán)格的功率控制和準(zhǔn)確的初始化, 而空時(shí)的恒模算法卻不存在這一問題。Agee提出的多目標(biāo)最小二乘恒模算法首次把波束形成器和恒模算法結(jié)合起來來分離空時(shí)多用戶信號(hào), 但它計(jì)算復(fù)雜度較大。最小二乘解擴(kuò)恒模算法利用每個(gè)用戶的擴(kuò)頻信號(hào)來自適應(yīng)調(diào)節(jié)權(quán)矢量。在空時(shí)恒模算法中, 用空時(shí)權(quán)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的權(quán)。1

Aigang Feng等人于2001年提出了反饋?zhàn)赃m應(yīng)的空時(shí)恒模算法，它是第i個(gè)用戶自適應(yīng)波束形成后，用最小二乘解擴(kuò)散恒模算法來得到用戶的估計(jì)信號(hào)，然后產(chǎn)生擴(kuò)頻信號(hào)，再用該信號(hào)來作為自適應(yīng)波束形成器的訓(xùn)練信號(hào)。其新方法的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。仿真表明該方法與傳統(tǒng)的空時(shí)恒模算法相比，性能接近，但其收斂速度較快，且計(jì)算復(fù)雜度較低。1

郭燕等人于2002年提出預(yù)處理最小二乘恒模算法，該算法分為兩個(gè)階段：首先，第一階段是預(yù)處理過程，先利用靜態(tài)隨機(jī)梯度恒模算法進(jìn)行向量迭代，這時(shí)，步長因子設(shè)置為 ，其中 是接收數(shù)據(jù)矩陣的最大奇異值。這樣，算法可以迅速抑制強(qiáng)干擾信號(hào)。當(dāng)算法的收斂速度開始明顯減慢時(shí), 預(yù)處理過程結(jié)束, 第一階段的迭代停止。第二階段, 利用靜態(tài)最小二乘恒模算法進(jìn)行迭代直到算法收斂，這時(shí)，第一階段由隨機(jī)梯度恒模算法迭代所產(chǎn)生的最后的權(quán)向量作為第二階段靜態(tài)最小二乘恒模算法的初始權(quán)向量，這樣的迭代就會(huì)迅速地收斂于用戶信號(hào)，而不會(huì)再收斂于強(qiáng)干擾信號(hào)。由于最小二乘恒模算法支持任意的初始權(quán)向量，從而保證了預(yù)處理算法的全局穩(wěn)定性和收斂性。文獻(xiàn)還通過計(jì)算機(jī)仿真證明了算法的有效性，且預(yù)處理算法的輸出信噪比性能接近于維納波束形成器的輸出信噪比。隨著信號(hào)之間夾角的逐漸增大，預(yù)處理最小二乘恒模算法恢復(fù)用戶信號(hào)，抑制干擾的效果顯著增強(qiáng): 當(dāng)信號(hào)之間的夾角比較小時(shí), 也能夠收斂于期待信號(hào)。1

在所有的盲算法中, 恒模算法是最早被提出并用來解決自均衡問題的算法。它的計(jì)算復(fù)雜度與L M S 算法相近, 因而在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用。我們知道有限長的波特采樣均衡器的恒模誤差表面存在局部最小點(diǎn), 而當(dāng)不考慮噪聲時(shí), 它只要滿足“ 置零長度” 條件, 就不會(huì)出現(xiàn)局部最小點(diǎn)。S.Lambotharan等人還提出了系列的利用恒模算法來進(jìn)行盲均衡的方法, 主要是CM一CC和分?jǐn)?shù)空間采樣的方法，并對(duì)其混合參數(shù)的選擇進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析, 通過仿真證明了其理論的正確性。1

人們已經(jīng)提出了許多種不同的方法來自適應(yīng)的抑制多址干擾。Joaquin Miguez等人于1998年提出用恒模算法來進(jìn)行干擾抑制，并針對(duì)恒模算法自身的缺點(diǎn)提出了解決的力法。他們指出可以從其權(quán)矢量的初始化方面進(jìn)行考慮，選擇它的初始點(diǎn)位于捕獲區(qū)。CM 接收機(jī)相對(duì)于LCMV 接收機(jī)的優(yōu)點(diǎn)是不需要期望用戶的擴(kuò)頻碼；另一方面, 為了避免對(duì)干擾用戶的捕獲，又假定這一碼字是己知的，這兩者似乎有所矛盾。然而，我們注意到當(dāng)信道使 有所變化時(shí)LCMV接收機(jī)的性能嚴(yán)重下降,而對(duì)CM 接收機(jī)，只要不使其初始點(diǎn)離開捕獲區(qū)，它的性能都很好。其期望用戶的擴(kuò)頻碼的粗略估計(jì)是由碼捕獲電路提供。文獻(xiàn)還對(duì)恒模, 最小均方誤差, 線性約束最小方差接收機(jī)的誤碼率性能進(jìn)行了比較, 前兩者的性能近似相等, 后者稍差。同時(shí)也指出該算法有一定的局限性，對(duì)一些應(yīng)用，這種方法收斂太慢。1