[科普中國]-SIR模型

SIR模型是是一種傳播模型，是信息傳播過程的抽象描述。是傳染病模型中最經(jīng)典的模型，其中S表示易感者，I表示感染者，R表示移出者。

SIR模型的提出與定義傳染病模型有著悠久的歷史，一般認(rèn)為始于1760年Daniel Bernoulli在他的一篇論文中對接種預(yù)防天花的研究。真正的確定性傳染病數(shù)學(xué)模型研究的前進步伐早在20世紀(jì)初就開始了，Hamer、Ross等人在建立傳染病數(shù)學(xué)模型的研究中做出了大量的工作，直到1927年Kermack與McKendrick在研究流行于倫敦的黑死病時提出了的SIR倉室模型，并于1932年繼而建立了SIS模型，在對這些模型的研究基礎(chǔ)上提出了傳染病動力學(xué)中的閾值理論。Kermack與McKendrick的SIR模型是傳染病模型中最經(jīng)典、最基本的模型，為傳染病動力學(xué)的研究做出了奠基性的貢獻。

模型中把傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類：S類，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，與感病者接觸后容易受到感染；I類，感病者（Infective），指染上傳染病的人，它可以傳播給S類成員；R類，移出者（Removal），指被隔離，或因病愈而具有免疫力的人。

SIR模型的數(shù)學(xué)模型在傳染病動力學(xué)中，主要沿用的由Kermack與McKendrick在1927年用動力學(xué)1的方法建立了SIR傳染病模型。直到現(xiàn)在SIR模型仍被廣泛地使用和不斷發(fā)展。SIR模型將總?cè)丝诜譃橐韵氯悾阂赘姓?susceptibles)，其數(shù)量記為s(t)，表示t 時刻未染病但有可能被該類疾病傳染的人數(shù)；染病者(infectives)，其數(shù)量記為i(t)，表示t時刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數(shù)；恢復(fù)者(recovered)，其數(shù)量記為r(t)，表示t時刻已從染病者中移出的人數(shù)。設(shè)總?cè)丝跒镹(t)，則有N(t)=s(t)+i(t)+r(t)。

SIR模型的建立基于以下三個假設(shè)：

⑴不考慮人口的出生、死亡、流動等種群動力因素。人口始終保持一個常數(shù)，即N(t)≡K。

⑵一個病人一旦與易感者接觸就必然具有一定的傳染力。假設(shè) t 時刻單位時間內(nèi)，一個病人能傳染的易感者數(shù)目與此環(huán)境內(nèi)易感者總數(shù)s(t)成正比，比例系數(shù)為β，從而在t時刻單位時間內(nèi)被所有病人傳染的人數(shù)為βs(t)i(t)。

⑶ t 時刻，單位時間內(nèi)從染病者中移出的人數(shù)與病人數(shù)量成正比，比例系數(shù)為γ，單位時間內(nèi)移出者的數(shù)量為γi(t)。

基于以上三個假設(shè)條件，感染機制如下所示：

在以上三個基本假設(shè)條件下，可知：當(dāng)易感個體和感染個體充分混合時，感染個體的增長率為 ，易感個體的下降率為 ，恢復(fù)個體的增長率為 。易感者從患病到移出的過程可以用微分方程表示如下：

解得微分方程的解為(和表示初始值)，其中是傳染期接觸數(shù).2

s(t)、i(t)的求解十分困難，可利用相軌線分析討論解i(t)、s(t)的性質(zhì)，將單位化（即占總?cè)藬?shù)的比例），則變化曲線如下圖所示，其中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向。

分析圖像可以得到以下結(jié)論：

為保證傳染病不蔓延，需要滿足。為了達(dá)到這個目的，一方面，可以提高閾值，需降低，即減小日接觸率，可通過提高衛(wèi)生水平的方式；增大日治愈率，可以通過提高醫(yī)療水平的方式。另一方面，也可以通過群體免疫來提高，從而降低，使病情不蔓延。

基于微分方程組求解的SIR模型可以根據(jù)已有數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確地擬合曲線，并利用相軌線分析得出使傳染病不蔓延的措施，理論依據(jù)充分。

但是應(yīng)注意到，模型對人群的分類不夠細(xì)致，沒有明確考慮隔離的因素。而現(xiàn)實中對疑似病人的隔離是控制疫情傳播的有效手段。模型沒有引入反饋機制，在預(yù)測過程中，單純依據(jù)已有數(shù)據(jù)預(yù)測未來較長一段時間的數(shù)據(jù)，必然會使準(zhǔn)確度降低。此外，微分方程組求解較為困難，且對初值比較敏感，這對模型的穩(wěn)健性是一個很大的影響。3

應(yīng)用于信息傳播領(lǐng)域應(yīng)用于信息傳播的研究，SIR模型可以描述如下：最初，所有的節(jié)點都處于易感染狀態(tài)，對應(yīng)個體不知道信息的情況。然后部分節(jié)點接觸到此信息，變?yōu)楦腥緺顟B(tài)。這些節(jié)點試著感染處于易感染態(tài)的節(jié)點，或者進入恢復(fù)狀態(tài)。感染一個節(jié)點，即傳遞信息或者影響節(jié)點對某事的態(tài)度?；謴?fù)狀態(tài)，即免疫，處于恢復(fù)狀態(tài)的節(jié)點不再參與信息的傳播。4

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尹勇 - 教授 - 武漢理工大學(xué)