[科普中國]-梯形中位線定理

梯形中位線定理是幾何學(xué)的一個定理，是指連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線，梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 1。

定理定義梯形的中位線L平行于底邊，且其長度為上底加下底和的一半，用符號表示是.

L=（a+b）/2

已知中位線長度和高，就能求出梯形的面積．

S梯=2Lh÷2=Lh

中位線在關(guān)于梯形的各種題型中都是一條得天獨厚的輔助線2。

驗證推導(dǎo)如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分別是AB、CD邊上的中點，求證：EF∥AD，且EF=（AD+BC）/2

證明：

連接AF并延長交BC的延長線于G。

∵AD∥BC

∴∠ADF=∠GCF

∵F是CD的中點

∴DF=FC

∵∠AFD=∠CFG

∴△ADF≌△GCF(ASA)

∴AF=FG，AD=CG

∴F是AG的中點

∵E是AB的中點

∴EF是△ABG的中位線

∴EF∥BG,EF=BG/2=(BC+CG)/2

∴EF=(AD+BC)/2

∵AD∥BC

∴EF∥AD∥BC3

特例做法如圖的梯子。已知梯子每跨一步上升高度相同，則求內(nèi)部橫桿總長。

題示（做這些題目要注意題目的細節(jié)——上升高度相同，即每條橫桿都是小梯形的中位線）。

如果同學(xué)沒有掌握技巧，只會死算，那么大多只能做如圖的最左的五步梯，可以設(shè)未知數(shù)解，時間消耗很大，尤其是運氣不佳遇到中間或右邊的多步梯，X、Y、Z的計算量非常大。

但是題目做多了，我總結(jié)了一個規(guī)律，以左圖五步梯為例：五根橫桿的總長為1/2（30cm+50cm）X5

中圖七步梯為例：1/2(40cm+60cm)X7 那么同理，右圖九步梯則是1/2(50cm+70cm)X9

總結(jié)一下就是1/2(上底+下底)Xn

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

楊磊 - 副教授 - 北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院