[科普中國]-正切值

正切值是指是直角三角形中，某一銳角的對邊與另一相鄰直角邊的比值1。對于任意一個實數(shù)x，都對應(yīng)著唯一的角，而這個角又對應(yīng)著唯一確定的正切值tanx與它對應(yīng)，按照這個對應(yīng)法則建立的函數(shù)稱為正切函數(shù)。

數(shù)學(xué)概念定義

在直角坐標(biāo)系中（如圖）即tanθ=y/x，三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域為整個實數(shù)域。

另一種定義是在直角三角形中，但并不完全?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。

如下圖，正切是tanα=b/a

余切是cotα=a/b

正弦是sinα=b/c

余弦是cosα=a/c

正割是secα=c/a

余割是cscα=c/b

正矢是versinθ=1-cosθ

余矢是vercosθ=1-sinθ

正切函數(shù)

對于任意一個實數(shù)x，都對應(yīng)著唯一的角（弧度制中等于這個實數(shù)），而這個角又對應(yīng)著唯一確定的正切值tanx，按照這個對應(yīng)法則建立的函數(shù)稱為正切函數(shù)。 形式是f(x)=tanx 正切函數(shù)是區(qū)別于正弦函數(shù)的又一三角函數(shù)，它與正弦函數(shù)的最大區(qū)別是定義域的不連續(xù)性2。

性質(zhì)1、定義域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}

2、值域：實數(shù)集R

3、奇偶性：奇函數(shù)

4、單調(diào)性：在區(qū)間(-π/2+kπ,π/2+kπ)，k∈Z上都是增函數(shù)

5、周期性：最小正周期π（可用π/|ω|來求）

6、最值：無最大值與最小值

7、零點：kπ,k∈Z

8、對稱性:軸對稱：無對稱軸 中心對稱：關(guān)于點(kπ/2,0)對稱k∈Z

9、正切曲線的對稱中心：所有零點。坐標(biāo)（kπ，0）（k∈Z）

10、正切的兩角和與差公式：f(x+y)=f(x)+f(y)/1-f(x)f(y) f(x-y)=f(x)-f(y)/1+f(x)f(y)

11、正切函數(shù)與其它三角函數(shù)一些簡單關(guān)系：1^2+tanx^2=secx^2

tanx=1/cotx

cosx^2=1/(1+tanx^2)

12、正切函數(shù)的半角公式：tanx/2=(1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx)

13、由正弦以及余弦的降冪公式得到的正切降冪公式：tanx^2=(1-cos2x)/(1+cos2x)

14、正切函數(shù)一條結(jié)論（對做題有幫助）：當(dāng)A+B=π/4時候，必有(1+tanA)(1+tanB)=2，可用正切兩角和證明

應(yīng)用正切值在數(shù)值上與坡度相等，坡度=正切值x100%。

三角函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域有較為廣泛的應(yīng)用，在物理學(xué)方面也有一定的應(yīng)用。

三角函數(shù)在勘測地形、勘探礦產(chǎn)方面發(fā)揮著重要的作用

三角函數(shù)還用于通過視角來測量建筑物或山峰的高度

關(guān)于正切值表早期沒有電子計算器時，編制印行的角度-正切值查對表。較少使用和印行。

常用正切值：tan22.5°=√2-1，tan30°=√3/3，tan45°=1，tan60°=√3，tan67.5°=√2+1，tan90°不存在

電容器由于電容器損耗的存在，使加在電容器的電壓與電流之間的夾角（相位角）不是理想的90度，而是偏離了一個δ度，這個δ角就稱為電容器的損耗角（如右圖），習(xí)慣上以損耗角正切值表示3。

其表示式為：電容器損耗角正切值=無功功率÷總功率

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

楊磊 - 副教授 - 北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院