[科普中國(guó)]-透視投影

簡(jiǎn)介

透視投影是用中心投影法將形體投射到投影面上，從而獲得的一種較為接近視覺(jué)效果的單面投影圖。它具有消失感、距離感、相同大小的形體呈現(xiàn)出有規(guī)律的變化等一系列的透視特性，能逼真地反映形體的空間形象。

透視投影符合人們心理習(xí)慣，即離視點(diǎn)近的物體大，離視點(diǎn)遠(yuǎn)的物體小，遠(yuǎn)到極點(diǎn)即為消失，成為滅點(diǎn)。它的視景體類似于一個(gè)頂部和底部都被切除掉的棱椎，也就是棱臺(tái)。這個(gè)投影通常用于動(dòng)畫、視覺(jué)仿真以及其它許多具有真實(shí)性反映的方面。

現(xiàn)實(shí)生活中的景物，由于觀察距離及方位的不同在視覺(jué)上會(huì)引起不同的反映，這種現(xiàn)象就是透視現(xiàn)象。研究透視現(xiàn)象并使之能在平面上用線來(lái)表現(xiàn)其規(guī)律，使畫面可正確地表現(xiàn)出物體遠(yuǎn)近之間的層次關(guān)系，使觀察者獲得立體、有深度的空間感覺(jué)，就必須研究透視變換的規(guī)律。1

投影投影變換是在世界坐標(biāo)系中建立的，而計(jì)算機(jī)屏幕所顯示的圖形是在給定視點(diǎn)和視線方向下的二維屏幕投影。所以投影變換是整個(gè)圖形變換的關(guān)鍵。根據(jù)投影中心與投影平面之間距離的不同，投影可分為透視投影和正射投影。

透視投影類似于人對(duì)客觀世界的觀察方式，它的特點(diǎn)是距離視點(diǎn)近的物體比較大，而距離遠(yuǎn)的物體相對(duì)比較小，這種投影方式的視景空間可以被認(rèn)為是一個(gè)棱臺(tái)。它廣泛應(yīng)用于三維地形模擬、飛行穿越仿真、步行穿越仿真等模擬人眼視覺(jué)效果的研究領(lǐng)域。

正射投影是物體直接映射到屏幕上。正射投影實(shí)質(zhì)上是透視投影的一種特例，即視點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)或視點(diǎn)由一個(gè)點(diǎn)變?yōu)橐粋€(gè)面。它適用于某地的頂視效果圖、地形暈渲圖或需要觀察模型某一個(gè)側(cè)面不帶有形變的景觀等。2

透視圖繪制方法利用計(jì)算機(jī)繪制或顯示物體的透視圖，常采用圖形變換的矩陣方法。一般是按下列兩種方法來(lái)獲得物體透視圖。按透視變換的矩陣方法作透視圖時(shí)，畫面必須是空間透射變換的二重面，即透射軸平面，否則得到的將不是透視投影，而只是一個(gè)經(jīng)各種變換后得到的二維圖形。

1、把物體平移到適當(dāng)位置后，進(jìn)行射影變換，然后繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，最后向某一坐標(biāo)面進(jìn)行正投影。

2、把物體平移到適當(dāng)位置后，進(jìn)行繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換，然后施以射影變換，最后向某一坐標(biāo)面進(jìn)行正投影。

然而，不論采用哪種方法，得到的圖形常會(huì)出現(xiàn)較大的變形。其原因，除開(kāi)采用這些方法時(shí)難于較好地選定物體、畫面和視點(diǎn)的相對(duì)位置外，更主要的是運(yùn)用這些方法有時(shí)不能得到真正的透視圖。3

空間透射相關(guān)定義空間透射空間透射(Stereohomology)——從空間場(chǎng)k1到k2的廣義射影變換T，若變換存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的軌跡平面(稱之為界面），且對(duì)任意點(diǎn)P∈k1及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'∈k2存在一固定點(diǎn)S(稱之為透射中心)與PP'共線。則稱T是從k1到k2的空間透射變換。4

空間透視空間透視(Stereoperspective)——是透射中心S在界面c上且皆為固有元素的滿秩空間透射變換。4

中心投影中心投影(CentralProjection)——是透射中心S為可及點(diǎn)(亦即固有點(diǎn))，界面c為可及平面(亦即固有平面)的降秩空間透射變換。4

平行投影平行投影(ParallelProjection)——是透射中心S為不可及點(diǎn)(非固有點(diǎn))而界面c為可及(固有)平面的降秩空間透射變換。4

平移變換平移變換(TranslationTransformation)——是透射中心S及界面c皆非固有元素的滿秩空間透射變換。4

中心輻射相似變換中心輻射相似變換(CentralRadiationSimilarTransformation)——是透射中心S為固有點(diǎn)而界面c為非固有平面的滿秩空間透射。4

透視投影矩陣變換投影變換是圖形變換的關(guān)鍵內(nèi)容，是聯(lián)系三維空間物體與二維屏幕圖形的橋梁。在三維圖形顯示中，一般采用透視投影變換，其變換矩陣也有多種形式。

過(guò)渡坐標(biāo)系透視投影的視線（投影線）是從視點(diǎn)（觀察點(diǎn)）出發(fā)，視線是不平行的。透視投影按主滅點(diǎn)個(gè)數(shù)分為一點(diǎn)透視、二點(diǎn)透視和三點(diǎn)透視，任何一束不平行于投影平面的透視投影將匯聚成一點(diǎn)，稱之為滅點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上的滅點(diǎn)稱為主滅點(diǎn)。

三維圖形顯示采用的投影一般為一點(diǎn)透視投影，在簡(jiǎn)單一點(diǎn)透視投影變換中，由于投影平面取成坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)平面，因此用一個(gè)坐標(biāo)系即可表示透視投影變換，如圖。

在透視投影中往往要求物體不動(dòng)，讓視點(diǎn)在以形體為中心的球面上變化來(lái)觀察形體各個(gè)方向上的形象，解決的辦法是引入一個(gè)過(guò)渡坐標(biāo)系，即視點(diǎn)坐標(biāo)系。

視點(diǎn)坐標(biāo)系是左手三維直角坐標(biāo)系，與一般物體所在的世界坐標(biāo)系不同，是以人眼為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸遵循左手法則，即左手大拇指指向Z軸的正方向，與之垂直的4個(gè)手指指向X軸的正方向，四指彎曲成90°的方向是Y軸的正方向。2

實(shí)現(xiàn)矩陣變換引入了過(guò)渡坐標(biāo)系后，透視投影變換可看作是兩個(gè)基本變換，即世界坐標(biāo)系到視點(diǎn)坐標(biāo)系的變換和視點(diǎn)坐標(biāo)系到屏幕坐標(biāo)系的變換。變換矩陣有如下五步：

（1）將世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)平移到視點(diǎn)

（2）令平移后的新坐標(biāo)軸繞X'軸旋轉(zhuǎn)90°，則形體上的點(diǎn)是順轉(zhuǎn)90°。

（3）將新坐標(biāo)系繞y'順時(shí)針轉(zhuǎn)θ角，此時(shí)θ角大于180°，形體頂點(diǎn)逆轉(zhuǎn)θ角。

（4）再令新坐標(biāo)系繞x'順時(shí)針轉(zhuǎn)φ角，形體頂點(diǎn)逆轉(zhuǎn)φ。

（5）右手坐標(biāo)系變成左手坐標(biāo)系，Z軸反向。2