[科普中國]-正常重力位

定義

正常重力位是重力場理論中的一個基本概念。即一種正常地球模型的重力位，或平均地球橢球的重力位。其球函數(shù)級數(shù)表示式為

式中系數(shù)

G、M和ω分別為萬有引力常數(shù)、地球的質(zhì)量、地球自轉(zhuǎn)角速度；A、B、C分別為主慣量，其中C是繞地心坐標極軸（z軸）的轉(zhuǎn)動慣量；a和e分別是平均地球橢球體的赤道半徑和第一偏心率；(r,θ)為子午平面地心坐標，由于旋轉(zhuǎn)橢球的對稱性，U與經(jīng)度λ無關(guān)。3

確定方法確定正常重力位的方法很多，主要介紹兩種：一種叫拉普拉斯(Laplace)方法。它是將重力位函數(shù)W按球諧函數(shù)展成級數(shù)，選取級數(shù)的頭幾項，略去余項，所得的近似重力位作為正常重力位。另一種方法叫斯托克斯(Stokes)方法。它是已知旋轉(zhuǎn)橢球體的表面形狀S，以及它的總質(zhì)量M和旋轉(zhuǎn)角速度ω，然后用數(shù)學方法求得該旋轉(zhuǎn)橢球體的重力位，并把它當成正常重力位。

拉普拉斯方法用球諧函數(shù)表示的地球重力位函數(shù)：

選取頭幾項作為正常重力位。項數(shù)選取多少，需視實際觀測資料的精度和對正常重力位要求的精度而定。若選取前3項，所得正常重力位為：

當令U=常數(shù)，就可得到一簇正常位水準面，其中有一個是非常接近于大地水準面的。它通過ρ=a，θ=π/2處，因此這個水準面上的正常重力位值為：

斯托克斯方法該法是任意選擇一個近似于地球平均水準面的旋轉(zhuǎn)橢球面作為正常位水準面，并且已知其內(nèi)部質(zhì)量和旋轉(zhuǎn)角速度，然后求得其外部位作為地球正常位。這種選擇方法更方便實用，其正常重力場公式就不必采用球諧函數(shù)級數(shù)展開方法推求，而采用斯托克斯理論直接導出其嚴密公式（封閉公式）。在推求公式時，引入了橢球正交坐標系，這里直接給出旋轉(zhuǎn)橢球上的正常重力公式（又稱索米里安公式）：

式中，B是大地緯度（橢球面法線與赤道面的交角），a、b分別為橢球的長半徑和短半徑，γe是橢球赤道上的正常重力，γp是橢球極點上的正常重力。

以上是封閉形式的公式，在實際應用中，還可導出級數(shù)展開、顧及到扁率平方級的正常重力公式：

式中

這就是索米里安實用公式，又稱二級小的克萊羅定理。

兩點說明：①封閉公式基礎(chǔ)上進行的級數(shù)展開，可根據(jù)要求的精度決定展開的項數(shù)，橢圓形狀不會因此而改變。②引入新符號：

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位函數(shù)引入位函數(shù)即勢函數(shù)。4描述場的一種量。數(shù)值上等于單位質(zhì)量的質(zhì)點由無窮遠處(相對于場的作用范圍)移至該點力場所作的功。是空間坐標的函數(shù)，在其方向上的投影等于該點的場強度在同一方向上的分量。例如，設(shè)作用在質(zhì) 量為m的質(zhì)點上的力為F(x,y,z)， 它對質(zhì)點所作的功為

式中ds為在力作用方向上的位移; 若力F(x,y,z)只是坐標的函數(shù)，則Fxdx+Fydy+Fzdz恰是某一函數(shù)φ(x,y,z)的全微分，即

則把函數(shù)φ(x，y，z)稱為力的位函數(shù)。力場位函數(shù)是一種標量函數(shù)。僅當空間位置的矢量函數(shù)的旋度為零時，該函數(shù)才可用一個標量函數(shù)的梯度來表示; 力的旋度為零是力場位函數(shù)存在的充要條件。在地震學中研究波的傳播時，引入標量位函數(shù)和矢量位函數(shù)，對運動方程進行分離變量處理，可得到分別用標量位函數(shù)和矢量位函數(shù)表示的兩個獨立的波動方程。前者只包含脹縮變形，后者只包含等體積的切變變形。位函數(shù)的概念使用很廣。除力場位函數(shù)外，還有表面電荷或質(zhì)量分布的位函數(shù)，電荷或質(zhì)量體積分布位函數(shù)以及表面上雙層偶極子分布位函數(shù)等。5