[科普中國]-亥姆霍茲方程

亥姆霍茲方程（英語：Helmholtz equation）是一個描述電磁波的橢圓偏微分方程，以德國物理學家亥姆霍茲的名字命名。

簡介亥姆霍茲方程（英語：Helmholtz equation）是一個描述電磁波的橢圓偏微分方程，以德國物理學家亥姆霍茲的名字命名。其基本形式如下：1

其中 ?是拉普拉斯算子，k是波數(shù)，A是振幅。

動機和用途亥姆霍茲方程通常出現(xiàn)在涉及同時存在空間和時間依賴的偏微分方程的物理問題的研究中。例如，考慮波動方程：2

在假定u(r,t) 是可分離變量情況下分離變量得：

將此形式代入波動方程，化簡得到下列方程：

注意左邊的表達式只取決于r，而右邊的表達式只取決于t。其結果是，當且僅當?shù)仁絻蛇叾嫉扔诤愣ㄖ禃r，該方程在一般情況下成立。從這一觀察中，可以得到兩個方程，一個是對A(r) 的，另一個是對T(t) 的：

而

在不失一般性的情況下，選擇 ?k這個表達式作為這個常值。（使用任何常數(shù)k作為分離常數(shù)都同樣有效；選擇 ?k只是為了求解方便。）

調(diào)整第一個方程，可以得到亥姆霍茲方程：

同樣，在用

進行代換之后，第二個方程成為

其中k是分離常數(shù)波數(shù)，ω是角頻率。注意到現(xiàn)在有了空間變量的亥姆霍茲方程和一個二階時間常微分方程。時間解是一個正弦和余弦函數(shù)的線性組合，而空間解的形式依賴于具體問題的邊界條件。經(jīng)?？梢允褂美绽棺儞Q或者傅立葉變換這樣的積分變換將雙曲的偏微分方程轉(zhuǎn)化為亥姆霍茲方程的形式。

因為它和波動方程的關系，亥姆霍茲方程在物理學中電磁輻射、地震學和聲學等相關研究領域里有著廣泛應用。

參閱基爾霍夫積分定理

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

杜強 - 高級工程師 - 中國科學院工程熱物理研究所