[科普中國]-ARCH模型

ARCH模型（Autoregressive conditional heteroskedasticity model）全稱“自回歸條件異方差模型”，解決了傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)對時間序列變量的第二個假設(shè)（方差恒定）所引起的問題。這個模型是獲得2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)成果之一。

簡介作為一種全新的理論，ARCH模型在近十幾年里得到了極為迅速的發(fā)展，已被廣泛地用于驗(yàn)證金融理論中的規(guī)律描述以及金融市場的預(yù)測和決策。

ARCH模型是獲得2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)成果之一。被認(rèn)為是最集中反映了方差變化特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)時間序列分析的模型。ARCH模型是過去20年內(nèi)金融計(jì)量學(xué)發(fā)展中最重大的創(chuàng)新。所有的波動率模型中,ARCH類模型無論從理論研究的深度還是從實(shí)證運(yùn)用的廣泛性來說都是獨(dú)一無二的。

ARCH模型指自回歸條件異方差模型，該模型針對因變量的方差進(jìn)行描述并預(yù)測。其中，被解釋變量的方差按照公式的設(shè)定而依賴于該變量的過去值，或依賴于一些獨(dú)立的外生變量。

基本思想ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一時刻一個噪聲的發(fā)生是服從正態(tài)分布。該正態(tài)分布的均值為零，方差是一個隨時間變化的量(即為條件異方差)。并且這個隨時間變化的方差是過去有限項(xiàng)噪聲值平方的線性組合(即為自回歸)。這樣就構(gòu)成了自回歸條件異方差模型。

由于需要使用到條件方差，我們這里不采用恩格爾的比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膹?fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式，而是采取下面的表達(dá)方式，以便于我們把握模型的精髓。見如下數(shù)學(xué)表達(dá)：

(1)其中，

★為因變量，

★為自變量，

★為誤差項(xiàng)。

如果誤差項(xiàng)的平方服從AR(q)過程，即

(2)其中，

獨(dú)立同分布，并滿足 ,則稱上述模型是自回歸條件異方差模型。簡記為ARCH模型。稱序列 服從q階的ARCH的過程，記作 －ARCH(q)。為了保證 為正值，要求

上面（1）和（2）式構(gòu)成的模型被稱為回歸－ARCH模型。ARCH模型通常對主體模型的隨機(jī)擾動項(xiàng)進(jìn)行建模分析。以便充分的提取殘差中的信息，使得最終的模型殘差ηt成為白噪聲序列。

從上面的模型中可以看出，由于噪聲的方差是過去有限項(xiàng)噪聲值平方的回歸，也就是說噪聲的波動具有一定的記憶性，因此，如果在以前時刻噪聲的方差變大，那么在此刻噪聲的方差往往也跟著變大；如果在以前時刻噪聲的方差變小，那么在此刻噪聲的方差往往也跟著變小。體現(xiàn)到期貨市場，那就是如果前一階段期貨合約價格波動變大，那么在此刻市場價格波動也往往較大，反之亦然。這就是ARCH模型所具有描述波動的集群性的特性，由此也決定它的無條件分布是一個尖峰胖尾的分布。

ARCH模型的應(yīng)用ARCH模型能準(zhǔn)確地模擬時間序列變量的波動性的變化，它在金融工程學(xué)的實(shí)證研究中應(yīng)用廣泛，使人們能更加準(zhǔn)確地把握風(fēng)險（波動性），尤其是應(yīng)用在風(fēng)險價值（Value at Risk）理論中，在華爾街是人盡皆知的工具。1

ARCH模型的變形和發(fā)展波勒斯勒夫（Bollerslev）提出GARCH模型（Generalized ARCH）；

利立安（Lilien）提出ARCH-M模型；

羅賓斯（Robbins）提出NARCH模型

參見時間序列

風(fēng)險價值

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

杜強(qiáng) - 高級工程師 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所