[科普中國]-黎卡提方程

黎卡提方程是最簡單的一類非線性方程。形如y'=P(x)y2+Q(x)y+R(x)的方程稱為黎卡提方程。

簡介黎卡提方程是最簡單的一類非線性方程。形如y'=P(x)y2+Q(x)y+R(x)的方程稱為黎卡提方程。

對(duì)其特例y'=-by2+cxα，劉維爾(Liouville,J.)于1941年證明了：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程才能求得用初等函數(shù)及其積分所表示的通解。劉維爾的工作使得人們的注意力開始轉(zhuǎn)向微分方程解的定性研究、數(shù)值計(jì)算以及求近似解上。

發(fā)展十七世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家黎卡提提出如下方程：dy/dx=P(x)y2+Q(x)y+R(x)，稱為黎卡提方程。

1841年法國數(shù)學(xué)家劉維爾證明了黎卡提(Riccati)方程一般沒有初等解法，但是很多實(shí)際問題與理論問題又迫切需要求得這個(gè)方程的解，這也使得這一方程成為世界著名難題。

黎卡提方程自從十七世紀(jì)黎卡提提出以來，歷經(jīng)三百多年一直未有一般解法，雖然有眾多特例解法，但是都未能從根本上解決這個(gè)方程。

應(yīng)用無論在微分方程的經(jīng)典理論或在近代科學(xué)的有關(guān)分支，黎卡提方程均有重要應(yīng)用。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡啟洲 - 副教授 - 南京理工大學(xué)