[科普中國]-常微分方程定性理論

常微分方程定性理論是常微分方程在不求出解的情況下研究解的分布和性態(tài)的基本理論。

簡介常微分方程定性理論是常微分方程在不求出解的情況下研究解的分布和性態(tài)的基本理論。

發(fā)展19世紀(jì)中葉以前，對具體的微分方程或微分方程組，人們總是力求找出其通解的分析表達(dá)式。但很多情況都遇到了困難，后來才知道在絕大多數(shù)情況下，特別是對非線性微分方程要得出其通解一般是不可能的。

19世紀(jì)后期，法國大數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincare,(J.-)H.)創(chuàng)立了常微分方程定性理論。其基本思想是從微分方程本身的特征去設(shè)法推斷其解所具有的性質(zhì)，這就要從一些具有特殊性質(zhì)的特解著手，如對奇點、周期解、極限環(huán)，以及更一般地，對軌線的極限集等加以分析研究，在此基礎(chǔ)上就可能對常微分方程所確定的解的總體的大范圍性態(tài)作出判斷。這就是常微分方程定性理論的基本部分。

經(jīng)過后人的不斷發(fā)展充實，定性理論已成為微分方程理論中一個最基本的分支。

常微分方程常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。

數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡啟洲 - 副教授 - 南京理工大學(xué)