[科普中國]-超橢圓積分

超橢圓積分其積分值完全由L本身的起始點(diǎn)和終點(diǎn)所確定，和Abel積分的一般情形一樣，任何超橢圓積分均可表示成一些初等函數(shù)和具有特殊形式的第一、二、 三類典范超橢圓積分的線性組合。

簡介超橢圓積分是一類特殊的阿貝尓積分，其中 R 是 z，w 的有理函數(shù)(rational function)，變量z，w 滿足一個(gè)特殊類型的代數(shù)方程。這里 P(z) 是一個(gè)次數(shù) 的沒有重根的多項(xiàng)式。

當(dāng) P 的次數(shù) m=3，4時(shí)，它是橢圓積分 (elliptic integral)，而當(dāng)m=5，6時(shí)，也稱為超橢圓積分(ultra-elliptic integral) 。

方程對(duì)應(yīng)于一個(gè)虧格為 g 的雙葉緊黎曼曲面 F，其中當(dāng) m 為偶數(shù)時(shí)，g=(m-2)/2；當(dāng) m 為奇數(shù)時(shí)，g=(m-1)/2。因此對(duì)超橢圓積分有。函數(shù)z，w ，從而 都是 F 上的單值函數(shù)。而作為定積分的積分式由 F 上的某個(gè)解析函數(shù)沿著一條可求長的路徑 L 的曲線積分(curvilinear integral) 給出，一般地其積分值完全由 L 本身的起點(diǎn)和終點(diǎn)所確定。

表示和阿貝尓積分的一般情形一樣，任何超橢圓積分均可表示一些初等函數(shù)和具有特殊形式的第一類、第二類、第三類典范超橢圓積分的線性組合。

因此第一類正規(guī)超橢圓積分 (normal hyper-elliptic integral of the first king) 是第一類超橢圓積分

的線性結(jié)合，這里 對(duì)超橢圓曲面 F 的情況是第一類阿貝尓微分的最簡單的基。第二，三類阿貝尓微分及相應(yīng)的超橢圓積分的顯式表達(dá)式也可以容易地算出。大體上看，超橢圓積分理論與阿貝尓積分的一般理論是一致的。

變量 z,w 的滿足方程的所有有理函數(shù)形成一個(gè)虧格 g 的代數(shù)函數(shù)的超橢圓域 (hyper-elliptic field)。虧格 g=1或2的緊黎曼曲面分別有一個(gè)橢圓或超橢圓域。然而當(dāng)虧格 g=3 或更大時(shí)，存在結(jié)構(gòu)復(fù)雜的緊黎曼曲面使得這一結(jié)論不再成立。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)