[科普中國]-向量值函數(shù)

我們知道，一元函數(shù)是一個(gè)由定義域到值域的映射，其定義域與值域都是一維數(shù)集．我們要研究的向量值函數(shù)是指分量都是關(guān)于同一自變量的一元函數(shù)，就是說 n 元向量值函數(shù)是x到xn上的映射。我們感興趣的是取值為二維和三維的向量值函數(shù)，即n = 2和n = 3的情形。

定義一個(gè)函數(shù)，若其值域是一個(gè)線性空間或一個(gè)線性空間的一個(gè)子集，則稱此函數(shù)為向量值函數(shù)。1

引入在平面內(nèi)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的坐標(biāo)(x, y)可以描述為x = f (t),，y = g(t)，t∈I ，這樣點(diǎn)(x, y) = (f (t), g(t))形成平面曲線C ，它是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路徑，它用參數(shù)方程來描述。如果用r(t)表示從原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的位置P(f (t), g(t))的向量，那么r(t) = OP = {f (t), g(t)} = f (t)i + g(t)j。

定義式r(t) ={f (t), g(t), h(t)}= f (t)i + g(t)j+ h(t)k。

參數(shù)方程Γ : x = f (t), y = g(t), z = h(t), t∈I。

極限與連續(xù)引入對于二維向量值函數(shù)r(t) = f (t)i + g(t)j，設(shè)它在t0的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果lim f(t)=a (t→t0)，lim g(t)=b (t→t0)，則稱當(dāng)t →t0 時(shí)，向量值函數(shù)r(t)的極限存在，其極限為lim r(t)=ai+bj (t→t0)；

如果二維向量值函數(shù)r(t) = f(t)i + g(t)j在t0 的某鄰域內(nèi)有定義，且lim r(t)=r(t0) (t→t0)，則稱向量值函數(shù)r(t)在點(diǎn)t0處連續(xù)；

如果r(t)在區(qū)間 I 的每個(gè)點(diǎn)上連續(xù)，則稱r(t)為區(qū)間 I 上連續(xù)的向量值函數(shù)。

極限表達(dá)式lim r(t)=ai+bj (t→t0)，其中l(wèi)im f(t)=a (t→t0)，lim g(t)=b (t→t0)。

微分若向量值函數(shù)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)**k，**則向量值函數(shù)的微分表達(dá)式為：

r'(t) = x'(t)i + y'(t)j+z'(t)k或dr(t)/dt = {dx(t)/dt+dy(t)/dt+dz(t)/dt}。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)