[科普中國(guó)]-互反

互反律可能是指：二次互反律或三次互反律。在數(shù)論中，特別是在同余理論里，二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是一個(gè)用于判別二次剩余，即二次同余方程之整數(shù)解的存在性的定律；三次互反律是關(guān)于模代數(shù)中兩個(gè)對(duì)應(yīng)的三次方程的可解性之間的關(guān)系的結(jié)論和定理。

二次互反律在數(shù)論中，特別是在同余理論里，二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是一個(gè)用于判別二次剩余，即二次同余方程 之整數(shù)解的存在性的定律。二次互反律揭示了方程 可解和 可解的簡(jiǎn)單關(guān)系。運(yùn)用二次互反律可以將模數(shù)較大的二次剩余判別問(wèn)題轉(zhuǎn)為模數(shù)較小的判別問(wèn)題，并最后歸結(jié)為較少的幾個(gè)情況，從而在實(shí)際上解決了二次剩余的判別問(wèn)題。然而，二次互反律只能提供二次剩余的存在性，對(duì)于二次同余方程的具體求解并沒(méi)有實(shí)際幫助。

二次互反律常用勒讓德符號(hào)表述：對(duì)于兩個(gè)奇素?cái)?shù)p和q，

其中 是勒讓德符號(hào)。但是對(duì)于更一般的雅可比符號(hào)和希爾伯特符號(hào)也有對(duì)應(yīng)的二次互反律。

歐拉和勒讓德都曾經(jīng)提出過(guò)二次互反律的猜想。但第一個(gè)嚴(yán)格的證明是由高斯在1796年作出的，隨后他又發(fā)現(xiàn)了另外七個(gè)不同的證明。在《算數(shù)研究》一書(shū)和相關(guān)論文中，高斯將其稱為“基石”：此基石應(yīng)當(dāng)被視為此類型的定理中最為典雅的其中之一。私下里高斯把二次互反律譽(yù)為算術(shù)理論中的寶石，是一個(gè)黃金定律。

高斯之后雅可比、柯西、劉維爾、克羅內(nèi)克、弗洛貝尼烏斯等也相繼給出了新的證明。至今，二次互反律已有超過(guò)200個(gè)不同的的證明。二次互反律可以推廣到更高次的情況，如三次互反律等等。1

三次互反律在數(shù)學(xué)中，三次互反律是關(guān)于模代數(shù)中兩個(gè)對(duì)應(yīng)的三次方程的可解性之間的關(guān)系的結(jié)論和定理。

如果是中范數(shù)為P的一個(gè)素?cái)?shù)。與互素。定義三次剩余符號(hào)為一個(gè)三次單位根，并滿足

再定義“原初”素?cái)?shù)是模3同余于-1的素?cái)?shù)。由于每個(gè)素?cái)?shù)在乘以中的一個(gè)單位元后都會(huì)成為“原初”素?cái)?shù)，因此關(guān)于“原初”素?cái)?shù)的定律仍具有普遍性。這時(shí)，三次互反律說(shuō)明，對(duì)兩個(gè)不同的“原初”素?cái)?shù)和，有

此外有輔助定理：如果 那么：

參見(jiàn)同余

同余方程

二次剩余

高斯引理

二次互反律的證明

阿廷互反律

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)