[科普中國(guó)]-概率

概率，又稱或然率、機(jī)會(huì)率、機(jī)率（幾率）或可能性，它是概率論的基本概念。概率是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的度量，一般以一個(gè)在0到1之間的實(shí)數(shù)表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小。

歷史第一個(gè)系統(tǒng)地推算概率的人是16世紀(jì)的卡爾達(dá)諾。記載在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。書中關(guān)于概率的內(nèi)容是由Gould從拉丁文翻譯出來(lái)的。

卡爾達(dá)諾的數(shù)學(xué)著作中有很多給賭徒的建議。這些建議都寫成短文。然而，首次提出系統(tǒng)研究概率的是在帕斯卡和費(fèi)馬來(lái)往的一系列信件中。這些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找費(fèi)馬請(qǐng)教幾個(gè)關(guān)于由Chevvalier de Mere提出的問(wèn)題。Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宮廷的顯要，也是一名狂熱的賭徒。問(wèn)題主要是兩個(gè)：擲骰子問(wèn)題和比賽獎(jiǎng)金分配問(wèn)題。

概率是度量偶然事件發(fā)生可能性的數(shù)值。假如經(jīng)過(guò)多次重復(fù)試驗(yàn)(用X代表)，偶然事件(用A代表)出現(xiàn)了若干次(用Y代表)。以X作分母，Y作分子，形成了數(shù)值(用P代表)。在多次試驗(yàn)中，P相對(duì)穩(wěn)定在某一數(shù)值上，P就成為A出現(xiàn)的概率。如偶然事件的概率是通過(guò)長(zhǎng)期觀察或大量重復(fù)試驗(yàn)來(lái)確定，則這種概率為統(tǒng)計(jì)概率或經(jīng)驗(yàn)概率。研究支配偶然事件的內(nèi)在規(guī)律的學(xué)科叫概率論。屬于數(shù)學(xué)上的一個(gè)分支。概率論揭示了偶然現(xiàn)象所包含的內(nèi)部規(guī)律的表現(xiàn)形式。所以，概率，對(duì)人們認(rèn)識(shí)自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象有重要的作用。比如，社會(huì)產(chǎn)品在分配給個(gè)人消費(fèi)以前要進(jìn)行扣除，需扣除多少，積累應(yīng)在國(guó)民收入中占多大比重等，就需要運(yùn)用概率論來(lái)確定。

定義來(lái)源概率（Probability）一詞來(lái)源于拉丁語(yǔ)“probabilitas”，又可以解釋為 probity.Probity的意思是“正直、誠(chéng)實(shí)”，在歐洲probity用來(lái)表示法庭案例中證人證詞的權(quán)威性，且通常與證人的聲譽(yù)相關(guān)?？傊c現(xiàn)代意義上的概率“可能性”含義不同。

古典定義如果一個(gè)試驗(yàn)滿足兩條：

（1）試驗(yàn)只有有限個(gè)基本結(jié)果；

（2）試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果出現(xiàn)的可能性是一樣的。

這樣的試驗(yàn)便是古典試驗(yàn)。

對(duì)于古典試驗(yàn)中的事件A，它的概率定義為：P(A)= ，其中n表示該試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果的總數(shù)目。m表示事件A包含的試驗(yàn)基本結(jié)果數(shù)。這種定義概率的方法稱為概率的古典定義。1

頻率定義隨著人們遇到問(wèn)題的復(fù)雜程度的增加，等可能性逐漸暴露出它的弱點(diǎn)，特別是對(duì)于同一事件，可以從不同的等可能性角度算出不同的概率，從而產(chǎn)生了種種悖論。另一方面，隨著經(jīng)驗(yàn)的積累，人們逐漸認(rèn)識(shí)到，在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率，總在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示一定的穩(wěn)定性。R.von米澤斯把這個(gè)固定數(shù)定義為該事件的概率，這就是概率的頻率定義。從理論上講，概率的頻率定義是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

統(tǒng)計(jì)定義在一定條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，nA為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，如果隨著n逐漸增大，頻率nA/n逐漸穩(wěn)定在某一數(shù)值p附近，則數(shù)值p稱為事件A在該條件下發(fā)生的概率，記做P(A)=p。這個(gè)定義成為概率的統(tǒng)計(jì)定義。

在歷史上，第一個(gè)對(duì)“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n逐漸增大，頻率nA穩(wěn)定在其概率p上”這一論斷給以嚴(yán)格的意義和數(shù)學(xué)證明的是雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）2。

從概率的統(tǒng)計(jì)定義可以看到，數(shù)值p就是在該條件下刻畫事件A發(fā)生可能性大小的一個(gè)數(shù)量指標(biāo)。

由于頻率總是介于0和1之間，從概率的統(tǒng)計(jì)定義可知，對(duì)任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。其中Ω、Φ分別表示必然事件（在一定條件下必然發(fā)生的事件）和不可能事件（在一定條件下必然不發(fā)生的事件）。

公理化定義柯爾莫哥洛夫于1933年給出了概率的公理化定義，如下：

設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間。對(duì)于E的每一事件A賦于一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率。這里P(A)是一個(gè)集合函數(shù)，P(A)要滿足下列條件：

（1）非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件A，有P(A)≥0;

（2）規(guī)范性：對(duì)于必然事件Ω，有P(Ω)=1;

（3）可列可加性：設(shè)A1，A2……是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），則有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……

性質(zhì)概率具有以下7個(gè)不同的性質(zhì)：

性質(zhì)1：P(Φ)=0；

性質(zhì)2：（有限可加性）當(dāng)n個(gè)事件A1,…,An兩兩互不相容時(shí)： P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An)；

性質(zhì)3：對(duì)于任意一個(gè)事件A：P(A)=1-P(非A)；

性質(zhì)4：當(dāng)事件A,B滿足A包含于B時(shí)：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)；

性質(zhì)5：對(duì)于任意一個(gè)事件A，P(A)≤1；

性質(zhì)6：對(duì)任意兩個(gè)事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)；

性質(zhì)7：（加法公式）對(duì)任意兩個(gè)事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

名詞事件在一個(gè)特定的隨機(jī)試驗(yàn)中，稱每一可能出現(xiàn)的結(jié)果為一個(gè)基本事件，全體基本事件的集合稱為基本空間。隨機(jī)事件（簡(jiǎn)稱事件）是由某些基本事件組成的，例如，在連續(xù)擲兩次骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中，用Z，Y分別表示第一次和第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一點(diǎn)（Z，Y）表示一個(gè)基本事件，因而基本空間包含36個(gè)元素?！包c(diǎn)數(shù)之和為2”是一事件，它是由一個(gè)基本事件（1，1）組成，可用集合{（1，1）}表示，“點(diǎn)數(shù)之和為4”也是一事件，它由（1，3），（2，2），（3，1）3個(gè)基本事件組成，可用集合{（1，3），(3，1)，（2，2)}表示。如果把“點(diǎn)數(shù)之和為1”也看成事件，則它是一個(gè)不包含任何基本事件的事件，稱為不可能事件。P(不可能事件)=0。在試驗(yàn)中此事件不可能發(fā)生。如果把“點(diǎn)數(shù)之和小于40”看成一事件，它包含所有基本事件，在試驗(yàn)中此事件一定發(fā)生，稱為必然事件。P(必然事件)=1。實(shí)際生活中需要對(duì)各種各樣的事件及其相互關(guān)系、基本空間中元素所組成的各種子集及其相互關(guān)系等進(jìn)行研究3。

在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件。

通常一次實(shí)驗(yàn)中的某一事件由基本事件組成。如果一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，即此實(shí)驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么這種事件就叫做等可能事件。

互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件。

對(duì)立事件：即必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對(duì)立事件。

概型古典概型

古典概型討論的對(duì)象局限于隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果為有限個(gè)等可能的情形，即基本空間由有限個(gè)元素或基本事件組成，其個(gè)數(shù)記為n，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相同的。若事件A包含m個(gè)基本事件，則定義事件A發(fā)生的概率為p（A）= ，也就是事件A發(fā)生的概率等于事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)除以基本空間的基本事件的總個(gè)數(shù)，這是P.-S.拉普拉斯的古典概型定義，或稱之為概率的古典定義。歷史上古典概型是由研究諸如擲骰子一類賭博游戲中的問(wèn)題引起的。計(jì)算古典概型，可以用窮舉法列出所有基本事件，再數(shù)清一個(gè)事件所含的基本事件個(gè)數(shù)相除，即借助組合計(jì)算可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

幾何概型

幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)中的基本事件有無(wú)窮多個(gè)，且每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的，這時(shí)就不能使用古典概型，于是產(chǎn)生了幾何概型。幾何概型的基本思想是把事件與幾何區(qū)域?qū)?yīng)，利用幾何區(qū)域的度量來(lái)計(jì)算事件發(fā)生的概率，布豐投針問(wèn)題是應(yīng)用幾何概型的一個(gè)典型例子3。

設(shè)某一事件A（也是S中的某一區(qū)域），S包含A，它的量度大小為μ(A)，若以P(A)表示事件A發(fā)生的概率，考慮到“均勻分布”性，事件A發(fā)生的概率取為：P(A)=μ(A)/μ(S)，這樣計(jì)算的概率稱為幾何概型。若Φ是不可能事件，即Φ為Ω中的空的區(qū)域，其量度大小為0，故其概率P(Φ)=0。

在概率論發(fā)展的早期，人們就注意到古典概型僅考慮試驗(yàn)結(jié)果只有有限個(gè)的情況是不夠的，還必須考慮試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)限個(gè)的情況。為此可把無(wú)限個(gè)試驗(yàn)結(jié)果用歐式空間的某一區(qū)域S表示，其試驗(yàn)結(jié)果具有所謂“均勻分布”的性質(zhì)，關(guān)于“均勻分布”的精確定義類似于古典概型中“等可能”只一概念。假設(shè)區(qū)域S以及其中任何可能出現(xiàn)的小區(qū)域A都是可以度量的，其度量的大小分別用μ(S)和μ(A)表示。如一維空間的長(zhǎng)度，二維空間的面積，三維空間的體積等。并且假定這種度量具有如長(zhǎng)度一樣的各種性質(zhì)，如度量的非負(fù)性、可加性等。

區(qū)別頻率對(duì)事件發(fā)生可能性大小的量化引入“概率”。獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)總次數(shù)n,事件A發(fā)生的頻數(shù)μ，事件A發(fā)生的頻率Fn(A)=μ/n，A的頻率Fn(A)有沒有穩(wěn)定值？如果有，就稱頻率μ/n的穩(wěn)定值p為事件A發(fā)生的概率，記作P(A)=p（概率的統(tǒng)計(jì)定義）。

P(A)是客觀的，而Fn(A)是依賴經(jīng)驗(yàn)的。統(tǒng)計(jì)中有時(shí)也用n很大的時(shí)候的Fn(A)值當(dāng)概率的近似值。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)