[科普中國]-切向量場

設(shè)M是可微的流形， 在M的每一點(diǎn)處安放一個(gè)切向量， 要求這些切向量的基點(diǎn)連續(xù)移動(dòng)時(shí)，他們也跟著連續(xù)地變動(dòng)的。這些切向量全體稱為M上的一個(gè)切向量場。

簡介切向量場即切叢的截片。

設(shè) M 為巴拿赫微分流形， 為其切叢，若 Cr 映射 滿足條件，其中 id 為 M 上的恒同映射，則稱 ξ 為 M 上的一個(gè) Cr 切向量場，切向量場也常簡稱向量場。1

舉例地球是一個(gè)流形 M ， 在1月1日12:00，我們把地球上的每一點(diǎn)處的風(fēng)向記下來，畫成一張全球風(fēng)向圖。 一點(diǎn)處的風(fēng)向就是切向量， 這張風(fēng)向圖就是切向量場。

一個(gè)著名的定理就是說，地球上任何時(shí)刻的風(fēng)向圖中， 必有一處的風(fēng)速為零（就是沒有風(fēng)）。

這說明微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)有著密切的關(guān)系。 上述定理實(shí)際上是著名的DeRham上同調(diào)的推論。

切叢切叢是微分流形M上的一種特殊的向量叢，一般記為T(M),它的秩就等于流形M的維數(shù)的兩倍。切叢的截面就是我們說的切向量場。

幾何直觀上說， 切叢就是流形上每一點(diǎn)處的切空間“粘合”在一起得到的新流形--即向量叢。 這是流形自帶的一個(gè)向量叢，它反映了該流形的大范圍性質(zhì)和局部性質(zhì)的聯(lián)系。

利用切叢和余切從，我們可以得到(p,q)型張量。由此可以引入聯(lián)絡(luò)的概念，人們就可以像計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù)那樣去描述切向量的變化。

很多幾何概念都可以通過切叢和余切叢來定義。比如黎曼度量的概念也可以從切叢的局部化上定義，進(jìn)而得到大范圍上的度量。近復(fù)結(jié)構(gòu)也可以利用切叢來定義。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)