[科普中國(guó)]-?？臻g

?？臻g（Moduli Space）是代數(shù)幾何中重要的研究對(duì)象。

考慮一類(lèi)代數(shù)對(duì)象（比如同虧格的代數(shù)曲線）和他們的等價(jià)關(guān)系，粗略地說(shuō)，?？臻g是新的代數(shù)對(duì)象（代數(shù)簇，或者概形（scheme）等），它能夠作為前者的參數(shù)空間。也就是說(shuō)，?？臻g中的每一個(gè)點(diǎn)代表了這類(lèi)代數(shù)對(duì)象的一個(gè)等價(jià)類(lèi)。嚴(yán)格地說(shuō)，模空間還要滿(mǎn)足額外的性質(zhì)，比如泛性質(zhì)（universal property）。?？臻g分粗略的模空間（coarse moduli space）和精細(xì)的?？臻g（fine moduli space）。1

概念模空間（Moduli Space）是代數(shù)幾何中重要的研究對(duì)象。

考慮一類(lèi)代數(shù)對(duì)象（比如同虧格的代數(shù)曲線）和他們的等價(jià)關(guān)系，粗略地說(shuō)，?？臻g是新的代數(shù)對(duì)象（代數(shù)簇，或者概形（scheme）等），它能夠作為前者的參數(shù)空間。也就是說(shuō)，?？臻g中的每一個(gè)點(diǎn)代表了這類(lèi)代數(shù)對(duì)象的一個(gè)等價(jià)類(lèi)。嚴(yán)格地說(shuō)，模空間還要滿(mǎn)足額外的性質(zhì)，比如泛性質(zhì)（universal property）。?？臻g分粗略的模空間（coarse moduli space）和精細(xì)的?？臻g（fine moduli space）。1

基本實(shí)例橢圓曲線（標(biāo)記了一個(gè)點(diǎn)的虧格1的光滑代數(shù)曲線）的模空間是一維的。

虧格為g大于等于2的光滑復(fù)代數(shù)曲線的?？臻g是維數(shù)等于3g-3的復(fù)代數(shù)簇。

?？臻g的緊化在很多問(wèn)題中所考慮的對(duì)象的?？臻g不是完備的。比如上述虧格為g大于等于2的光滑代數(shù)曲線的?？臻g是一個(gè)擬射影簇（Mumford）。這些?？臻g可以被以不同的方式完備化（添加不同的點(diǎn)）。

代數(shù)幾何研究多項(xiàng)式方程組在仿射或射影空間里的公共零點(diǎn)集合的幾何特性的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。換言之，它是研究代數(shù)簇的。代數(shù)幾何與許多其他數(shù)學(xué)分支有著密切的聯(lián)系。通常假設(shè)代數(shù)簇V中點(diǎn)的坐標(biāo)在某個(gè)固定域k中選取，k稱(chēng)為V的基域。V為不可約(即V不能分解成兩個(gè)比它小的閉代數(shù)子簇的并)時(shí)，V上所有有理函數(shù)(即兩個(gè)多項(xiàng)式的商)全體也構(gòu)成一個(gè)域，稱(chēng)為V的有理函數(shù)域，它是k的一個(gè)有限生成擴(kuò)域。通過(guò)這樣的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，代數(shù)幾何可以看成是用幾何的語(yǔ)言和觀點(diǎn)來(lái)研究有限生成擴(kuò)域。

代數(shù)幾何的基本問(wèn)題就是代數(shù)簇的分類(lèi)。包括雙有理分類(lèi)與雙正則分類(lèi)(即同構(gòu)分類(lèi)).若一個(gè)代數(shù)簇V1到另一個(gè)代數(shù)簇V2的映射誘導(dǎo)了函數(shù)域之間的同構(gòu)，則稱(chēng)該映射為雙有理映射。設(shè)有兩個(gè)代數(shù)簇V1，V2，若V1中有一個(gè)稠密開(kāi)集同構(gòu)于V2的一個(gè)稠密開(kāi)集，則稱(chēng)V1，V2是雙有理等價(jià)的.這等價(jià)于V1和V2的函數(shù)域之間的同構(gòu)。按這個(gè)等價(jià)關(guān)系對(duì)代數(shù)簇進(jìn)行分類(lèi)就稱(chēng)為雙有理分類(lèi)。分類(lèi)理論是這樣建立的：首先，找出代數(shù)簇的雙有理等價(jià)類(lèi)；其次，在這個(gè)等價(jià)類(lèi)中找到一個(gè)好對(duì)象的子集，如非奇異射影簇，對(duì)它們進(jìn)行分類(lèi)；第三步就是確定一個(gè)任意簇與這些好的對(duì)象相差多遠(yuǎn)。因?yàn)槿我馓卣?的基域上的代數(shù)簇都雙有理等價(jià)于一個(gè)非奇異射影簇，所以為實(shí)現(xiàn)這三步，人們往往先找一組與非奇異射影簇對(duì)應(yīng)的整數(shù)，稱(chēng)為它的數(shù)值不變量。例如，在射影簇的情形，它的各階上同調(diào)空間的維數(shù)就都是數(shù)值不變量。然后試圖在所有具有相同的數(shù)值不變量的代數(shù)簇的集合上建立一個(gè)自然的代數(shù)結(jié)構(gòu)，稱(chēng)為它們的參量簇，使得當(dāng)參量簇中的點(diǎn)在某個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)中變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的代數(shù)簇也在相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)中變化。目前，只有代數(shù)曲線、一部分代數(shù)曲面以及少數(shù)特殊的高維代數(shù)簇有較完整的分類(lèi)。

20世紀(jì)初期，由于抽象代數(shù)方法的引入，抽象域上的代數(shù)幾何理論建立起來(lái)了。特別是在20世紀(jì)50年代，塞爾(Serre，J.P.)把代數(shù)簇的理論建立在層的概念上，并建立了凝聚層的上同調(diào)理論，這為格羅騰迪克(Grothendieck，A.)隨后建立概形理論奠定了基礎(chǔ)。概形理論的建立使代數(shù)幾何的研究進(jìn)入了一個(gè)全新的階段。概形的概念是代數(shù)簇的推廣。粗淺地，它允許點(diǎn)的坐標(biāo)在任意有單位元的交換環(huán)中選取，并允許結(jié)構(gòu)層中有冪零元。概形理論把代數(shù)幾何和代數(shù)數(shù)域的算術(shù)統(tǒng)一到了一個(gè)共同的語(yǔ)言之下，這使得在代數(shù)數(shù)論的研究中可以應(yīng)用代數(shù)幾何中大量的概念、方法和結(jié)果。

20世紀(jì)以來(lái)，復(fù)數(shù)域上代數(shù)幾何中的超越方法也有重大的進(jìn)展，例如，德·拉姆(de Rham，G.-W.)的解析上同調(diào)理論，霍奇(Hodge，W.V.D.)的調(diào)和積分理論的應(yīng)用，小平邦彥和斯潘塞(Spencer，D.C.)的變形理論以及格里菲思(Griffiths，P.)的一些重要工作。這使得代數(shù)幾何的研究可以應(yīng)用偏微分方程、微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)等理論。

代數(shù)簇設(shè)S是一個(gè)概型，φ是概型X到S的態(tài)射，則稱(chēng)X是一個(gè)S-概型，如果S=SpecR，則稱(chēng)X是一個(gè)R-概型。設(shè)f是概型X到Y(jié)的態(tài)射，如果△X/Y： X→XxYX，x→(x，x)是閉的浸入，則稱(chēng)X在Y上可分，若Y=SpecR，則稱(chēng)X是可分的。態(tài)射f：X→Y稱(chēng)為有限型的，如果存在Y的仿射開(kāi)覆蓋{Yλ|λ∈∧} 使得每個(gè)Xλ=f(Yλ) 可以被有限個(gè)仿射開(kāi)子集覆蓋，而Xλj=SpecBλj，Yλ=SpecAλ每個(gè)Bλj是有限生成的Aλ代數(shù)。若X→SpecR是有限型的，則稱(chēng)X是R-代數(shù)的。設(shè)k是一個(gè)代數(shù)閉域，V是一個(gè)整的，可分的在k上代數(shù)的k-概型，則我們稱(chēng)V是k上的一個(gè)代數(shù)簇。設(shè)(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是態(tài)射，如果→f=φ，則稱(chēng)f是S-態(tài)射。設(shè)X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密開(kāi)子集，φ：U→Y是R-態(tài)射}，在E上引入等價(jià)關(guān)系 (U，φ)～ (V，φ) 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于U∩V的某個(gè)稠密開(kāi)子集W，|w=Φ|W。E/～的元素稱(chēng)為有理映射，若Y=SpecR[X]，則稱(chēng)為有理函數(shù)，X上所有有理函數(shù)的集合記作RatR(X)。若V是域k上的代數(shù)簇，則RatR(V)稱(chēng)為V的函數(shù)域。設(shè)f是X到Y(jié)的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，則稱(chēng)f是控制的。設(shè)V，W是代數(shù)簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g?f是恒等映射，則稱(chēng)f是雙有理映射。V到V的所有雙有理映射作成一個(gè)群，稱(chēng)為V的雙有理同構(gòu)群。如果有V到W的雙有理映射，則稱(chēng)V與W雙有理等價(jià)。一維的代數(shù)簇稱(chēng)為曲線，二維的代數(shù)簇稱(chēng)為曲面。曲面S上的曲線C是曲面S的一維閉子簇。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)