[科普中國]-基本方程

薛定諤方程是量子力學(xué)最基本的方程，亦是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定，它的正確性只能靠實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)。薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它揭示了微觀物理世界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，就像牛頓定律在經(jīng)典力學(xué)中所起的作用一樣，它是原子物理學(xué)中處理一切非相對論問題的有力工具，在原子、分子、固體物理、核物理、化學(xué)等領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用。

提出者薛定諤（Schr dinger，1887—1961年）

薛定諤，1887年8月12日出生于奧地利首都維也納。1906年至1910年，他就學(xué)于維也納大學(xué)物理系。1910年獲得博士學(xué)位。畢業(yè)后，在維也納大學(xué)第二物理研究所從事實(shí)驗(yàn)物理的工作。第一次世界大戰(zhàn)期間，他應(yīng)征服役于一個(gè)偏僻的炮兵要塞，利用閑暇時(shí)間研究理論物理。戰(zhàn)后他仍回到第二物理研究所。1920年他到耶拿大學(xué)協(xié)助維恩工作。1921年薛定諤受聘到瑞士的蘇黎世大學(xué)任數(shù)學(xué)物理教授，在那里工作了6年，薛定諤方程就是在這一期間提出的。

1927年薛定諤接替普朗克到柏林大學(xué)擔(dān)任理論物理教授。1933年希特勒上臺(tái)后，薛定諤對于納粹政權(quán)迫害愛因斯坦等杰出科學(xué)家的法西斯行為深為憤慨，移居牛津，在馬達(dá)倫學(xué)院任訪問教授。同年他與狄拉克共同獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

1936年他回到奧地利任格拉茨大學(xué)理論物理教授。不到兩年，奧地利被納粹并吞后，他又陷入了逆境。1939年10月流亡到愛爾蘭首府都柏林，就任都柏林高級(jí)研究所所長，從事理論物理研究。在此期間還進(jìn)行了科學(xué)哲學(xué)、生物物理研究，頗有建樹。出版了《生命是什么》一書，試圖用量子物理闡明遺傳結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。1956年薛定諤回到了奧地利，被聘為維也納大學(xué)理論物理教授，奧地利政府給予他極大的榮譽(yù)，設(shè)定了以薛定諤命名的國家獎(jiǎng)金，由奧地利科學(xué)院授給。

定義薛定諤方程（Schrdinger equation）是由奧地利物理學(xué)家薛定諤提出的量子力學(xué)中的一個(gè)基本方程，也是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定，其正確性只能靠實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)。 ，其中中上面的三角是哈密頓算符。并且，U是系統(tǒng)的勢能。

定態(tài)薛定諤方程在量子力學(xué)中，一類基本的問題是哈密頓算符\hat不是時(shí)間的函數(shù)的情況。這時(shí)，可以分解成一個(gè)只與空間有關(guān)的函數(shù)和一個(gè)只與時(shí)間有關(guān)的函數(shù)乘積，即。把它帶入薛定諤方程，就會(huì)得到。而則滿足如下方程：

應(yīng)用量子力學(xué)中求解粒子問題常歸結(jié)為解薛定諤方程或定態(tài)薛定諤方程。薛定諤方程廣泛地用于原子物理、核物理和固體物理，對于原子、分子、核、固體等一系列問題中求解的結(jié)果都與實(shí)際符合得很好。

薛定諤方程僅適用于速度不太大的非相對論粒子，其中也沒有包含關(guān)于粒子自旋的描述。當(dāng)計(jì)及相對論效應(yīng)時(shí)，薛定諤方程由相對論量子力學(xué)方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。

.薛定諤提出的量子力學(xué)基本方程 ，建立于 1926年。它是一個(gè)非相對論的波動(dòng)方程。它反映了描述微觀粒子的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律，它在量子力學(xué)中的地位相當(dāng)于牛頓定律對于經(jīng)典力學(xué)一樣，是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一。設(shè)描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)為，質(zhì)量為m的微觀粒子在勢場中運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程為。在給定初始條件和邊界條件以及波函數(shù)所滿足的單值、有限、連續(xù)的條件下，可解出波函數(shù)。由此可計(jì)算粒子的分布概率和任何可能實(shí)驗(yàn)的平均值（期望值）。當(dāng)勢函數(shù)U不依賴于時(shí)間t時(shí)，粒子具有確定的能量，粒子的狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)時(shí)的波函數(shù)可寫成式中稱為定態(tài)波函數(shù)，滿足定態(tài)薛定諤方程，這一方程在數(shù)學(xué)上稱為本征方程，式中E為本征值，是定態(tài)能量，又稱為屬于本征值E的本征函數(shù)。2

求解方法有限差分法針對量子力學(xué)中大多數(shù)量子體系的哈密頓算符都比較復(fù)雜，薛定諤方程均不能得到嚴(yán)格解或分析解的問題，提出了用數(shù)學(xué)中的有限差分法來解決計(jì)算量子力學(xué)中薛定額方程的本征問題。對普通的徑向薛定諤方程和含時(shí)的薛定諤方程進(jìn)行了有限差分法的分析,給出了兩種薛定諤方程的有限差分法的離散方程，并以線性諧振子為例，進(jìn)行了計(jì)算機(jī)編程推算。結(jié)果表明，該方法在研究量子力學(xué)問題中具有廣泛的應(yīng)用前景。3

因式分解法利用德·拉·佩納等人關(guān)于階梯算符方法的表述形式，可以使因式分解法的步驟規(guī)范化，以利于在初等量子力學(xué)和量子化學(xué)教學(xué)中廣泛應(yīng)用。我們把這種方法應(yīng)用于球坐標(biāo)下的自由粒子、三維各向同性諧振子和二維氫原子，得到令人滿意的結(jié)果。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)