[科普中國]-相互獨立事件

在概率論里，說兩個事件是獨立的，直覺上是指一次實驗中一事件的發(fā)生不會影響到另一事件發(fā)生的概率。例如，骰子擲出“6”的事件和骰子擲出“1”的事件是相互獨立的。類似地，兩個隨機變量是獨立的，若其在一事件給定觀測量的條件概率分布和另一事件沒有被觀測的概率分布是一樣的。相互獨立事件（independent events)就是事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。1

定義A和B中至少有一件事情發(fā)生：A∪B；A與B同時發(fā)生：A∩B，AB；如果P(A B) =P(A) P(B)，稱A,B 相互獨立。1

標準的定義為：兩個事件A和B是獨立的當且僅當Pr(A∩B) = Pr(A)Pr(B)。這里，A∩B是A和B的交集，即為A和B兩個事件都會發(fā)生的事件。更一般地，任意個事件都是互相獨立的當且僅當對其任一有限子集A1, ...,An，會有

這被稱為獨立事件的乘法規(guī)則。

若兩個事件A和B是獨立的，則其B給之A的條件概率和A的“無條件概率”一樣，即至少有兩個理由可以解釋為何此一敘述不可以當做獨立性的定義：(1)A和B兩個事件在此敘述中并不對稱，及(2)當概率為0亦可包含于此敘述時，會有問題產(chǎn)生。若回想條件概率Pr(A|B)的定義為 (只要Pr(B) ≠ 0 )，則上面的敘述則會等價于

即為上面所給定的標準定義。注意獨立性并不和它在地方話里的有相同的意思。例如，一事件獨立于其自身當且僅當

亦即，其概率不是零就是一。因此，當一事件或其補集幾乎確定會發(fā)生，它即是獨立于其本身。例如，若事件A從單位區(qū)間的連續(xù)型均勻分布上選了0.5，則A是獨立于其自身的，盡管重言式地，A完全決定了A。

性質(zhì)（1）A,B獨立等價于 獨立，其中

（2）A,B獨立，則 是A的對立事件。1

推導相互獨立事件的公式由條件概率推得：

以任意兩事件AB為例：

P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(B)P(A|B)。

P(B|A)表示A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率。所以，當AB相互獨立時，P(B|A)=P(B)。

推廣到n個任意事件A1,A2,A3……An：

P(A1A2A3……An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)……P(An|A1A2A3……An-1)。

注：P(A4|A1A2A3)表示A1A2A3同時發(fā)生的條件下A4發(fā)生的概率。

如：A、B、C為事件，P(ABC)>0，則P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)充要條件是P(B|AC)P(B|AC)。

與集合的關系相互獨立事件其實沒有明確的相交與互斥關系。因為相交就意味著事件相互影響，互斥意味著事件不可能同時發(fā)生；而相互獨立事件既有可能同時發(fā)生，也有可能不同時發(fā)生，那么它們到底是什么關系呢？其實這就是概率問題，可能同時發(fā)生，也有可能不同時發(fā)生，這和物理中的波粒二象性有些類似，如果一定要畫圖像，它們的圖像就是動態(tài)的。

相互獨立事件之間沒有相互的影響，故其中一個事件的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生概率，則必然存在兩個事件同時發(fā)生的可能性（除非有一個事件概率為0）。

實際上，相互獨立事件是有相交關系的事件間關系的特例。相互獨立事件間必然有P(A I B)= P(A)及P(B I A)= P(B)，關于這一點可以這么理解：P(A I B)是事件B發(fā)生后事件A發(fā)生的概率，通常的計算是P(AB)/P(B)，實際意義是事件A和事件B同時發(fā)生的可能性在事件B發(fā)生（包含事件A同時發(fā)生的情況）的可能性中占的比率（即在事件B的范圍內(nèi)事件A的發(fā)生概率），由于A和B相互獨立，事件B的發(fā)生不對事件A的發(fā)生造成影響，即在事件B的范圍內(nèi)事件A的發(fā)生概率和整個樣本空間中事件A發(fā)生的概率一樣，所以有P(A I B)= P(A)和 P(B I A)= P(B)。

推廣n個事件A1,A2,……,An。1

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),1≤i