[科普中國(guó)]-二項(xiàng)方程

如果一元n次方程（n∈N﹢）的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項(xiàng)方程。1

定義定義一

二項(xiàng)方程是一種特殊方程，指系數(shù) a,b 均為非零常數(shù)的一元 n 次方程

它的 n 個(gè)不同的復(fù)數(shù)根是 的 n 個(gè) n 次方根；二項(xiàng)方程 至多有兩個(gè)實(shí)根

或其中之一。

定義二

一種簡(jiǎn)單的代數(shù)方程，指數(shù)域 P 上形如 的方程。在復(fù)數(shù)域上，若以表示它的一個(gè)根，則 是它的全部根，式中ξ 為 m 次本原單位根。實(shí)際上它們就是復(fù)數(shù) a 在復(fù)數(shù)域內(nèi)的全部 m 次方根。

一般形式關(guān)于x的一元n次二項(xiàng)方程的一般形式為axn+b=0 ，其中n∈N﹢，a,b均為常數(shù)項(xiàng)，且ab≠0。

注：axn=0（a≠0，n∈N﹢）不是二項(xiàng)方程。但它是非常特殊的n次方程，它有唯一的n重實(shí)根0。

解法將原方程化為xn=-b/a的形式后，用復(fù)數(shù)開n次方（n≥2，n∈N﹢）的方法即可求解。它是用代數(shù)方法解一元n次方程的基礎(chǔ)。

二項(xiàng)方程的左邊只有兩項(xiàng)，其中一項(xiàng)含未知數(shù)x，這項(xiàng)的次數(shù)就是方程的次數(shù)；另一項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)；方程的右邊是0。

舉例例1 解二項(xiàng)方程x3-1=0

解 將等號(hào)左邊常數(shù)項(xiàng)-1移到等號(hào)右邊，可得x3=1，

再根據(jù)復(fù)數(shù)開3次方的定義，可直接得出原方程的三個(gè)根為

x1=1，x2= ，x3= 。

例2 解二項(xiàng)方程x4-16=0

解法1 （直接開方法）將等號(hào)左邊常數(shù)項(xiàng)-1移到等號(hào)右邊，可得x4=16，

再根據(jù)復(fù)數(shù)開4次方的定義，可直接得出原方程的四個(gè)根為

x1=-2i，x2=2i，x3=-2，x4=2。

解法2 （因式分解法）將等號(hào)左邊的二項(xiàng)式在R上因式分解，得（x2+4）（x2-4）=0，

再等號(hào)左邊的乘積在C上因式分解，得（x+2i）（x-2i）（x+2）（x-2）=0。

于是，要使原方程成立，等號(hào)左邊的四個(gè)因子至少有一個(gè)為0，

故x+2i=0，或x-2i=0，或x+2=0，或x-2=0。

這樣，就得到了原方程的四個(gè)根分別為x1=-2i，x2=2i，x3=-2，x4=2。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)