[科普中國]-域特征

域的特征是交換代數(shù)中的基本概念。 一個(gè)域就是滿足加、減、乘、除 四則運(yùn)算的集合。 比如有理數(shù)域， 有理函數(shù)域， 代數(shù)數(shù)域、伽羅華域等等。

概念域的特征是交換代數(shù)中的基本概念。 一個(gè)域就是滿足加、減、乘、除四則運(yùn)算的集合。 比如有理數(shù)域，有理函數(shù)域，代數(shù)數(shù)域、伽羅華域等等。

任何域必定包含元素0和1。和我們所熟悉的有理數(shù)域不同， 有些域中，若干個(gè)1相加有可能等于零。 假設(shè)p是最小的正整數(shù)， 使得p個(gè)1相加等于0， 那么p就稱為域的特征。 特別的， 如果任何多個(gè)1相加都不會是0， 那么特征p就定義為0。

可以證明， 如果域的特征p>0，則p一定是素?cái)?shù)。特征大于零的域有很多， 比如模p的剩余類域（也就是p的剩余系)：{0，1，2，...，p-1}特征為p(>0)的域F中元素滿足Frobenius條件：(x+y)p=xp+yp，x、y∈F。

域設(shè)P是一至少含有兩個(gè)元素的環(huán)，如果在P中乘法還具有下列性質(zhì)：

(1)有單位元素，即在P中有一元素e，使ea=ae=a，對所有的a∈P；

(2)有逆元素，即對p中每個(gè)非零元素a都有一元素a，使a-1a=aa-1=e；

(3)交換律成立，即ab=ba，a，b∈P，那么P就叫做一個(gè)域。域有下列的基本性質(zhì)：

(1)域沒有零因子；

(2)若集F在兩個(gè) 二元運(yùn)算(加法和乘法)下滿足下列條件，則F為一個(gè)域：

①F是以零為單位元的加法群;

②由除零外的F的一切元組成的集在乘法下是一個(gè)交換群；

③乘法對加法是可分配的；

(3)在域F中，方程ax=b(a，b∈F，a≠0)有唯一的解，并記作x=a/b；

(4)在F中，指數(shù)律成立；

(5)若把域F的單位元e的n倍ne記作n，則F中任一元a的n倍na就是n與a的積na。

域論域論（Field Theory）是抽象代數(shù)的分支，是不少學(xué)科的基礎(chǔ)，是代數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，且歷史悠久。研究域的性質(zhì)，簡單地說，一個(gè)域是在其上有"加法"、"減法"、"乘法"和"除法"的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

域是許多數(shù)學(xué)分支(如代數(shù)、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何等)研究的基礎(chǔ)，而有限域則在近代編碼、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)理論中都有重要應(yīng)用，通過理想來研究環(huán)，這是研究環(huán)的基本方法。但是，由于域只有平凡理想，因此無法通過域的理想來研究域，要研究域，必須采取別的方法，其中最基本的方法就是通過對域添加若干元進(jìn)行擴(kuò)張，域的擴(kuò)張起源于數(shù)域的擴(kuò)張。

早在19世紀(jì)初，伽羅華在研究代數(shù)方程的著作里就出現(xiàn)了域的概念的萌芽，后來戴德金(J.W.R.Dedekind)和克羅內(nèi)克(L.Kronecker)在不同背景下也提出了域的概念。系統(tǒng)研究域的理論始于韋伯(H.Weber)，而域的公理系統(tǒng)是迪克森(L.E.Dickson)和亨廷頓(E.V.Huntington)分別于1903和1905年獨(dú)立創(chuàng)立的。在韋伯等人的影響下，施泰尼茨(E.Steinitz)對抽象域進(jìn)行了系統(tǒng)研究，于1910年發(fā)表論文“域的代數(shù)理論”，對域論本身以及相關(guān)科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生重大影響。域的概念最初被阿貝爾和伽羅瓦隱含地用于他們各自對方程的可解性的工作上。1

交換代數(shù)以交換環(huán)為主要研究對象的一門代數(shù)學(xué)科。它是以代數(shù)數(shù)論和代數(shù)幾何學(xué)為背景而產(chǎn)生與發(fā)展的，并為這兩個(gè)古老的數(shù)學(xué)分支提供了新的統(tǒng)一的工具。

18世紀(jì)末到19世紀(jì)中期，高斯和庫默爾等人在研究關(guān)于有理整數(shù)性質(zhì)和方程的有理整數(shù)解的時(shí)候，把這些初等數(shù)論問題放在二次域、分圓域以及它們的代數(shù)整數(shù)環(huán)中進(jìn)行考慮，經(jīng)過戴德金和希爾伯特等人的抽象化和系統(tǒng)化，形成了研究代數(shù)數(shù)域和它的代數(shù)整數(shù)環(huán)的一個(gè)新學(xué)科，即代數(shù)數(shù)論。1882年戴德金提出的理想與素理想的概念為一維交換代數(shù)奠定了基礎(chǔ)。比數(shù)論稍晚些時(shí)候，幾何學(xué)也經(jīng)歷了代數(shù)化的過程，多維交換代數(shù)開始在代數(shù)幾何中形成。從19世紀(jì)末開始，由于希爾伯特等人的工作，特別是20世紀(jì)20—30年代德國數(shù)學(xué)家A.E.諾特關(guān)于理想理論和克魯爾建立的賦值論、局部環(huán)理論和維數(shù)理論，為古典幾何提供了全新的代數(shù)工具。從此，交換代數(shù)成為一門獨(dú)立的學(xué)科。

20世紀(jì)50年代以后，交換代數(shù)得到很大發(fā)展，模論的研究，同調(diào)代數(shù)和各種上同調(diào)理論的建立，特別是法國數(shù)學(xué)家格羅唐迪克的概形理論，對于交換代數(shù)的發(fā)展起了巨大的推動(dòng)作用。利用概形理論，比利時(shí)數(shù)學(xué)家德利涅于20世紀(jì)70年代初證明了著名的韋伊猜想。

現(xiàn)在，交換代數(shù)的運(yùn)用，已深入到微分拓?fù)渑c代數(shù)拓?fù)?、多?fù)變函數(shù)論、奇點(diǎn)理論，甚至偏微分方程等學(xué)科。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)